plik Adobe PDF / Get full paper - Adobe PDF file

KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN – ODDZIAŁ W POZNANIU
Vol. 27 nr 2
Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji
2007
MARIUSZ SOBOLAK *
DYSKRETNA NUMERYCZNA METODA α-BUFORA
OKREŚLANIA GEOMETRYCZNEGO ŚLADU STYKU
W PRZEKŁADNI ZĘBATEJ
W artykule przedstawiono dyskretną numeryczną metodę wyznaczania geometrycznego śladu
styku między powierzchniami zębów kół. Współpracujące powierzchnie zębów zadane są w postaci dyskretnych regularnych siatek punktów.
Słowa kluczowe: koła zębate, ślad styku
1. WPROWADZENIE
Podczas projektowania nowych zarysów uzębienia oraz projektowania technologii ich obróbki ewentualne sprawdzenie poprawności pracy kół w przekładni jeszcze przed wykonaniem prototypu przeznaczonego do badań pozwoliłoby
na ograniczenie kosztów wdrażania przekładni i narzędzi służących do jej obróbki [1, 2, 3]. Ślad styku i ślad współpracy należą do ważnych czynników pozwalających wnioskować co do poprawności pracy przekładni. W zależności od
rodzaju przekładni, dokładności jej wykonania, montażu oraz zużycia ślad styku
może przybierać różne kształty [1, 2]. Za pomocą geometrycznego modelu przekładni można by sprawdzić wstępnie poprawność jej współpracy. W artykule
przedstawiono opracowaną przez autora numeryczną metodę analizy współpracy
przekładni, użyteczną zwłaszcza gdy topografia powierzchni zęba zadana jest w
postaci dyskretnej. Metoda ta pozwala na otrzymywanie śladu styku między
powierzchniami dyskretnymi.
W hipotetycznej, absolutnie sztywnej i dokładnej przekładni, pracującej bez
obciążenia, ślad styku może być punktem lub linią. W przekładniach rzeczywistych jest to pewne pole powierzchni, wokół hipotetycznego punktu lub linii
styku, na którym stykają się współpracujące zęby. W prawidłowo pracującej,
*
Dr inż. – Katedra Konstrukcji Maszyn Politechniki Rzeszowskiej.
154
M. Sobolak
nieprzeciążonej przekładni zęby odkształcają się sprężyście w miejscu, w którym dochodzi do kontaktu.
Z dobrym przybliżeniem można przyjąć, że obwiednia śladu styku odpowiada pewnej krzywej, będącej warstwicą jednakowych odległości między współpracującymi powierzchniami, przy czym odległość ta jest równa wielkości sprężystego odkształcenia współpracujących zębów.
2. WYZNACZANIE GEOMETRYCZNEGO ŚLADU STYKU
Przestrzenną krzywą ograniczającą ślad styku A można wyznaczyć geometrycznie, wgłębiając powierzchnie współpracujących zębów na odległość δw
równą odkształceniu sprężystemu przy zadanej sile międzyzębnej (rys. 1). Odległość δw może także odpowiadać grubości warstwy tuszu przyjmowanej przy
sprawdzaniu przekładni na maszynach kontrolnych.
II
I
εp
II
I
δw
A
Rys. 1. Powierzchnie zębów ze śladem styku A w wichrowatej przekładni walcowej; I – powierzchnia zęba koła, II – powierzchnia wrębu międzyzębnego koła współpracującego, εp – płaszczyzna przekroju, δw – wgłębienie
Fig. 1. Teeth surfaces with contact ellipse A in a helical cylindrical gear, I, II – the surfaces of
teeth; εp – section plane, δw – interference
3. BUDOWA POWIERZCHNI NA SIATCE PUNKTÓW DYSKRETNYCH
Często w wyniku analizy odwzorowania narzędzia powierzchnia zębów otrzymywana jest w postaci siatki dyskretnych punktów [4]. Siatka dyskretnych punktów
może także powstać w wyniku skanowania 3D rzeczywistej powierzchni zęba.
