Rozdziaª 2 RÓ›NICZKOWANIE I CAŠKOWANIE NUMERYCZNE

Janusz Adamowski
METODY OBLICZENIOWE FIZYKI
1
Rozdziaª 2
RӛNICZKOWANIE
I CAŠKOWANIE
NUMERYCZNE
2.1 Ró»niczkowanie numeryczne
Sie¢ w¦zªów
xn = nh,
(n = 0, ±1, ±2, . . .) .
(2.1)
Odpowiadaj¡ce im warto±ci funkcji f (x)
fn = f (xn ) .
(2.2)
Obliczamy numerycznie pierwsz¡ pochodn¡
f 0 = f 0 (0)
(2.3)
za pomoc¡ warto±ci fn . Pochodn¡ w dowolnym punkcie x znajdziemy dokonuj¡c translacji otrzymanego wyniku o warto±¢ x.
2
Rozdziaª 2. Ró»niczkowanie i caªkowanie numeryczne
I
I
I[
I
I
I
5\V
[ K
I
I
[ K
[ K
[ [ K
[ K
[ K
Rys. 2.1. Liniowa interpolacja funkcji na sieci w¦zªów.
Trójpunktowy wzór na pierwsz¡ pochodn¡
f0 =
f1 − f−1
+ O(h2 ) .
2h
(2.4)
Pierwsza pochodna wyra»ona za pomoc¡ ró»nicy "do przodu"
f0 =
f1 − f0
+ O(h)
h
(2.5)
i ró»nicy "do tyªu"
f0 − f−1
+ O(h) .
h
Pi¦ciopunktowy wzór na pierwsz¡ pochodn¡
f0 =
f0 =
1
(f−2 − 8f−1 + 8f1 − f2 ) + O(h4 ) .
12h
(2.6)
(2.7)
Trójpunktowy wzór na drug¡ pochodn¡
f 00 =
f1 − 2f0 + f−1
+ O(h2 ) .
h2
(2.8)
Janusz Adamowski
METODY OBLICZENIOWE FIZYKI
3
Aproksymacja drugiej pochodnej z systematycznie zwi¦kszan¡ dokªadno±ci¡
N
1 X
f = 2
cn fn + O(h2N ) ,
h n=−N
00
(2.9)
przy czym warto±ci wspóªczynników bierzemy z Tabeli 2.1.
Tabela 2.1. Warto±ci wspóªczynników rozwini¦cia we wzorze (2.9) dla
ró»nej liczby wyrazów okre±lonej przez N .
N
c0
c±1
c±2
c±3
c±4
c±5
c±6
1
-2
1
2
-5/2
4/3
-1/12
3
-49/18
3/2
-2/20
1/90
4
-205/72
8/5
-1/5
8/315
-1/560
5 -5269/1800 5/3
-5/21
5/126 -5/1008 1/3150
6 -5369/1800 12/7 -15/56 10/189 -1/112 2/1925 -1/16632
2.2 Caªkowanie numeryczne za pomoc¡ metod
klasycznych
Szukamy warto±ci caªki oznaczonej funkcji f w przedziale [a, b]
I=
Z b
a
(2.10)
f (x)dx .
Sie¢ w¦zªów xn = a + nh, gdzie n = 0, 1, 2, . . ., przy czym
h=
b−a
.
N
(2.11)
Addytywno±¢ operacji caªkowania
I=
ÃZ
a+2h
a
+
Z a+4h
a+2h
... +
Z b
b−2h
!
f (x) dx .
(2.12)
4
Rozdziaª 2. Ró»niczkowanie i caªkowanie numeryczne
2.2.1 Wzór prostok¡tów
Z]yUSURVWRNWyZ
I[
K ED1
[Q DQK
I[
I[
5\V
[ D
[
[
[Q
[1 E
Rys. 2.2. Ilustracja do metody prostok¡tów.
I'h
N
−1
X
fn + O(h)
(2.13)
n=0
2.2.2 Wzór Newtona - Cotesa (wzór trapezów)
W podprzedziale [−h, h]
i=
h
(f−1 + 2f0 + f1 ) + O(h3 )
2
(2.14)
2.2.3 Wzór Simpsona (wzór parabol)
W podprzedziale [−h, h]
i=
h
(f1 + 4f0 + f−1 ) + O(h5 ) .
3
(2.15)
Janusz Adamowski
METODY OBLICZENIOWE FIZYKI
5
Caªka po przedziale [a, b]
I =
h
[f (a) + 4f (a + h) + 2f (a + 2h) + 4f (a + 3h)
3
+2f (a + 4h) + . . . + 2f (b − 2h) + 4f (b − h)
+f (b)] .
(2.16)
2.2.4 Metody Gaussa
Zb
w(x)f (x)dx '
a
N
X
wj f (xj )
(2.17)
j=1
Zbiory wag {wj } i poªo»e« {xj } zale»¡ od wybranego do aproksymacji
wielomianu i s¡ zadane w procedurze numerycznej.