C:\Users\Seven\Documents\Moje d

Ekonomia matematyczna - 1.1
Elementy teorii konsumenta
1. Pole preferencji
Oznaczmy R n+ =
x = x 1 , . . . , x n  : ⋀ x j ≥ 0 . R n+ rozpatrujemy z normą
j
‖x‖ =
〈x, x〉 =
n
∑ x 2j . Dla x = x 1 , . . . , x n , p = p 1 , . . . , p n 
j=1
n
Ip = 〈x, p〉 =
∑ x j p j = x 1 p 1 + x 2 p 2 +. . . x n p n
j=1
Weźmy pod uwagę rynek, na którym występuje skończona liczba n towarów 1, 2, . . . , n.
Koszyk (wektor) towarów
x = x 1 , x 2 , . . . , x n  ∈ R n+
składa się z n towarów w ilościach x 1 , x 2 , . . . , x n .
Będziemy zakładać, że przestrzenią towarów jest zbiór X = R n+ .
Na rynku towarów operuje m agentów 1, . . . , m. Każdy z nich jest scharakteryzowany przez:
1) swój koszyk początkowy x 0i = x 0i1 , x 0i2 , . . . , x 0in  lub dochód I i ,
2) przestrzeń konsumpcyjną X i ⊂ R n+ – przestrzeń towarów, w zakresie której, i-ty agent
wybiera koszyki,
3) relację prefencji  i określoną w przestrzeni konsumpcyjnej X i .
Definicja 1.1.
Relację  w X nazywamy relacją preferencji (albo słabej preferencji), gdy jest to relacja:
1) zwrotna: ⋀ x  x,
x∈X
2) przechodnia: ⋀ x  y ∧ y  z  x  z,
x,y,z∈X
3) zupełna (liniowa): ⋀ x  y ∨ y  x.
x,y∈X
Definicja 1.2.
Parę X, , gdzie X jest przestrzenią towarów X ≠ ∅, X ⊆ R n+ , a  jest relacją słabej
preferencji konsumenta w X, nazywamy polem preferencji konsumenta.
1
Definicja 1.3.
1) Jeżeli  jest relacją słabej preferencji, to relacja ≃ zdefiniowana:
x ≃ y ⇔ x  y∧y  x
jest relacją równoważności (jest zwrotna, przechodnia oraz symetryczna, tzn. ⋀ x ≃ y ⇒
x,y∈X
y ≃ x).
2) Jeżeli  jest relacją słabej preferencji, to relacja ≺ zdefiniowana:
x ≺ y ⇔ x  y ∧∼y  x lub równoważnie x ≺ y ⇔ x  y ∧∼x ≃ y
jest relacją silnej preferencji.
Definicja 1.4.
Obszarami obojętności w przestrzeni towarów X nazywamy klasy abstrakcji relacji ≃, tj.
zbiory:
K x = y ∈ X : y ≃ x, x ∈ X.
Definicja 1.5.
Relację nazywamy ciągłą w X, jeśli zbiór x, y : x  y jest zbiorem domkniętym w X × X.
Równoważnie: x, y : y ≺ x jest zbiorem otwartym w X × X.
Twierdzenie 1.1.
Następujace warunki są równoważne:
1) relacja preferencji  w zbiorze X ⊆ R n+ jest ciągła,
2) dla dowolnych a, b ∈ X zbiory G + a = x ∈ X : a ≺ x, G − b = x ∈ X : x ≺ b są otwarte,
3) dla dowolnych a, b ∈ X zbiory F − a = x ∈ X : x  a, F + b = x ∈ X : b  x są
domknięte.
Dowód: (ćwiczenie)
Definicja 1.6.
Niech
para
tworzy
pole
preferencji
i
niech
zbiór
B ≠ ∅, B ⊆ X.
X, 
Element x ∈B taki, że y  x,dla każdego y ∈ B, oznaczymy x = arg max  B i nazwiemy
B-preferowanym. Oznaczmy też
Argmax  B =
x ∈B :
⋀y  x
.
y∈B
2. Funkcja użyteczności
2
Definicja 2.1.