W pierwszej kolejności na siatce punktów dyskretnych należy zbudować powierzchnię. Powierzchnia zadana w sposób dyskretny może być przybliżona trój-
Dyskretna numeryczna metoda…
155
kątnymi płaskimi powierzchniami (rys. 2). Tworzenie takich powierzchni jest
ułatwione, gdy punkty znajdują się w pewnej metryce prostokątnej [4]. W takim
przypadku punkty można łączyć czwórkami – odpowiednio punkty z przyległych
pól i dodatkowo przekątna, tak aby powstały dwa trójkąty. Jeżeli czworobok tworzony z pary trójkątów w rzucie na tablicę Tm×n nie jest wypukły, to istnieje prawdopodobieństwo „zawinięcia” powierzchni (rys. 3). Aby uniknąć zjawiska „zawijania” powierzchni, należy czworobok podzielić tak, aby przekątna nie wychodziła
w rzucie poza czworobok (rys. 4). Praktycznie można to osiągnąć, wykorzystując
iloczyny wektorowe – traktując boki trójkątów jako wektory.
Pi,j
I
T(m×n)
Ti,j
Rys. 2. Budowa powierzchni na siatce punktów uporządkowanych w metryce prostokątnej, I – pojedynczy trójkąt, Ti,j – pole tablicy odniesienia Tm×n, Pi,j – jeden z dyskretnych punktów
Fig. 2. Generating a surface on rectangular grid of discrete points; I – a single triangle, Ti,j – a single
field of table Tm×n, Pi,j – one of discrete points
a)
b)
Rys. 3. „Zawinięcie” powierzchni; a) powierzchnia „zawinięta” (kolor szary), b) ta sama powierzchnia z czworobokiem podzielonym drugą przekątną
Fig. 3. Wrapped surface; a) wrapped surface (grey triangle), b) that same surface with the other
diagonal of a quadrilateral
156
M. Sobolak
Pi+1,j+1
Pi,j+1
Pi,j
Pi+1,j
Rys. 4. Dwie przekątne czworoboku (linie przerywane)
Fig. 4. Two diagonals of a quadrilateral (dashed lines)
Aby rozpatrzyć wektory w rzucie na płaszczyznę Tm×n (w celu wyzerowania
trzeciej współrzędnej), należy obliczyć dwa iloczyny wektorowe:
r
T
N1 = Pi , j Pi , j +1 × Pi , j Pi +1, j +1 = [0 0 z1 ] ,
(1)
r
T
N 2 = Pi , j Pi +1, j +1 × Pi , j Pi +1, j = [0 0 z 2 ] ,
gdzie:
(
= (x
)(
)⋅ (y
)(
)− (y
)(
− y )⋅ (x
(2)
)
),
z1 = x Pi , j +1 − x Pi , j ⋅ y Pi +1, j +1 − y Pi , j − y Pi , j +1 − y Pi , j ⋅ x Pi +1, j +1 − x Pi , j ,
z2
Pi +1, j +1
− x Pi , j
Pi +1, j
− y Pi , j
Pi +1, j +1
Pi , j
Pi +1, j
− x Pi , j
(3)
(4)
r
r
Jeżeli wektory N1 i N 2 są skierowane w przeciwne strony ( z1 ⋅ z 2 < 0 ), to
powierzchnia się „zawija” i należy poprowadzić przekątną Pi , j +1 Pi +1, j ,
w przeciwnym wypadku (tzn. z1 ⋅ z 2 ≥ 0 ) przekątną Pi , j Pi +1, j +1 .
4. WYZNACZENIE PRZECIĘCIA POWIERZCHNI OPISANYCH
ZA POMOCĄ TRÓJKĄTÓW
4.1. Metoda dyskretna
Po wyznaczeniu powierzchni reprezentujących powierzchnie współpracujących zębów zestawia się je tak jak w rzeczywistej przekładni, po czym wgłębia
się je na ustaloną odległość ruchami wynikającymi z kinematyki przekładni
(przez obrót koła). W tak zestawionych powierzchniach wyznacza się prze-
Dyskretna numeryczna metoda…
157
strzenną krawędź przecięcia ograniczającą ślad styku. Krawędź można wyznaczyć metodą dyskretną, analityczną lub za pomocą systemu CAD.
W metodzie dyskretnej przyjmuje się tablicę odniesienia Tm×n (rys. 5).
