Metody numeryczne

Metody numeryczne
Interpolacja, cz˛eść I
Janusz Szwabiński
[email protected]
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.1/55
Literatura (uzupełnienie)
1. K. A. Ross, Ch. R. B. Wright, “Matematyka dyskretna”
2. P. Wróblewski, “Algorytmy, struktury danych i techniki
programowania”
3. Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wasowski,
˛
“Metody
numeryczne”
4. G. M. Fichtenholz, “Rachunek różniczkowy i całkowy”
5. A. Mostowski, M. Stark, “Elementy algebry wyższej”
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.2/55
Interpolacja, cz˛eść I
1. Zagadnienie interpolacyjne
2. Interpolacja wielomianowa
Wzór interpolacyjny Lagrange’a
Metoda Aitkena
Metoda Neville’a
Oszacowanie bł˛edu wzoru interpolacyjnego
Wzór interpolacyjny Newtona
Zbieżność procesów interpolacyjnych
3. Interpolacja wymierna
Sformułowanie zagadnienia
Odwrotności ilorazów różnicowych
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.3/55
Zagadnienie interpolacyjne (1)
- wartości funkcji interpolowanej
- funkcja interpolujaca
˛
- w˛ezły interpolacji
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.4/55
Zagadnienie interpolacyjne (2)
y
1
0,5
0
−1
0
x
1
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.5/55
..
.
nazywa si˛e
Definicja Wyznacznikiem Vandermonde’a stopnia
wyznacznik
Interpolacja wielomianowa (1)
Twierdzenie 1
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.6/55
równań liniowych o
niewiadomych
Definicja Układ
Interpolacja wielomianowa (2)
..
.
nazywamy układem Cramera, jeśli
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.7/55
Interpolacja wielomianowa (3)
powstaje z macierzy
, , .
przez zastapienie
˛
–tej
gdzie macierz
kolumny przez
Twierdzenie 2 Układ Cramera ma dokładnie jedno
rozwiazanie:
˛
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.8/55
punktów w˛ezłowych
taki, że
istnieje dokładnie jeden wielomian
dla
Twierdzenie 3 Dla dowolnych
- zbiór wielomianów stopnia
Interpolacja wielomianowa (4)
interpolacja wielomianowa jest zagadnieniem
jednoznacznym.
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.9/55
. Szukamy
Dowód Mamy
punktów w˛ezłowych
wielomianu interpolujacego
˛
w postaci
Interpolacja wielomianowa (5)
przy czym
Stad
˛
..
.
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.10/55
Interpolacja wielomianowa (6)
dla
,
Ponieważ
jest wyznacznikiem Vandermonde’a
..
.
Dowód (ciag
˛ dalszy) Macierz tego układu (niewiadomymi sa˛
współczynniki !) ma postać
układ równań jest układem Cramera
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.11/55
Interpolacja wielomianowa (7)
istnieje dokładnie jedno rozwiazanie
˛
gdzie
sa˛ kolejnymi dopełnieniami algebraicznymi
elementów –tej kolumny macierzy .
Dowód (ciag
˛ dalszy)
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.12/55
- wielomiany stopnia
Wzór interpolacyjny Lagrange’a (1)
.
