ROZŁADOWANIE KONDENSATORA

Ćwiczenie E-25
ROZŁADOWANIE KONDENSATORA
I.
Cel ćwiczenia: wyznaczenie zależności napięcia U (i/lub prądu I ) rozładowania kondensatora C w funkcji czasu t : U = U(t), wyznaczanie stałej czasowej τ = RC.
II. Przyrządy:
źródło prądu stałego o napięciu U = 10÷24V, woltomierz cyfrowy, kondensator o pojemności C = 25 ÷100µF, stoper.
III. Literatura:
1. A.Portis Laboratory Physics.
2. A.H.Piekara Elektryczność i magnetyzm.
3. E.M.Purcell Elektryczność i magnetyzm.
IV. WPROWADZENIE
Okładki kondensatora o pojemności C podłączamy do źródła stałego napięcia Uo (rys.1,
klucz K w położeniu 1). Kondensator bardzo szybko naładuje się do napięcia Uo. Przełączając
klucz K w położenie 2 odłączamy źródło ładujące kondensator i zamykamy obwód zawierający
opór R. Nastąpi rozładowanie kondensatora przez opór R.
Popłynie prąd o malejącym natężeniu co wskaże
mikroamperomierz. Chwilowa wartość tego prądu:
µA
U
K
(1)
I= .
R
Ubytek ładunku kondensatora w czasie dt oznaUo +
+q U
R
−
C
czamy przez −dq. Chwilowa wartość natężenia
−q
prądu I:
dq
(2)
I=− .
dt
Uwzględniając równanie (1) mamy zatem
Rys.1
dq
U
(3)
=−
dt
R
Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek:
(4)
q = C⋅U .
1
2
I
Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy:
dq
q
(5)
=−
dt
RC
Z równania (5) wynika, że prędkość ubywania ładunku kondensatora dq/dt jest proporcjonalna do
chwilowej wielkości q. W miarę upływu czasu ubywanie ładunku początkowo zachodzi szybko a
później wskutek zmniejszania się q coraz wolniej.
1
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie E-25
Równanie (5) możemy zapisać w postaci
dq
dt
.
=−
q
RC
(6)
Jest to proste równanie różniczkowe. Rozwiązaniem tego równania (przy uwzględnieniu, że dla t
= 0 mamy q = qo) jest funkcja:
q = q o ⋅ e − t RC .
(7)
Uwzględniając zależność (4) mamy relacje:
q = U⋅C
qo = Uo⋅C
i
(8)
U = U o ⋅ e −t RC
i otrzymujemy
(9)
gdzie Uo napięcie kondensatora w chwili t = 0.
dq
Ponieważ I = − , więc przy uwzględnieniu zależności (7) otrzymujemy
dt
d
 1  − t RC
I = − (q o ⋅ e − t RC ) = −q o ⋅  −
= Io ⋅ e − t RC
⋅e
dt
 RC 
( 10 )
gdzie Io jest prądem płynącym przez opór w chwili t = 0.
Równania (7), (9) i (10) wyrażają zależność ładunku q, napięcia U i natężenia prądu I w funkcji
czasu t. Zależność ta jest funkcją wykładniczą, malejącą w miarę upływu czasu t. Wykres 2
przedstawia zależność U(t) i podstawowe własności krzywej wykładniczej rozładowania kondensatora.
U[V]
Uo
0,5Uo
0,693ττ
0,368Uo
0
t1 2
τ
2τ
3τ
Rys.2 Wykres zależności U = U o ⋅ e
t
−
t
τ
Iloczyn RC ma wymiar czasu i nazywa się stałą czasową (obwodu RC) lub charakterystycznym
czasem relaksacji. Zwykle oznaczamy τ = RC. Dla t = RC = τ mamy:
U
( 11 )
= e −1 = 0,3679
Uo
W czasie t = τ ładunek q, napięcie U, natężenie prądu I maleją e krotnie (2,72 razy). Po upływie
tego czasu kondensator zawiera 36,8% ładunku początkowego.
2
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie E-25
Z każdego ze wzorów (7), (9) i (10) można otrzymać związek między t1 2 i τ (po uwzględnieniu
t1 2
−
q 1
q 1
U 1
I 1
relacji
= = e RC .
