Wstęp do analizy i algebry - III. Relacje Nie wszystkie interesujące

Wstęp do analizy i algebry - III. Relacje
Nie wszystkie interesujące nas zależności w świecie rzeczywistym, czy też w modelach
ekonomicznych można opisać jako funkcje. Czasami, ograniczenie do przyporządkowania
każdemu argumentowi funkcji dokładnie jednego obiektu jest zbyt silne.
Przykład Znajomości lub więzy rodzinne między ludźmi.
Przykład Dostawcy danej firmy, klienci danego sklepu.
Przykład Porównywanie jakości danych towarów.
I. Relacje - podstawowe definicje
Relację możemy sobie wyobrażać jako „funkcję wielowartościową” tj. takie „odwzorowanie”,
które argumentowi może przypisywać wiele wartości (albo i żadnej). Oczywiście,
cudzysłowy są tu konieczne, bo relacja zwykle nie jest funkcją (acz każda funkcja jest
relacją).
Definicja 1. Dla danych zbiorów 𝑋, 𝑌 relacją nazywamy dowolny podzbiór iloczynu
kartezjańskiego 𝑋 × 𝑌 . Jeśli para (𝑥, 𝑦) należy do relacji 𝑅 ⊂ 𝑋 × 𝑌 , to zapisujemy
ten fakt: 𝑥𝑅𝑦 i czytamy: „𝑥 jest w relacji 𝑅 z 𝑦”.
Przykłady matematyczne 𝑥 ≤ 𝑦, 𝑥 = 𝑦, 𝑥 ∕= 𝑦, 𝑥 ∧ 𝑦 (lub inne funktory logiczne),
𝑥 ∈ 𝑦, 𝑥 ⊂ 𝑦...
Przykłady inne Przedstawione przed tym podrozdziałem.
II. Relacje preferencji i obojętności producentów
Rozważmy producenta, który chce zmaksymalizować zysk (albo przychód, albo wielkość
produkcji). W tym celu musi wybrać, jak duże nakłady poszczególnych czynników produkcji musi zainwestować w proces produkcyjny. Dla uproszczenia, zajmiemy się sytuacją, w której mamy do czynienia tylko z dwoma homogenicznymi czynnikami produkcji:
pracą (𝑙) i kapitałem (𝑘). Każda para (𝑘,𝑙) symbolizuje pewną technologię uzyskania
konkretnej ilości produktu.
Wtedy możemy zdefiniować funkcję zysku 𝑍(𝑘, 𝑙) (która może być np. wspomnianą na
poprzedniej części wstępu funkcją Cobba-Douglasa), jako zysk producenta przy użyciu
danej technologii. Oczywiście, 𝑍 : ℝ2 → ℝ. Dzięki tej funkcji, możemy porównać każde
dwa poziomy nakładów. Zapisujemy (𝑘1 , 𝑙1 ) ≾ (𝑘2 , 𝑙2 ) ⇔ 𝑍(𝑘1 , 𝑙1 ) ≤ 𝑍(𝑘2 , 𝑙2 ). Relację ≾,
będącą podzbiorem ℝ+ ×ℝ+ nazywamy relacją preferencji producenta: w istocie, pokazuje
ona, które z rozwiązań producent preferuje (a przynajmniej, nie uznaje za gorsze).
Zbiory, na których funkcja dwóch zmiennych przyjmuje stałą wartość nazwiemy izokwantami. W tym konkretnym przypadku izokwanty funkcji zysku (ew. przychodu, produkcji)
nazywamy krzywymi obojętności. Innymi słowy, całą przestrzeń możliwych par nakładów
możemy podzielić na części takie, że zysk uzyskany przez dwie pary nakładów należące
do każdej z tych części jest taki sam. W ten sposób definiujemy relację obojętności (lub
indyferencji) ∼ : dwie technologie wchodzą ze sobą w relację obojętności, jeśli zysk jest
taki sam dla obu par nakładów. Formalnie zapisujemy:
(𝑥1 , 𝑦1 ) ∼ (𝑥2 , 𝑦2 ) ⇔ 𝑍(𝑥1 , 𝑦1 ) = 𝑍(𝑥2 , 𝑦2 ).
Rysunki
Przykłady 𝑍(𝑘, 𝑙) = 𝑥 + 𝑦 - dobra doskonale substytucyjne, 𝑍(𝑘, 𝑙) = min{𝑥, 𝑦} - dobra
doskonale komplementarne.