Umieszcza się ją w przekroju osiowym koła. Tablica składa się z kwadratowych
powierzchni jednostkowych Pi,j. Ze względów praktycznych (wizualizacja wyników) można przyjmować, że każda powierzchnia jednostkowa odpowiada
pikselowi ekranu monitora.
Trójkąty TiI reprezentujące powierzchnię I są rzutowane we współrzędnych
krzywoliniowych na tablicę Tm×n. Otrzymuje się rzuty trójkątów TiI' , które następnie są dyskretyzowane na siatce całkowitoliczbowej tablicy Tm×n (rys. 6).
Dyskretyzowane są odcinki reprezentujące boki zrzutowanych trójkątów TiI' (np.
z wykorzystaniem algorytmu Bresenhama), po czym trójkąty są wypełniane (np.
z wykorzystaniem algorytmu „powodziowego”). Dla każdej kwadratowej powierzchni Pi,j zdyskretyzowanego trójkąta wyznaczany jest jej odpowiednik Pi,jI,
leżący na trójkącie TiI. Dla każdego pola Pi,j tablicy Tm×n zapamiętywany jest kąt
αi,jI.
A’
T’iI
TiI
Tm×n
A
I
II
αi,j
I
αi,j
II
Pi,j
Pi,jI
Pi,jII
Rys. 5. Ogólny model przyjęty w metodzie dyskretnej
Fig. 5. General model assumed in the discrete method
Podobnie postępuje się z trójkątami TiII reprezentującymi powierzchnię II i
otrzymuje się dla pól Pi,j tablicy Tm×n kąty αi,jII. Gdy polu Pi,j tablicy Tm×n nie
odpowiada w przestrzeni żaden trójkąt TiI (TiII), kąt αi,jI (αi,jII) przyjmuje wartość
zerową.
158
M. Sobolak
Tm×n
T’iI
Pi,j
Rys. 6. Dyskretyzacja trójkąta (szare
pola)
Fig. 6. Discretization of a triangle (grey
fields)
Gdy dla pól Pi,j tablicy Tm×n określone są
już kąty αi,jI i αi,jII, wykonuje się sortowanie. Następnie porównuje się kąty przypisane do każdego z pól Pi,j, ustalając widoczność. Jeżeli αi,jI <αi,jII, to widoczna jest powierzchnia I, jeżeli αi,jI >αi,jII, to widoczna
jest powierzchnia II, jeżeli αi,jI = αi,jII, to
powierzchnie się pokrywają.
W ten sposób otrzymuje się płaski obraz z
ustaloną widocznością przenikających się
powierzchni I i II. Algorytm podobny jest do
tzw. algorytmu z-bufora, stosowanego w
grafice komputerowej, z tym że sortowanie
odbywa się we współrzędnych walcowych,
stąd można go nazwać algorytmem α-bufora.
4.2. Metoda analityczna
W metodzie analitycznej wykorzystuje się rachunek wektorowy do wyznaczenia przecięcia powierzchni. W celu wyznaczenia przestrzennej linii przenikania powierzchni zadanych za pomocą płaskich trójkątnych powierzchni należy:
− wyznaczyć punkty Pi przebicia trójkątów tworzących powierzchnię I krawędziami trójkątów powierzchni II,
− wyznaczyć punkty Pi przebicia trójkątów tworzących powierzchnię II
krawędziami trójkątów powierzchni I,
− stworzyć przestrzenny wielobok, łącząc punkty Pi leżące na pojedynczych
trójkątach jednej z powierzchni.
4.3. Metody oparte na systemie CAD
Niektóre systemy CAD pozwalają na tworzenie powierzchni na siatkach
punktów. W przypadku powierzchni dyskretnej możliwe jest wykorzystanie
systemu CAD do zbudowania takich powierzchni, a następnie do analizy ich
przecięcia, czyli wyznaczenia śladu styku.
5. PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA METODY DYSKRETNEJ
Na rysunku 7 przedstawiono wyniki przykładowej analizy chwilowego śladu
styku w wichrowatej przekładni walcowej utworzonej z dwóch kół walcowych
Dyskretna numeryczna metoda…
159
o zębach śrubowych (moduł normalny mn = 5 mm, kąt zarysu α0 = 20°, z1 = 24,
β1 = 15°, β2 = 15°, z2 = 23, szerokość kół b1 = b2 = 40 mm, kąt skrzyżowania osi
Σ = 30°). Powierzchnie zębów w postaci dyskretnej wyznaczono z wykorzystaniem dyskretnej numerycznej symulacji odwzorowania narzędzia [4]. Każda z
nich była opisana 44 000 dyskretnych punktów. Na każdej z nich utworzono
86 982 trójkąty. Przyjęto tablicę Tm×n o wymiarach 800×220. Koła ustawiono w
pozycji wyjściowej, a następnie obracano jedno z nich o zadany kąt, aby otrzymać założoną odległość między powierzchniami w obszarze przenikania δw =
= 0,01±0,001 mm. Wykorzystano w tym celu algorytm połowienia przedziału, a
δw określano na podstawie maksimum z różnic αi,jI –αi,jII .
Rys. 7. Chwilowy ślad styku A’ na powierzchni bocznej zęba II’; I’ – rzut boku współpracującego zęba
Fig. 7. The instantaneous contact ellipse A’ on a tooth flank II’, I’ – projection a flank of a mating tooth
Chwilowy ślad styku ma kształt eliptyczny. Na chwilowym śladzie styku A
jest wyraźnie widoczny aliasing (ząbki), co jest wynikiem dyskretnego charakteru metody (przyjęcia siatki całkowitoliczbowej).
6. WNIOSKI
Dyskretna numeryczna metoda α-bufora pozwala na otrzymywanie chwilowego śladu styku między zębami współpracujących kół. Chwilowy ślad styku
otrzymywany jest w rzucie na tablicę Tm×n, leżącą w przekroju osiowym koła.
Możliwe jest także określenie łącznego chwilowego śladu styku przy rozpatrywaniu kilku par współpracujących zębów.
Dalsze prace będą zmierzały do określenia powierzchni chwilowego śladu
styku oraz do wyznaczenia zmian łącznego śladu styku w trakcie obrotu kół
przekładni. Każdemu pikselowi tablicy można przypisać pewne pole, zależne od
krzywizny zarysu zęba. Wówczas określenie powierzchni śladu styku będzie
sprowadzało się do sumowania poszczególnych pól z odpowiednimi wagami.
160
M. Sobolak
Wyznaczenie zmian łącznego chwilowego śladu styku pozwoli na szacunkową wstępną ocenę poprawności pracy przekładni. Jest to jeden z etapów projektowania nowej przekładni oraz projektowania (sprawdzenia) nowej technologii
wykonania uzębienia. Pozwala na odrzucenie błędnych rozwiązań konstrukcyjnych i technologicznych już na etapie konstruowania koła czy planowania technologii, co przyczynia się do obniżenia kosztów wytwarzania, zwłaszcza kół o
nietypowych zarysach zębów.
LITERATURA
[1] Litvin F. L., Chen N. X., Chen J. S., Computerized Determination of Curvature Relations
and Contact Ellipse for Conjugate Surfaces, Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering, 1995, vol. 125, s. 151–170.
[2] Litvin F. L., Hsiao C. L., Computerized Simulation of Meshing and Contact of Enveloping
Gear Tooth Surfaces, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1993, vol.
102, s. 337–366.
[3] Marciniec A., Synteza i analiza zazębień przekładni stożkowych o kołowo-łukowej linii zęba,
Rzeszów, Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej 2002.
[4] Sobolak M., Analiza i synteza współpracy powierzchni kół zębatych metodami dyskretnymi,
Rzeszów, Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej 2006.
Praca wpłynęła do Redakcji 16.03.2007
Recenzent: prof. dr hab. inż. Ryszard Grajdek
DISCRETE NUMERICAL METHOD OF TOOTH CONTACT ANALYSIS (TCA)
WITH α-BUFOR USE
S u m m a r y
The paper contains description of an discrete numerical method of Tooth Contact Analysis
(TCA). The surfaces of mating teeth are specified in mesh. The instantaneous contact ellipse is
determined using of a α-bufor algoritm.
Key words: Tooth Contact Analysis, gears