b - nazwa.pl

Mieczysław Wilk
Mielec, 2008
Pierwsza funkcja B. Tornquista
a > 0, b > 0
Popyt na dobra podstawowe ( np.: wyŜywienie, niezbędna odzieŜ, stałe opłaty
nośników energii ) nabywane przy bardzo niskich dochodach,
f
(x )
= a⋅
x
x+b
Tablica 1. NajwaŜniejsze własności pierwszej funkcji B. Tornquista.
Dziedzina
Df : x ∈ R \ {−b }
Asymptoty
y =a, x=−b
(x )
a ⋅b
(x + b )2
f
'
( x)
f
'
( x) >
0
x ∈ R \ {−b } ⇒
f
'
( x) <
0
x∈ Ø
''
( x)
f p. p
Ef
'
=
f stale
brak
f ext
f
f
( x)
f
''
(x )
=
− 2a b
( x + b )3
brak
E
f
(x )
=
b
x+b
%
2
y
f
y=a
(x )
= a⋅
x
x+b
a
a
b +1
0
1
x
x =-b
-b
Rys. 1. Krzywa Tornquista – funkcja popytu na dobra podstawowe
W ekonomii analizowana jest tylko „niebieska część wykresu” dla: x > 0
3
Druga funkcja Tornquista
a > 0, b > 0, c > 0
Popyt na dobra wyŜszego rzędu ( np.: meble, sprzęt gospodarstwa domowego,
samochody średniej klasy ) nabywane przy średnich dochodach,
f
(x )
= a⋅
x −c
x +b
Tablica 2. NajwaŜniejsze własności drugiej funkcji B. Tornquista.
Dziedzina
Df : x ∈ R \ {−b }
Asymptoty
y =a, x=−b
(x )
a (b + c )
(x + b )2
f
'
( x)
f
'
( x) >
0
x ∈ R \ {−b } ⇒
f
'
( x) <
0
x∈ Ø
''
( x)
f p. p
Ef
'
=
f stale
brak
f ext
f
f
( x)
f
''
(x )
=
− 2a ( b + c
( x + b )3
)
brak
E
f
(x )
=
( b + c )⋅ x
( x + b )⋅ ( x − c )
%
4
y
f
y=a
(x )
= a⋅
x−c
x+b
a
−a c
b
0
c
x
x =-b
-b
Rys. 2. Krzywa Tornquista – funkcja popytu na dobra wyŜszego rzędu
W ekonomii analizowana jest tylko „niebieska część wykresu” dla: x > 0
5
a > 0, b > 0, c > 0
Trzecia funkcja Tornquista
Popyt na dobra luksusowe ( np.: samochody bardzo wysokiej klasy np. Ferrari, Austin,
itp., jachty, luksusowe domy, wille ) nabywane przy wysokich dochodach,
f
(x )
= ax⋅
x−c
x+b
Tablica 3. NajwaŜniejsze własności trzeciej funkcji B. Tornquista.
Dziedzina
Df : x ∈ R \ {−b }
Asymptoty
y = a x − a( b + c ),
(x )
(x2
f
'
( x)
f
'
( x) >
0
x ∈  − ∞ ; − b −

⇒ f
f
'
( x) <
0
x ∈  − b −

⇒ f
f ext
f
''
( x)
f p. p
Ef
( x)
f
'
=
a
x = −b
+ 2b x − bc)
(x + b )2
b ⋅ ( b + c )  ∪  − b +


b ⋅ ( b + c ) ; − b  ∪  − b ; − b + b ⋅ ( b + c ) 



f max = f  − b −

b⋅( b + c
) 

< 0
f min = f  − b +

b ⋅( b + c
) 
> 0
f
''
(x )
=
b ⋅ ( b + c ) ; + ∞ 


2 ab (b + c)
( x + b )3
brak
E
f
(x )
=
x2 + 2b x − bc
( x + b )⋅ ( x − c )
%
6
x =-b
y
f
0
x2
-b
(x )
= ax⋅
x−c
x+b
x1 c
f min
b+c
x
-a(b+c)
- 2a ( b + c )
f max
Rys. 3. Krzywa Tornquista – funkcja popytu na dobra luksusowe
W ekonomii analizowana jest tylko „niebieska część wykresu” dla: x > 0
7