Określoną na przestrzeni towarów funkcję u : X → R nazywamy funkcją użyteczności zgodną
z relacją preferencji , jeżeli dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi:
ux ≤ uy ⇔ x  y,
Twierdzenie 2.1.
Jeżeli u : X → R jest funkcją użyteczności zgodną z relacją , to ux = uy wtedy i tylko
wtedy, gdy x ≃ y.
Twierdzenie 2.2.
Jeśli u : X → R jest funkcją użyteczności zgodną z relacją  i g : R → R jest funkcją ściśle
rosnącą, to g ∘ u też jest funkcją użyteczności zgodną z relacją .
Twierdzenie 2.3.
Gdy relacja preferencji  zdefiniowana jest przez funkcję użyteczności u : X → R, tzn.
def
x  y ⇔ ux ≤ uy, przy czym u jest funkcją ciągłą, to relacja  jest ciągła.
O ile powyższe twierdzenie jest dość oczywiste, to poniższe twierdzenie Debreu jest
nietrywialne.
Twierdzenie 2.4.(Debreu)
Jeśli  jest relacją preferencji na X i  jest ciągła, to istnieje ciągła funkcja użyteczności
u : X → R taka, że ux ≤ uy wtedy i tylko wtedy, gdy x  y.
Dowód: (ćwiczenie)
Definicja 2.2.
Mówimy,
że
w
polu
preferencji
zachodzi
X, 
(inaczej: relacja preferencji  jest rosnąca względem ≤ ), gdy:
zjawisko
niedosytu
⋀ x ≤ y ∧ x ≠ y ⇒ x ≺ y.
x,y∈X
3. Maksymalizacja użyteczności
Twierdzenie 3.1.(Weierstrasse’a)
3
Niech B będzie zwartym, niepustym podzbiorem R n+ i na R n+ dana niech będzie ciągła relacja
preferencji  .Wówczas zbiór najlepszych w B względem  koszyków jest niepusty i zwarty.
Twierdzenie 3.2.
Niech B będzie wypukłym podzbiorem R n+ .
1) Jeżeli relacja preferencji jest wypukła, tzn. dla dowolnego x zbiór
F + x = y : x  y jest wypukły, to zbiór Argmax  B jest wypukły.
2) Jeśli relacja preferencji jest ściśle wypukła, tzn. dla dowolnego x zbiór F + x = y : x  y
jest ściśle wypukły, czyli
⋀ ⋀
x ≺ λv + 1 − λz ,
v,z∈F + x λ∈0,1
to zbiór Argmax  B jest zbiorem co najwyżej jednopunktowym.
Uwaga 3.1.
Jeśli x  y ⇔ux ≤ uy , gdzie u : X → R jest funkcją:
1) quasi-wklęsłą, tzn.
⋀ ⋀
uλx +1 − λy ≥ minux, uy,
x,y λ∈0,1
to relacja  jest wypukła.
2) ściśle quasi-wklęsłą, tzn.
⋀ ⋀
uλx +1 − λy > minux, uy,
x,y λ∈0,1
to relacja  jest ściśle wypukła.
Każda funkcja wklęsła jest quasi-wklęsła. Każda funkcja ściśle wklęsła jest ściśle
quasi-wklęsła.
Wniosek 3.1.
Jeśli B jest ograniczonym, domkniętym, wypukłym podzbiorem w R n+ , a funkcja użyteczności
u : R n+ → R jest ciągła i ściśle quasi-wklęsła (relacja preferencji jest ciągła i ściśle wypukła), to
istnieje dokładnie jeden x ∈ B taki, że ux ≤ ux, dla każdego x ∈ B.