Problem Zazwyczaj producent nie może zupełnie dowolnie wybierać par (𝑘,𝑙) - jest
ograniczony np. swoim budżetem. Dlatego, w praktyce konieczne będzie rozwiązanie tzw.
zagadnienia optymalizacyjnego: wybranie takiej pary poziomów nakładów, dla której producent osiąga maksymalny zysk (przychód, wielkość produkcji) w danym zbiorze „możliwych do użycia” par. Takie zagadnienia będą typowe dla dalszej części wykładu z analizy.
III. Relacje preferencji i obojętności konsumentów. Funkcje użyteczności
Powyższą konstrukcję stosuje się częściej w kontekście relacji preferencji i funkcji
użyteczności konsumenta. Jednak przykład producenta jest bardziej klarowny i wymaga
mniej filozoficznych dywagacji o istocie używanych konstrukcji.
1
2
Dla uproszczenia, załóżmy, że konsument wybiera spośród koszyków złożonych z pewnych
ilości dwu dóbr. Dopuszczamy zadłużenie, więc koszyki (𝑥, 𝑦) pochodzą z przestrzeni
ℝ2 . Zakładamy, że konsument niczego nie produkuje ze wspomnianych dóbr, dlatego nie
będziemy budować modelu od jakiejś funkcji „zysku”, ale od relacji preferencji konsumenta
(którą w praktyce, poprzez jego wybory, można zaobserwować).
Analogicznie do poprzedniego modelu, zapisujemy, że koszyk (𝑥1 , 𝑦1 ) jest nie bardziej
preferowany przez konsumenta niż koszyk (𝑥2 , 𝑦2 ) następująco: (𝑥1 , 𝑦1 ) ≾ (𝑥2 , 𝑦2 ). Relację
≾, będącą podzbiorem ℝ2 nazywamy relacją preferencji konsumenta (czasem dodając
na początku słowo: racjonalną). Jeśli konsument ocenia obydwa koszyki równo (czyli
(𝑥1 , 𝑦1 ) ≾ (𝑥2 , 𝑦2 ) i (𝑥2 , 𝑦2 ) ≾ (𝑥1 , 𝑦1 )), to zapisujemy: (𝑥1 , 𝑦1 ) ∼ (𝑥2 , 𝑦2 ) i tę relację
również nazywamy relacją obojętności.
Ze względów technicznych (i dlatego, że się da) zazwyczaj konstruuje się funkcję analogiczną do funkcji zysku producenta. Zakłada się, że konsument również coś produkuje
z danego koszyka dóbr: tzw. użyteczność (dla siebie samego). W swoich wyborach,
konsument kieruje się maksymalizacją użyteczności.
Definicja 2. Dla zadanej relacji preferencji ≾, funkcja 𝑢(𝑥, 𝑦) jest funkcją użyteczności
danego konsumenta, jeśli 𝑢(𝑥1 , 𝑦1 ) ≤ 𝑢(𝑥2 , 𝑦2 ) ⇔ (𝑥1 , 𝑦1 ) ≾ (𝑥2 , 𝑦2 ) dla każdych liczb
𝑥1 , 𝑦1 , 𝑥2 , 𝑦2 ∈ ℝ.
Co ważne, funkcja użyteczności dla danej relacji preferencji nie jest jedyna. Jeśli 𝑢 jest
funkcją użyteczności dla relacji preferencji ≾, a 𝑓 : ℝ → ℝ jest dowolną funkcją rosnącą,
to 𝑓 ∘ 𝑢 jest również funkcją użyteczności dla relacji preferencji ≾.
Przykład Jeśli 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 jest funkcją użyteczności dla relacji preferencji ≾, to tę
samą relację preferencji można modelować za pomocą funkcji użyteczności takich jak
𝑢0 (𝑥, 𝑦) = 1000𝑥𝑦, 𝑢1 (𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑦)3 , 𝑢2 (𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 , czy 𝑢3 (𝑥, 𝑦) = arctg 𝑥𝑦.
Znów tak jak w poprzednim modelu, izokwanty funkcji użyteczności nazywa się krzywymi
obojętności konsumenta.
Uwaga Warto pamiętać (choć czasem się zapomina), że funkcja użyteczności jest tylko
wygodną abstrakcją, ułatwiającą modelowanie. Nic nie wskazuje na to, by konsumenci,
dokonując wyborów ekonomicznych, obliczali wartości użyteczności - raczej kierują się jedynie porównaniem dóbr (czyli relacją preferencji). Nawet stwierdzenia typu „pomidora
mogę wymienić na 3 ogórki” nie świadczą o tym, że użyteczność pomidora dla wypowiadającego tę opinię konsumenta jest 3 razy większa od użyteczności ogórka (wręcz zazwyczaj
tak nie jest ze względu na tzw. prawo malejącej użyteczności krańcowej, którym zajmiemy
się kiedy indziej).