,
gdy
gdy
Ponieważ
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.13/55
otrzymujemy
Z warunku
Wzór interpolacyjny Lagrange’a (2)
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.14/55
Wzór interpolacyjny Lagrange’a (3)
gdzie
wielomian Lagrange’a jest jedynym wielomianem
interpolacyjnym stopnia
Twierdzenie o jednoznaczności
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.15/55
Wzór interpolacyjny Lagrange’a (4)
8
-3
1
3
4
2
1
-2
Przykład Szukamy wielomianu interpolacyjnego, który
przechodzi przez nast˛epujace
˛ punkty w˛ezłowe:
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.16/55
Wzór interpolacyjny Lagrange’a (5)
Przykład
FUNCTION LAGRANGE(x,xa,ya) RESULT (wnx)
implicit none
double precision,dimension(:) :: xa,ya !punkty wezlowe
double precision
:: x,wnx,om,w
integer :: i,j
wnx=0.0
om=1.0
do i=1,size(xa)
om=om*(x-xa(i))
w=1.0
do j=1, size(xa)
if(i .ne. j) w=w*(xa(i)-xa(j))
end do
wnx=wnx+ya(i)/(w*(x-xa(i)))
end do
wnx=wnx*om
END FUNCTION
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.17/55
Metoda Aitkena (1)
,
przechodzacy
˛
,
przez
- wielomian stopnia
,
przez
,
- wielomian stopnia drugiego przechodzacy
˛
przechodzacy
˛ przez
- wielomian stopnia pierwszego
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.18/55
Metoda Aitkena (2)
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.19/55
Metoda Aitkena (3)
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Schemat Aitkena:
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.20/55
Metoda Aitkena (4)
0
1
3
Przykład Obliczyć metoda˛ Aitkena wartość wielomianu
dla punktu
, jeśli wielomian ten
interpolacyjnego
przechodzi przez nast˛epujace
˛ punkty w˛ezłowe:
1
3
2
2
3
3
1
1
0
Schemat Aitkena dla tego zadania ma postać:
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.21/55
daje si˛e przedstawić
Twierdzenie 4 Wielomian
wzorem rekurencyjnym
,
przez
przechodzacy
˛
- wielomian stopnia
Metoda Neville’a (1)
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.22/55
Metoda Neville’a (2)
Zatem
rzeczywiście ma cechy
twierdzenia o jednoznaczności kończy dowód.
a dla
Dowód Niech
b˛edzie prawa˛ strona˛ powyższego równania.
ma własności wielomianu
.
Pokażemy, że
jest
. Ponadto, zgodnie z definicja˛
Widzimy, że stopień
i
mamy
wielomianów
, co na mocy
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.23/55
Metoda Neville’a (3)
Schemat Neville’a:
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.24/55
Metoda Neville’a (4)
1
3
2
2
3
3
1
1
0
ma postać:
Schemat Neville’a dla
3
1
0
Przykład Zastosować metod˛e Neville’a do poprzedniego
przykładu:
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.25/55
Oszacowanie bł˛edu wzoru interpolacyjnego (1)
razy różniczkowalna˛ oraz
b˛edzie funkcja˛
Niech
Twierdzenie 5
gdzie
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.26/55
Oszacowanie bł˛edu wzoru interpolacyjnego (2)
Twierdzenie 6 (Rolle’a) Niech 1) funkcja b˛edzie określona na
; 2) istnieje pochodna skończona
przedziale domkni˛etym
przynajmniej w przedziale otwartym
; 3) na końcach
. Wówczas
przedziału funkcja przyjmuje wartości
), że
mi˛edzy i można znaleźć taki punkt (
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.27/55
Oszacowanie bł˛edu wzoru interpolacyjnego (3)
Współczynnik dobieramy tak, aby pierwiastkiem funkcji
był również punkt , różny od w˛ezłów interpolacji. Stad
˛
- pewna stała)
Dowód (twierdzenia 5)
Wprowadźmy funkcj˛e pomocnicza˛ (
Mianownik w ostatnim wzorze jest różny od zera dla wszystkich
(
).
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.28/55
Oszacowanie bł˛edu wzoru interpolacyjnego (4)
, .
,
,
,
miejsc zerowych
miejsc zerowych drugiej pochodnej
..
.
jest co najmniej
co najmniej
w przedziale
miejsc zerowych
ma w każdym z podprzedziałów położonych mi˛edzy
pierwiastkami co najmniej jedno miejsce zerowe
Dowód (ciag
˛ dalszy)
ma w sumie
Twierdzenia Rolle’a
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.29/55
Oszacowanie bł˛edu wzoru interpolacyjnego (5)
istnieje co najmniej jeden punkt w przedziale
taki, że
Dowód (ciag
˛ dalszy)
Ponieważ
wi˛ec
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.30/55
Oszacowanie bł˛edu wzoru interpolacyjnego (6)
Dowód (ciag
˛ dalszy)
Stad
˛ wynika
zatem
gdzie
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.31/55
Oszacowanie bł˛edu wzoru interpolacyjnego (7)
Przykład Niech
. Załóżmy, że znamy wartości
dokładne naszej funkcji w punktach
mamy
Stad
˛ np. dla
Wówczas
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.32/55
Wzór interpolacyjny Newtona
Metody Aitkena i Neville’a:
wyznaczanie wartości wielomianu interpolacyjnego w danym
punkcie
niepraktyczne, jeśli punktów jest dużo
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.33/55
Ilorazy różnicowe (1)
Definicja Ilorazami różnicowymi pierwszego rz˛edu nazywamy
wyrażenia
..