Weźmy pod uwagę opisaną wcześniej przestrzeń towarów X oraz operujących na rynku
4
agentów (konsumentów). Agent dysponujący dochodem I scharakteryzowany jest przez
funkcję użyteczności u : X → R, która jest związana z jego preferencją , tzn.
x  y ⇔ux ≤ uy. Agent zgłasza popyt indywidualny
Dp =
x ∈ Bp, I :
⋀
xx ,
x∈Bp,I
gdzie zbiór Bp, I = x ∈X : 〈x, p〉 ≤ I nazywamy jego zbiorem budżetowym.
Gdy dochód agenta pochodzi wyłącznie z wartości jego koszyka towarów - czyli zależy od
cen p, to I = Ip = 〈x 0 , p〉, a wtedy B x0 p = Bp, Ip = x ∈X : 〈x − x 0 , p〉 ≤ 0.
Inaczej mówiąc: agent rozwiązuje zadanie maksymalizacji z ograniczeniami:
1 − p, I
max ux = max ux 1 , . . . , x n 
przy ograniczeniach
x 1 ≥ 0,
…
x n ≥ 0,
〈x, p〉 = x 1 p 1 +… +x n p n ≤ I,
gdzie p >> 0, I > 0.
Przy założeniach, że funkcja użyteczności jest ściśle wklęsła, rosnąca i dwukrotnie
różniczkowalna rozwiązanie x zadania 1 − p, I jest funkcją zmiennych
p >> 0, I > 0 : x = ϕp, I.
(Gdy I = Ip = 〈x 0 , p〉,to x = ϕp, Ip).
Przy założeniu wklęsłości funkcji u można, w oparciu o twierdzenie Kuhna-Tuckera, podać
warunki konieczne i dostateczne na to, by element x był rozwiązaniem tego zadania.
Twierdzenie 3.3.(Kuhna-Tuckera)
Niech f, g 1 , . . . , g n : R n → R będą funkcjami wypukłymi i rózniczkowalnymi. Wówczas x ∈ R n
jest rozwiązaniem zadania programowania wypukłego:
min fx
przy ograniczeniach
5
g 1 x ≤ 0,
…
g n x ≤ 0,
wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki:
a)
g 1 x ≤ 0,
…
g n x ≤ 0,
b) istnieje λ = λ 1 , . . . , λ n  ≥ 0 takie, że
(b1)
λ j g j x = 0, dla każdego j ∈ 1, . . . , n,
n
∇fx = − ∑ λ j ∇g j x,
(b2)
j=1
gdzie
∂f
∇fx =  ∂x 1 x, . . . ,
∇g j x = 
∂f
x
∂x n
∂g j
∂g j
x, . . . , ∂x n x
∂x 1
oznaczają odpowiednio gradienty funkcji f oraz g j ,
∂f
∂x 1
(tzn.
n
x = − ∑ λ j
j=1
∂g j
∂x 1
x
.)
....
∂f
∂x m
n
x = − ∑ λ j
j=1
∂g j
∂x m
x
Aby skorzystać z twierdzenia Kuhna-Tuckera zadanie maksymalizacji użyteczności
1 − p, I można zapisać w równoważnej postaci:
2 − p, I
min − ux
przy ograniczeniach
g 1 x = −〈x, e 1 〉 = −x 1 ≤ 0,
…
g n x = −〈x, e n 〉 = −x n ≤ 0,
g n+1 x = 〈x, p〉 − I = x 1 p 1 +. . . +x n p n − I ≤ 0.
6
Mamy więc z twierdzenia Kuhna-Tuckera następujące wnioski:
Wniosek 3.2.
Jeśli u : R n → R jest funkcją wklęsłą i rózniczkowalną, to x ∈ R n jest rozwiązaniem zadania
1 − p, I wtedy i tylko wtedy, gdy:
a)
x 1 ≥ 0,
…
x n ≥ 0,
x 1 p 1 +. . . +x n p n ≤ I,
b) istnieją λ 1 , . . . , λ n , λ n+1 ≥ 0 takie, że
(b1)
λ j x j = 0 , dla j ∈ 1, . . . , n,
λ n+1 x 1 p 1 +. . . +x n p n − I = 0,
(b2)
∇ux = −λ + λ n+1 p = 0,
gdzie λ = λ 1 , . . . , λ n , p >> 0
tzn.