Uwaga Wnioskiem z poprzedniego przykładu jest fakt, że o ile funkcji użyteczności
możemy używać do modelowania wyborów pojedynczego konsumenta, to nie możemy
(przynajmniej w matematycznie rozsądny sposób) w ten sposób porównywać użyteczności
dwóch różnych konsumentów lub wykonywać na nich działań. Można sobie wyobrazić,
że „utyle” konsumenta A są innymi jednostkami niż „utyle” konsumenta B i ich porównywanie lub dodawanie jest równie uprawnione jak porównywanie lub dodawanie metrów
z sekundami. Istnieją nurty w ekonomii próbujące ominąć to ograniczenie (np. utylitarianizm), jednak prowadzi to najczęściej do trudnych do wyjaśnienia paradoksów.
Przykład Załóżmy, że preferencje zarówno konsumenta A, jak i konsumenta B są dane
relacją: (𝑥1 , 𝑦1 ) ≾ (𝑥2 , 𝑦2 ) ⇔ 𝑥1 𝑦1 ≤ 𝑥2 𝑦2 . Naturalnymi funkcjami użyteczności są
𝑢𝐴 (𝑥, 𝑦) = 𝑢𝐵 (𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦. Jeśli konsument 𝐴 posiada koszyk dóbr (6, 1), a konsument
𝐵 ma koszyk dóbr (3, 5), to wydaje się, że konsument 𝐵 osiąga ze swojego koszyka dóbr
większą użyteczność niż konsument 𝐴 (bo 𝑢(6, 1) = 6 < 15 = 𝑢(3, 5)). Dodatkowo,
suma użyteczności tych koszyków (naturalna „wspólna użyteczność”) jest mniejsza, niż
gdybyśmy dobro drugie w ilości 1 przekazali od konsumenta 𝐵 do konsumenta 𝐴 (bo
𝑢(6, 1) + 𝑢(3, 5) = 21 < 24 = 𝑢(6, 2) + 𝑢(3, 4)). Jednakże, konsumentowi 𝐴 można
równie dobrze przypisać funkcję użyteczności 𝑢𝐴 (𝑥, 𝑦) = 10𝑥𝑦 i wtedy nagle staje się
„bogatszy w użyteczność” od konsumenta 𝐵 (bo 𝑢𝐴 (6, 1) = 60 > 15 = 𝑢(3, 5)). Z drugiej
strony, wybory konsumenta 𝐵 mogą być opisane funkcją użyteczności 𝑢𝐵 (𝑥, 𝑦) = 100𝑥𝑦
3
i wtedy wspomniana „redystrybucja” dobra drugiego zmniejsza sumę użyteczności (bo
𝑢(6, 1) + 𝑢𝐵 (3, 5) = 1506 < 1212 = 𝑢(6, 2) + 𝑢𝐵 (3, 4)).
Jak widać, założenie o tym, że funkcje użyteczności są bytami rzeczywistymi może
prowadzić do absolutnie dowolnych (nawet przeciwstawnych) wniosków. Niemniej, ostrożnie używane, mogą w wielu okolicznościach ułatwić obliczenia. Np. maksymalna
wartość funkcji użyteczności na jakimś zbiorze zawsze wypada dla tych samych koszyków
towarów, niezależnie jaką funkcję użyteczności wybierzemy, dlatego analiza funkcji użyteczności w zagadnieniach optymalizacyjnych (dla pojedynczego konsumenta) jest
uprawniona.
Uwaga Specjaliści od aksjomatycznych podstaw ekonomii nadal się spierają, czy również
relacja obojętności konsumenta nie jest czasem tylko abstrakcyjną konstrukcją, ułatwiającą matematyczną interpretację: obserwując wybory konsumenta, zawsze widzimy, że
wybiera jakieś dobro kosztem innego, a zaobserwowanie tego, że „ jest mu wszystko jedno”
jest niezwykle trudne.
Uwaga ostateczna Modele z ostatnich dwu podrozdziałów można z łatwością dostosować do sytuacji, kiedy dóbr bądź czynników produkcji jest więcej. Ograniczyliśmy się
do przypadku dwuargumentowego ze względu na prostotę zapisu i rysowania wykresów.
IV. Ogólna definicja relacji preferencji i równoważności
Często lepsze spojrzenie na daną sytuację można sobie zapewnić, jeśli uświadomimy sobie,
że badane przez nas zjawiska są szczególnymi przypadkami zjawisk ogólniejszych. Tak jest
i w tym wypadku: relacje preferencji i obojętności są szczególnymi przypadkami typów
relacji, które nazywamy relacjami słabej preferencji, bądź relacjami równoważności.
