Materiały pomocnicze - Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Automatyka – zastosowania, metody i narzędzia,
perspektywy
Synteza systemów sterowania z wykorzystaniem regulatorów
PID
Materiały pomocnicze do zajęć laboratoryjnych 1
Opracowanie:
Robert Piotrowski, dr inż.
Bartosz Puchalski, mgr inż.
Michał Grochowski, dr inż.
Wstęp
Regulatory PID są powszechnie wykorzystywane praktycznie w każdej gałęzi
przemysłu. Stanowią one podstawowe wyposażenie cyfrowych urządzeń automatyki,
np. sterowników programowalnych.
Regulatory PID – przypomnienie wiadomości
Podstawową strukturę jednowymiarowego układu regulacji pokazano na rysunku 1.
z
yzad +
e
Regulator
m
–
Urządzenie
wykonawcze
Obiekt
sterowania
y
Urządzenie
pomiarowe
Rys. 1. Podstawowa struktura układu regulacji
gdzie:
y – wielkość regulowana (sterowana),
yzad – wielkość zadana,
m – wielkość regulująca (sterująca),
z – wielkość zakłócająca,
e – uchyb (błąd) regulacji.
Wśród licznych metod sterowania, podstawowymi regulatorami używanymi w
praktyce przemysłowej są regulatory PID. Ich działanie oparte jest o przetwarzanie
sygnału uchybu regulacji e z wykorzystaniem trzech elementarnych operacji:
wzmocnienia – część proporcjonalna P regulatora, całkowania – część całkująca I
regulatora oraz różniczkowania – część różniczkująca D regulatora.
Ze względu na wykorzystanie poszczególnych składowych w sygnale generowanym
przez regulator, praktyczne zastosowanie znalazły następujące rodzaje regulatorów:
P, PI, PD i PID. Szczegółową charakterystykę tych regulatorów można znaleźć np. w
pracach [2,3].
W dalszej części opracowania przedstawiony zostanie regulator PID.
2
a). Idealny regulator proporcjonalno – całkująco – różniczkujący PID
Sygnał wyjściowy z idealnego regulatora PID jest postaci:
t

1
d e t 
m t   k p  e t  
e    T d


Ti 0
d t 

(1)
gdzie:
kp – współczynnik wzmocnienia,
Ti – stała czasowa całkowania,
Td – stała czasowa różniczkowania
kp, Ti i Td to tzw. nastawy regulatora.
Transmitancja operatorowa idealnego regulatora PID ma postać:


1
G r s   k p 1 
 sT d 


sT i


Charakterystyki
czasowe
i
(2)
częstotliwościowe
idealnego
regulatora
E (s)
Gr (s) = kp(1+1/s Ti +s Td)
M (s)
–
Y (s)
Wielkość nastawiająca m
przedstawiono na rysunkach 2-4.
tg α = kp/Ti
kp
α
Czas t
Rys. 2. Charakterystyka skokowa idealnego regulatora PID
Im(ω)
kp
Re(ω)
ω
Rys. 3. Charakterystyka amplitudowo – fazowa idealnego regulatora PID
(charakterystyka Nyquist’a)
3
PID
a).
L (ω) [dB]
– 20 dB/dek
+ 20 dB/dek
20 log kp
0
b).
1/Ti
log ω [rad/s]
1/Td
φ (ω) [rad]
π/2
 1  1 / T i T d log ω [rad/s]
0
– π/2
Rys. 4. Charakterystyki logarytmiczne idealnego regulatora PID
(charakterystyki Bode’a): a). modułu, b). fazy
W praktyce nie jest możliwe uzyskanie różniczkowania w pełnym zakresie
częstotliwości. W związku z tym możliwe do zrealizowania regulatory mają inercję
ograniczającą częstotliwościowo efekt różniczkowania i tym samym otrzymujemy:
rzeczywisty regulator PD i rzeczywisty regulator PID.
b). Rzeczywisty regulator proporcjonalno – całkująco – różniczkujący PID
Sygnał wyjściowy z rzeczywistego regulatora PID jest postaci:

1
m t   k p  e t  
Ti

t
 e   
0
Td
T
e

t
T



(3)
Transmitancja operatorowa rzeczywistego regulatora PID ma postać:

sT d 
1

G r s   k p 1 

 s T i s T  1


Charakterystyki
czasowe
i
częstotliwościowe
przedstawiono na rysunkach 5-7.
4
rzeczywistego
(4)
regulatora
PID
M (s)
Y (s)
Wielkość nastawiająca m
Gr (s) = kp(1+1/s Ti +s Td/(sT+1))
kp(1+Td/T)
tg α = kp/Ti
α
kp
Czas t
Rys. 5. Charakterystyka skokowa rzeczywistego regulatora PID
Im(ω)
ω
kp
kp(1+Td/T) Re(ω)
Rys. 6. Charakterystyka amplitudowo – fazowa rzeczywistego regulatora PID
(charakterystyka Nyquist’a)
a).
L (ω) [dB]
20 log kp(1+Td/T)
20 log kp
0
b).
1/Ti
1/Td
log ω [rad/s]
1/τ
φ (ω) [rad]
π/2
0
– π/2
 1  1/ T i T d  T
2
log ω [rad/s]
Rys. 7. Charakterystyki logarytmiczne rzeczywistego regulatora PID
(charakterystyki Bode’a): a). modułu, b). fazy
Dobór nastaw regulatora PID
W praktyce musimy wybrać rodzaj regulatora i określić jego nastawy. Metody doboru
nastaw regulatora PID dzielą się na dwie grupy:
 metody inżynierskie,
 metody z wykorzystaniem optymalizacji.
5
1. Inżynierskie metody doboru nastaw regulatora PID
Wśród wielu inżynierskich metod doboru nastaw można wymienić np. pierwszą i
drugą metodę Zieglera – Nicholsa, metodę Passena, metodę Cohena-Coona,
metodę Åströma-Hägglunda (przekaźnikowa), metodę Hassena i Offereissena. Ich
szczegółowy opis można znaleźć np. w pracach [1,7].
W dalszej części opracowania zostaną przedstawione dwie z nich.
a). Pierwsza metoda Zieglera – Nicholsa
Ogólnie obiekty regulacji mogą być podzielone na statyczne i astatyczne.
Transmitancję
obiektów
statycznych
można
aproksymować
transmitancją
operatorową postaci:
K
 sT
e 0
T s 1
G 0 s  
(5)
natomiast transmitancję obiektów astatycznych można aproksymować transmitancją
operatorową postaci:
G 0 s  
K
K'
 sT
 sT
e 0 
e 0
s
Ts
(6)
gdzie:
K – zastępczy współczynnik proporcjonalności obiektu,
T – zastępcza stała czasowa obiektu,
T0 – zastępcze opóźnienie obiektu.
Parametry K, T i T0 wyznacza się na podstawie odpowiedzi obiektu na wymuszenie
skokowe (rysunek 8).
a).
b)
.
y(t)
K*u
y(t)
K*u
α = arctg K*u
0 T0
T
0 T0
t
α
T
dla K’ = 1
t
Rys. 8. Wyznaczenie parametrów K, T i T0: a). obiektu statycznego, b). obiektu
astatycznego
6
Badania Zieglera i Nicholsa pokazały, że odpowiedź skokowa większości układów
sterowania ma kształt zbliżony do tych z rysunku 8. Można ją otrzymać z danych
eksperymentalnych lub dynamicznej symulacji obiektu.
Ziegler i Nichols symulacyjnie badali różne obiekty regulacji i stroili parametry
regulatorów, aż do uzyskania odpowiedzi przejściowych zanikających do 25%
poprzedniej wartości w jednym okresie. Tym sposobem uzyskali oni konkretne
wartości nastaw w zależności od rodzaju regulatora ( a 
 Dla regulatora P: k p 
1
,
a
 Dla regulatora PI: k p 
0,9
, T i  3T 0 ,
a
 Dla regulatora PID: k p 
K
 T 0 ):
T
1,2
, T i  2T 0 , T d  0,5T 0 .
a
Pierwsza metoda Zieglera – Nicholsa daje dobre rezultaty, gdy spełniony jest
następujący warunek:
0,15 
T0
T
 0,6
(7)
b). Druga metoda Zieglera – Nicholsa
Jest to najbardziej znana, eksperymentalna metoda wyboru regulatora i jego nastaw.
Sposób postępowania jest następujący:
 Zakłada się, że dany jest obiekt regulacji, którego opis matematyczny nie musi
być znany.
 Do obiektu regulacji dołącza się regulator. Wyłącza się całkujące i
różniczkujące działanie regulatora (tzn. nastawia się maksymalną wartość
stałej czasowej całkowania
i minimalną
Ti
wartość
stałej czasowej
różniczkowania Td) i np. dla jednostkowego wymuszenia skokowego,
stopniowo zwiększa się współczynnik wzmocnienia kp regulatora, dochodząc
do granicy stabilności.
7
 W stanie oscylacji nietłumionych mierzy się ich okres T osc . Następnie,
otwierając układ regulacji, mierzy się wartość współczynnika wzmocnienia k kr
, przy którym te oscylacje występują.
 Otrzymaną wartość k kr dzieli się przez 2 uzyskując tym samym k p  0,5k kr .
Wartość tę przyjmuje się jako docelową.
 Przy określonym rodzaju wymuszenia dokonuje się rejestracji wielkości
wyjściowej obiektu w celu zastosowania przyjętego wskaźnika jakości.
 Gdy przebieg wyjściowy nie spełnia stawianych wymagań, wówczas w celu
jego poprawy dokonuje się przełączenia regulatora z P na PI lub PID.
 W zależności od rodzaju regulatora należy przyjąć:

Dla regulatora P: k p  0,5k kr ,

Dla regulatora PI: k p  0,45k kr , T i 

Dla regulatora PID: k p  0,6k kr , T i  0,5T osc , T d 
T osc
1,2
,
T osc
8
.
Druga metoda Zieglera – Nicholsa oparta jest na wykorzystaniu tylko dwóch
parametrów: T osc i k kr , charakteryzujących granicę stabilności danego układu
regulacji. Nie jest to zatem metoda bardzo dokładna, ale prosta i zapewniająca
stabilną pracę zamkniętego układu regulacji. Zastosowanie tej metody wymaga
doprowadzenia układu regulacji do nietłumionych oscylacji, ale nie ma potrzeby
identyfikacji dynamiki obiektu regulacji. Metoda ta zapewnia dobre tłumienie
zakłóceń, ale daje mały zapas fazy i duże przeregulowanie dla skokowych zmian
wartości zadanej.
2. Metody doboru nastaw regulatora PID z wykorzystaniem optymalizacji
W metodach doboru nastaw wykorzystujących optymalizację niezbędne jest
zastosowanie jednoznacznej oceny doboru nastaw, czyli zaproponować funkcję celu.
Do jej budowy wykorzystuje się rozmaite kryteria całkowe. Uwzględnia się w nich
rozmaite wielkości, np. uchyb regulacji, czas regulacji, szybkość zmian uchybu
regulacji. Przykładowe kryteria:
8
 całki uchybu:

I   et dt
(8)
0
 całki kwadratu uchybu (ang. Integral of Square of the Error – ISE):

I   e 2 t dt
(9)
0
 całki uchybu i czasu:

I   te t dt
(10)
0
 całki modułu z uchybu (ang. Integral of the Absolute value of the Error – IAE):

I   et  dt
(11)
0
 całki modułu z uchybu i czasu (ang. Integral of the Time and weighted
Absolute Error – ITAE):

I   t et  dt
(12)
0
 całki sumy kwadratu uchybu i kwadratu pochodnej uchybu z wagą:




I    e 2 t   a et dt

0
(13)
 całki modułu różnicy uchybu dynamicznego i statycznego:

I   et   est dt
(14)
0
 modułu całki różnicy uchybu dynamicznego i statycznego:

I   [et   est ]dt
(15)
0
 całki kwadratu różnicy uchybu dynamicznego i statycznego:

I   [et   est ]2 dt
0
9
(16)
Najbardziej popularnymi kryteriami całkowymi są: ISE, IAE oraz ITAE. Ich krótka
charakterystyka została zawarta poniżej [5]:

Wykorzystanie kryterium IAE owocuje otrzymaniem dobrze tłumionego układu
regulacji, dla układów drugiego rzędu współczynnik tłumienia jest bliski 0,7
prawie jak dla kryterium ITAE. Wykorzystanie kryterium ISE daje współczynnik
tłumienia na poziomie 0,5. Kryterium ISE nie jest wrażliwe na zmienność
parametrów, w przeciwieństwie do kryterium ITAE.