∂u
x = −λ 1 + λ n+1 p 1 ,
∂x 1
…
∂u
∂x n
x = −λ n + λ n+1 p n .
Definicja 3.1.
O koszyku towarów x ∈ X mówimy, że leży na hiperpłaszczyźnie budżetowej, jeżeli spełnia
warunek 〈x, p〉 = I.
Wniosek 3.4.
Gdy funkcja użyteczności u jest jak we wniosku 3.2, różniczkowalna oraz rosnąca względem
porządku ≤ w R n , to wtedy ∇ux ≥ 0. Gdy w warunku (b2) ostatniego wniosku, dla pewnego
∂u
j, mamy nierówność ∂x
x > 0, to
j
∂u
∂x j
x = λ n+1 p j − λ j > 0,
stąd
λ n+1 p j > λ j ≥ 0,
7
zatem
λ n+1 > 0.
Stąd i z warunku (b1) wynika, że
λ n+1 x 1 p 1 +. . . +x n p n − I = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy
x 1 p 1 +. . . +x n p n − I = 0.
A zatem
〈x, p〉 = I.
To oznacza, że rozwiązanie zadania 1 − p, I leży na hiperpłaszczyźnie budżetowej.
4. Krańcowa uzyteczność, substytucja, elastycznoś ć substytucji
Definicja 4.1
Krańcową uzytecznością j −tego towaru w koszyku x nazwiemy pochodną cząstkową
∂u x
∂x j
Definicja 4.2
Krańcową stopą substytucji i −tego towaru przez towar j −ty w koszyku x nazwiemy liczbę
s ij x =
∂u
∂x i
∂u
∂x j
x
x

Δx j
Δx i
Definicja 4.3
Elastycznoscią substytucji i −tego towaru przez towar j −ty w koszyku x nazwiemy liczbę
 ij x =
∂u
∂x i
∂u
∂x j
x
⋅ xi 
x x j
Δx j
xj
Δx i
xi
Przykłady funkcji użyteczności (w przestrzeni dwóch towarów)
0.6
ux 1 , x 2  = x 0.4
1 x2
8
s 12 x 1 , x 2  =
∂ux 1 ,x 2 
∂x 1
∂ux 1 ,x 2 
∂x 2
= 2x 2
3x 1
 12 x 1 , x 2  = 2
3
5
4
3
2
1
1
2
4
3
5
vx 1 , x 2  = ln ux 1 , x 2  = 0. 4 ln x 1 + 0. 6 ln x 2
s 12 x 1 , x 2  =
∂vx 1 ,x 2 
∂x 1
∂vx 1 ,x 2 
∂x 2
= 2x 2
3x 1
 12 x 1 , x 2  = 2
3
9
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
5. Funkcja popytu (popyt Marshalla)
Jeśli u jest funkcją ściśle quasi-wklęsłą i ciągłą, to zadanie maksymalizacji użyteczności
ma dokładnie jedno rozwiązanie x, dla każdego p >>0 i każdego I > 0, tzn. mamy określoną
funkcję popytu:
p, I ↦ ϕp, I = x.
Bez założeń dotyczących funkcji u, może istnieć dokładnie jeden najlepszy koszyk, może
istnieć wiele takich koszyków, lub może w ogóle nie istnieć taki koszyk.
Twierdzenie 5.1.
Jeżeli:
1) relacja preferencji  jest ciągła na R n+ ,
2) pole preferencji R n+ ,  jest ściśle wypukłe,
to
odwzorowanie
przyporządkowujące
każdej
parze
p, I ↦ ϕp, I
p >> 0, I > 0 dokładnie jeden najlepszy, przy ograniczeniach budżetowych, koszyk jest
funkcją.