Własności relacji
Niech będzie dana relacja 𝑅 ⊂ 𝑋 × 𝑋 - dla niej zadajemy poniższe definicje. Badając
relację, możemy sprawdzać następujące własności:
Definicja 3. Relację nazywamy zwrotną jeśli dla każdego 𝑥 ∈ 𝑋 zachodzi 𝑥𝑅𝑥.
Przykłady Relacja równości liczb =⊂ ℝ×ℝ jest zwrotna, bo dla każdego 𝑥 ∈ ℝ zachodzi
𝑥 = 𝑥. Zresztą to samo będzie dla każdej równości (np. zbiorów, wektorów, macierzy
itp.). Relacja równoważności ⇔⊂ 𝑋 ×𝑋, gdzie 𝑋 jest zbiorem zdań, jest relacją zwrotną,
ponieważ dla każdego 𝑝 ∈ 𝑋 zachodzi 𝑝 ⇔ 𝑝. Ale też relacją zwrotną jest relacja ≤ na
zbiorze liczb rzeczywistych (bo zawsze 𝑥 ≤ 𝑋) oraz relacja na zbiorze studentów „bycia
w tej samej grupie dziekańskiej” (bo każdy jest „ze sobą” w tej samej grupie).
Z kolei relacją zwrotną nie jest „bycie rodzicem kogoś” zadane na zbiorze ludzi, bo nikt
nie jest rodzicem samego siebie. Również relacja 𝑅 ⊂ ℝ × ℝ dana przez 𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑥 + 𝑦 ∈ ℤ
nie jest relacją zwrotną , gdyż nie zawsze zachodzi 𝑥𝑅𝑥 np. nieprawdą jest, że 31 𝑅 13 , gdyż
1
+ 13 ∈
/ ℤ(choć czasami 𝑥𝑅𝑥 np. 1𝑅1, bo 1 + 1 ∈ ℤ, ale wystarczy jeden kontrprzykład,
3
by obalić twierdzenie). Nie jest zwrotna również np. koniunkcja na zbiorze zdań, gdyż
dla zdań fałszywych nieprawdą jest, że 𝑝 ∧ 𝑝.
Definicja 4. Relację nazywamy symetryczną jeśli dla każdych 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 zachodzi
𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑦𝑅𝑥.
Przykłady Relacja równości liczb =⊂ ℝ × ℝ jest symetryczna, bo dla każdych 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
zachodzi 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑦 = 𝑥. Zresztą to samo będzie dla każdej równości (np. zbiorów,
wektorów, macierzy itp.). Relacja alternatywy ∨ ⊂ 𝑋 × 𝑋, gdzie 𝑋 jest zbiorem zdań,
jest relacją symetryczną, ponieważ dla każdego 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑋 zachodzi 𝑝 ∨ 𝑞 ⇔ 𝑞 ∨ 𝑝 (to samo
dla koniunkcji i równoważności). Na zbiorze ludzi „bycie rodzeństwem” jest symetryczne,
bo 𝐴 jest bratem lub siostrą 𝐵 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝐵 jest bratem lub siostrą 𝐴. Na
zbiorze firm „bycie kontrahentem handlowym” jest symetryczne, bo 𝐴 jest kontrahentem
handlowym 𝐵 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝐵 jest kontrahentem handlowym 𝐴.
Relacja słabej nierówności liczb ≤⊂ ℝ × ℝ nie jest symetryczna, bo np. 2 ≤ 3, ale
nieprawdą jest, że 3 ≤ 2 (choć czasem symetria jest: 2 ≤ 2 i 2 ≤ 2, ale wystarczy jeden
kontrprzykład...). Analogicznie nie jest symetryczne zawieranie ⊂ na zbiorach. Tym
4
bardziej symetryczna nie jest relacja <. Nie jest symetryczna relacja na zbiorze ludzi
𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑥 jest potomkiem 𝑦, bo nie zdarza się, by 𝑥 był potomkiem 𝑦, a 𝑦 jednocześnie
potomkiem 𝑥. Nie jest symetryczna relacja na zbiorze ludzi 𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑥 lubi 𝑦 (bo może 𝑥
lubić 𝑦, a 𝑦 nie lubić 𝑥).
Definicja 5. Relację nazywamy przechodnią jeśli dla każdych 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 zachodzi
(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) ⇒ 𝑥𝑅𝑧.