Aby ograniczyć duże błędy regulacji (wartości > 1), kryterium ISE jest lepsze
od kryterium IAE, gdyż uchyb e jest w tym kryterium podniesiony do kwadratu
(im większe błędy regulacji tym większa wartość wskaźnika ISE).

Aby ograniczyć małe błędy regulacji (wartości < 1), kryterium IAE jest lepsze
od ISE (analogicznie do punktu powyżej).

Aby ograniczyć błędy regulacji, które trwają przez długi okres czasu, kryterium
ITAE jest najlepszym kryterium, gdyż współczynnik t zwiększa wartość długo
utrzymujących się małych błędów regulacji (np. uchyb w stanie ustalonym). W
ogólności wynikiem działania tego kryterium są małe oscylacje oraz małe
przeregulowania.
Dla prostych liniowych obiektów sterowania możliwe jest analityczne wyznaczenie
nastaw regulatorów PID z kryteriów całkowych [4]. W innych przypadkach konieczne
jest wykorzystanie metod numerycznych i profesjonalnych inżynierskich środowisk
programistycznych.
Ciekawą analizę wybranych metod doboru nastaw regulatorów PID w sterowaniu
suwnicą 3D przedstawiono w pracy [6].
Wieloobszarowy (ang. multiregional) regulator PID
Nie jest możliwe efektywne sterowanie obiektem nieliniowym (silnie) w pełnym
zakresie zmian jego punktu pracy, przy pomocy jednego uniwersalnego liniowego
prawa sterowania (czyli jednych nastaw regulatora PID). W związku z tym konieczne
jest stosowanie różnych nastaw regulatorów w zależności od aktualnego punktu
pracy. Aby zidentyfikować liczbę i zakres takich obszarów należy przeanalizować
charakterystykę
statyczną
obiektu.
Na
10
podstawie
analizy
należy
dokonać
aproksymacji charakterystyki modelami liniowymi (zlinearyzować nieliniowy model w
różnych - charakterystycznych, punktach pracy). Następnie dla tak utworzonych
modeli liniowych należy dobrać odpowiednie nastawy "lokalnych" regulatorów PID.
Powstałe regulatory mogą być przełączane w zależności od punktu pracy w sposób
twardy (sygnał sterujący oddziaływający na obiekt pochodzi z jednego, wybranego
lokalnego regulatora) lub w sposób miękki (sygnał sterujący oddziaływający na obiekt
jest generowany na bazie dwóch lub więcej lokalnych regulatorów - wyjścia z
regulatorów są ważone algebraicznie lub w sposób rozmyty). Najczęściej lepszym
rozwiązaniem jest miękkie przełączanie regulatorów (rysunek 9).
PID 1
z
PID 2
yzad +
e
m
–
Urządzenie
wykonawcze
Obiekt
sterowania
PID n
Urządzenie
pomiarowe
Rys. 9. Struktura układu regulacji wieloobszarowej przy użyciu klejonych w sposób
rozmyty lokalnych regulatorów PID.
Bibliografia
1. Åström K.J., Hägglund T. (1995). PID Controllers: Theory, Design and Tuning.
2nd Edition. Instrument Society of America, North Carolina.
2. Brzózka J. (2002). Regulatory cyfrowe w automatyce. Wydawnictwo MIKOM,
Warszawa.
3. Brzózka J. (2004). Regulatory i układy automatyki. Wydawnictwo MIKOM,
Warszawa.
11
y
4. Byrski W. (2007). Obserwacja i sterowanie w systemach dynamicznych.
Uczelniane Wydawnictwa Naukowo – Dydaktyczne Akademii Górniczo –
Hutniczej w Krakowie, Kraków.
5. Corriou J.-P. (2004). Process Control: theory and applications. SpringerVerlag, London.
6. Dziendziel T., Gruk M. (2014). Wybrane metody doboru nastaw regulatora PID
w sterowaniu suwnicą 3D. Praca dyplomowa, Politechnika Gdańska, Wydział
Elektrotechniki i Automatyki.
7. Holejko D., Kościelny W.J. (2012). Automatyka procesów ciągłych. Oficyna
Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa.
12