Dowód:
Zauważmy, że gdy p >> 0, to
10
Bp, I = co 0, pI1 e 1 , . . . , pIn e n ,
zatem zbiory Bp, I są zwarte, a relacja preferencji  jest ciągła. Wobec tego każdemu
dodatniemu wektorowi cen i dodatniemu dochodowi można przyporządkować przynajmniej
jeden Bp, I-preferowany koszyk towarów (z twierdzenia 3.1). Bp, I jest wypukły, pole
preferencji jest z założenia ściśle wypukłe, zatem istnieje nie więcej niż jeden
Bp, I-preferowany koszyk, dla każdego wektora cen p >> 0 i dochodu I > 0 (z twierdzenia
3.2). Łącząc oba wnioski, stwierdzamy, że każdej parze p >> 0, I > 0 przyporządkowany jest
dokładnie jeden Bp, I-preferowany koszyk towarów.■
Twierdzenie 5.2.
Jeśli funkcja użyteczności jest ściśle quasi-wklęsła, rosnąca i ciągła, to funkcja p, I ↦ ϕp, I
jest ciągła w każdym p, I takim, że p >> 0, I > 0.
Dowód:
Niech p k , I k  → p, I, przy czym p >> 0, I > 0 oraz x k = ϕp k , I k , x = ϕp, I. Należy
wykazać, że x k → x, gdy k → ∞.
Pokażemy najpierw, że istnieją y k ∈ Bp k , I k , dla k = 1, 2, . . . takie, że ‖y k − x‖ → 0, gdy
k → ∞ (tzn. w istocie pokażemy, że multifunkcja B jest dolnie półciągła).
Ik
Istotnie, niech y k = 〈x,p
x, dla odpowiednio dużych k (tzn. takich, że p kj > 0, dla
〉
k
j ∈ 1, . . . , n).
Wtedy
〈y k , p k 〉 =
a ponadto
yk →
I
〈x,p〉
Ik
〈x,p k 〉
〈x, p k 〉 = I k ,
x = x, gdyż 〈x, p〉 = I.
Zauważmy jeszcze, że na mocy definicji punktów x k mamy
(*)
uy k  ≤ ux k .
Przypuśćmy teraz, że ciąg x k  nie zbiega do x. Wtedy istnieje  > 0 oraz podciąg x k l  ciągu
x k  taki, że ‖x k l − x‖ ≥ .
Ciąg x k  jest ograniczony. Wynika to z nastepujących nierówności:
n
‖v‖ =
∑ v 2j ≤
j=1
n
∑ vj ≤
j=1
n
∑ v j minq 1q, j. . . , q n 
j=1
=
1
〈v, q〉,
minq 1 , . . . , q n 
11
prawdziwych dla v ≥ 0, q >> 0.
Zatem
1
1
〈x k , p k 〉 →
〈x, p〉,
minp k1 , . . . , p kn 
minp 1 , . . . , p n 
ponieważ 〈x k , p k 〉 = I k → I = 〈x, p〉. Wobec tego podciąg x k l  też jest ograniczony, więc
można z niego wybrać podciąg x k ls  zbieżny do pewnego x 0 ≥ 0.
Mamy
‖x 0 −x‖ = lim
‖x k ls − x‖ ≥ .
s→∞
‖x k ‖ ≤
Ponadto
x k ls , p k ls
〈x 0 , p〉 = lim
s→∞
= lim I k = I
k→∞
oraz
ux 0  = lim
ux k ls .
s→∞
Ze względu na ścisłą quasi-wklęsłość funkcji u, mamy
u
1
2
x0 +
1
2
x
> minux 0 , ux.
Ale
ux 0  = lim
ux k ls  ≥ lim
u y k ls
s→∞
s→∞
Otrzymujemy więc
u 12 x 0 + 12 x
= ux, (patrz (*)).
> ux, dla punktu z = 12 x 0 +x takiego, że
〈z, p〉 = I; sprzeczność.■
12