Przykłady Relacje równości i nierówności na liczbach są przechodnie: jeśli 𝑥 = 𝑦 i 𝑦 = 𝑧
to oczywiście 𝑥 = 𝑧. Tak samo, jeśli 𝑥 < 𝑦 i 𝑦 < 𝑧 to 𝑥 < 𝑧. Zresztą to samo będzie
dla każdej równości (np. zbiorów, wektorów, macierzy itp.) oraz np. relacji zawierania
zbiorów. Szczególnie ważny jest fakt, że relacja wynikania jest przechodnia: jeśli 𝑝 ⇒ 𝑞 i
𝑞 ⇒ 𝑟 to 𝑝 ⇒ 𝑟. Na tej własności (zasada przechodniości implikacji) opierają się wszelkie
rozumowania dedukcyjne, w szczególności dowody matematyczne.
Nie jest przechodnią na przykład relacja 𝑅 ⊂ ℝ × ℝ dana przez 𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑥 + 𝑦 ∈ ℤ, gdyż
1 2 2 4
𝑅 , 𝑅 , ale nie zachodzi 31 𝑅 34 (bo 31 + 43 = 53 ∈
/ ℤ). A jeden kontrprzykład wystarcza...
3 3 3 3
Relacja bycia znajomym również nie jest przechodnia: może zajść sytuacja, że 𝐴 jest
znajomym 𝐵, 𝐵 jest znajomym 𝐶, a 𝐴 nie jest znajomym 𝐶.
Definicja 6. Relację nazywamy spójną jeśli dla każdych 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 zachodzi 𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥.
Przykłady Spójna jest relacja słabej nierówności ≤⊂ ℝ × ℝ, bo dla każdej pary liczb
rzeczywistych, pierwsza jest niemniejsza od drugiej lub druga jest niemniejsza od
pierwszej. Relacją spójną jest też na przykład relacja „stania nie dalej niż druga
osoba” zadana na zbiorze osób stojących w kolejce.
Zauważmy, że relacja spójna jest zawsze zwrotna, więc wszystkie relacje, które nie były
zwrotne, nie są też spójne.
Z kolei np. relacja podzielności na liczbach naturalnych nie jest spójna, mimo, że jest
zwrotna: np. 5 nie dzieli się przez 3, ani 3 nie dzieli się przez 5.
Definicja 7. Relację nazywamy relacją słabej preferencji jeśli jest zwrotna, przechodnia
i spójna .
Przykłady Znane z poprzednich części tego wykładu relacje preferencji producenta i
konsumenta (≾) są relacjami słabej preferencji.
Definicja 8. Relację nazywamy relacją równoważności lub równoważnością jeśli jest
zwrotna, przechodnia i symetryczna.
Przykłady Relacjami równoważności są wszelkie relacje równości, czy też równoważności
zdań. Najistotniejszą w ekonomii relacją równoważności jest wspomniana wcześniej
relacja obojętności (proszę sprawdzić jej zwrotność, przechodniość i symetryczność we
własnym zakresie).
Definicja 9. Niech 𝑅 będzie równoważnością. Wtedy [𝑥] := {𝑦 : 𝑥𝑅𝑦} nazywamy klasą
równoważności (lub klasą abstrakcji) elementu 𝑥.
Twierdzenie 1. Jeśli 𝑦 ∈ [𝑥], to [𝑥] = [𝑦]. Innymi słowy, klasy abstrakcji relacji
równoważności są albo jednakowe, albo rozłączne.
Wniosek 2. Relacja jest relacją równoważności, jeśli dzieli zbiór 𝑋 na klasy abstrakcji tj.
gdy jej klasy abstrakcji, jeśli nie są jednakowe, to są rozłączne, a ich suma mnogościowa
jest całym zbiorem 𝑋.
Z tych ostatnich twierdzeń wynika, że na relację równoważności można patrzeć w inny
sposób: jest to podział naszej przestrzeni na rozłączne między sobą części, zwane właśnie
klasami abstrakcji tej relacji.
Przykłady Zbiór koszyków podzielony na krzywe obojętności konsumenta (relacja obojętności).
Zbiór studentów podzielony na grupy dziekańskie (relacja 𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑥 jest w tej samej
grupie dziekańskiej co 𝑦).
5
Podział zbioru wszystkich zdań na prawdziwe i fałszywe (relacja równoważności zdań).
Podział firm ze względu na sektor rynku w którym działają - przy założeniu, że każda
firma działa w jednym sektorze (relacja 𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑥 działa w tym samym sektorze co 𝑦).
Podział ludzi ze względu na kolor włosów (relacja 𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑥 ma ten sam kolor włosów,
co 𝑦).