.
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.34/55
Ilorazy różnicowe (2)
Definicja Ilorazami różnicowymi drugiego rz˛edu nazywamy
wyrażenia
..
.
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.35/55
Ilorazy różnicowe (3)
oraz
dla
nazywamy
Definicja Ilorazem różnicowym rz˛edu
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.36/55
Ilorazy różnicowe (4)
Ilorazy różnicowe
rz˛edu 3
rz˛edu 4
rz˛edu 2
rz˛edu 1
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.37/55
Wzór Newtona (1)
przy czym
Twierdzenie 7
.
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.38/55
mamy
Dowód Dla
Wzór Newtona (2)
zatem twierdzenie jest prawdziwe. Załóżmy teraz, że jest ono
. Aby pokazać prawdziwość
prawdziwe dla pewnego
jest
dla zauważmy najpierw, że różnica
wielomianem, który można przedstawić w postaci
gdzie jest najwyższym współczynnikiem (czyli
współczynnikiem przy najwyższej pot˛edze ) wielomianu
.
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.39/55
Wzór Newtona (3)
Dowód (ciag
˛ dalszy)
Według założenia indukcyjnego, najwyższymi współczynnikami
oraz
sa˛ odpowiednio
wielomianów
i
. Ze wzoru Neville’a wynika
zatem
Na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest wi˛ec
udowodnione.
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.40/55
Wzór Newtona (4)
0
2
3
4
6
Przykład Szukamy wielomianu interpolacyjnego dla funkcji
określonej tablica˛ wartości:
1
3
2
5
7
Tworzymy tablic˛e ilorazów różnicowych dla tej funkcji:
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.41/55
Wzór Newtona (5)
0
Przykład (ciag
˛ dalszy)
1
1
3
2
-1
2
2
3
3
5
4
1
6
7
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.42/55
Wzór Newtona (6)
Przykład (ciag
˛ dalszy)
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.43/55
Zbieżność procesów interpolacyjnych (1)
Definicja Mówimy, że metoda interpolacyjna jest zbieżna do
w punkcie , gdy
funkcji
gdzie
to funkcja interpolujaca
˛ (niekoniecznie wielomian).
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.44/55
Zbieżność procesów interpolacyjnych (2)
1
y=|x|
W2(x)
W4(x)
W6(x)
y
W10(x)
0,5
0
−1
0
x
1
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.45/55
punktów w˛ezłowych
Mamy
Interpolacja wymierna (1)
przybliżamy funkcja˛ wymierna˛
Wartość funkcji
spełniajac
˛ a˛ warunek
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.46/55
Interpolacja wymierna (2)
Uwaga, pułapka!
Z
można wnioskować, że
, .
określa współczynniki
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.47/55
Interpolacja wymierna (3)
1
2
1
2
2
oraz
, otrzymamy
jest parametrem, oraz że
Zakładajac,
˛ że
0
Przykład Niech
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.48/55
Interpolacja wymierna (4)
Przykład (ciag
˛ dalszy)
, a po uproszczeniu otrzymujemy
mamy
Dla
czyli
A zatem funkcja
nie rozwiazuje
˛
zadania interpolacji.
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.49/55
Odwrotności różnic ilorazowych (1)
Definicja Odwrotnościami ilorazów różnicowych nazywamy
wielkości
przy czym niektóre z nich moga˛ być nieskończone ze wzgl˛edu
na zerowanie si˛e mianowników.
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.50/55
Odwrotności różnic ilorazowych (2)
Spełniona jest nast˛epujaca
˛ własność:
Stad
˛ wynika
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.51/55
Odwrotności różnic ilorazowych (3)
a zatem
co prowadzi do
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.52/55
Odwrotności różnic ilorazowych (4)
Ostatecznie, dla naszego wyrażenia wymiernego otrzymujemy
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.53/55
Odwrotności różnic ilorazowych (5)
można wi˛ec przedstawić w postaci nast˛epujacego
˛
ułamka łańcuchowego:
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.54/55
Odwrotności różnic ilorazowych (6)
9
-3
2
3
-1
1
0
0
Przykład Mamy dana˛ tabel˛e odwrotności ilorazów
różnicowych:
nm_slides-2.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 8/10/2002 – 22:40 – p.55/55