= lub
= lub
= ). Na podstawie np. równania (7) mamy
qo 2
qo 2
Uo 2
Io 2
Po prostych przekształceniach algebraicznych (po zlogarytmowaniu obu stron tego równania)
otrzymamy
t1 2 = RC ⋅ ln 2 = 0,69315 ⋅ τ
( 12 )
Odkładając na osi x czas t w jednostkach t1 2 a na osi y wielkości q/qo, U/Uo lub I/Io otrzymamy
dobrą ilustrację wykładniczych zależności (7), (9) i (10).
q
U
I
,
,
qo Uo I o
1
1
2
1
4
1
16
1
8
t1 2
2 t1 2
4t 1 2
3t1 2
t
Rys.3 W każdym przedziale czasowym t1 2 ładunek, napięcie i natężenie
prądu maleją o połowę.
V. POMIARY
V.1. Układ pomiarowy.
K1
K2
K1
R = RV
+
C
Uo
K2
+
C
Uo
V
−
R
−
ZNN
ZNN
a)
µA
b)
Rys.4 Schemat połączeń układu pomiarowego; (a) rozładowanie kondensatora poprzez woltomierz, (b) rozładowanie kondensatora poprzez opór R (1MΩ lub 2MΩ) i mikroamperomierz (pomiar natężenia prądu).
3
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie E-25
µA
gniazdka do podłączenia kondensatora
V
C
Ω
WŁ ŁAD 1MΩ
Ω 2MΩ
gniazdka do podłączenia woltomierza
cyfrowego
V
Rys.5 Płyta czołowa układu pomiarowego
Do zacisków przy symbolu pojemności C (rys.5) dołączamy kondensator (lub kombinacje połączeń równoległych i szeregowych kondesatorów).
Do zacisków oznaczonych symbolem woltomierza dołączamy woltomierz cyfrowy. Woltomierz cyfrowy charakteryzuje się bardzo dużym oporem wewnętrznym (RV > 10 ÷ 1000MΩ).
Dla zakresu 20V i 200V opór RV > 10MΩ. Wskazane przez niego napięcie jest właśnie spadkiem
potencjału na jego oporze Rv. W naszym ćwiczeniu (rys.4a) będzie on spełniał rolę miernika
napięcia na kondensatorze C i oporu R, przez który zachodzi rozładowanie kondensatora. Przy
zamkniętych obu kluczach K1 i K2 woltomierz wskazuje różnicę potencjałów między okładkami
kondensatora naładowanego do napięcia źródła Uo (wciśnięte jednocześnie przyciski „ŁAD” i
„V”).
V.2. Metoda pomiaru
Logarytmując równanie (9) otrzymujemy
ln U = ln U o −
t
RC
( 12 )
1
, x = t otrzymujemy prostą y = a + bx o parametrach
RC
a i b. Znajdując współczynnik nachylenia b prostej, znajdziemy stałą czasową τ ze związku
1
( 13 )
τ=−
b
oraz opór woltomierza
τ
1
R = RV = = −
( 14 )
C
b⋅C
Przyjmując: y = lnU, a = lnUo , b = −
4
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie E-25
VI. POMIARY I OPRACOWANIE WYNIKÓW.
Pomiary
1. Do odpowiednich zacisków obwodu (rys. 4a) dołączamy woltomierz cyfrowy (charakteryzuje
się dużym oporem wewnętrznym, RV > 10MΩ). Ładujemy kondensator C wciskając jednocześnie przyciski „ŁAD” i „V” (zamknięte oba klucze K1 i K2 na rysunku 4). Wciśnięcie ponowne przycisku „V” (otwarcie klucza K1 na rys. 4) prowadzące do wyciśnięcia przycisku „ŁAD”
spowoduje rozładowanie kondensatora C. Powolny spadek napięcia na kondensatorze umożliwia pomiar tego napięcia U woltomierzem cyfrowym w funkcji czasu t. Odczytów napięcia
dokonujemy w odstępach czasu stosownych do szybkości zmian napięcia. Wyniki zapisujemy
w tabelce. Pomiar powtarzamy dla innej pojemności kondensatora C.
Tabela 1
t[s]
U[V]
2. Jeśli układ umożliwia pomiar prądu rozładowania poprzez mikroamperomierz (rys. 4b) możemy dokonać w podobny sposób pomiaru prądu rozładowania kondensatora przez opór 1MΩ
lub 2 MΩ (wówczas należy odłączyć woltomierz). Kondensator ładujemy wciskając jednocześnie przycisk „ŁAD” i jeden z przycisków „1MΩ” lub „2MΩ”. Rozładowanie rozpoczynamy
naciskając ponownie przycisk „1MΩ” lub „2MΩ” (zostaje wówczas wyciśnięty przycisk
„ŁAD”).
Opracowanie.
1. Sporządzić wykres zależności napięcia U w funkcji czasu t rozładowania kondensatora (ewentualnie natężenia prądu I w funkcji czasu t jeśli pomiary I(t) wykonano).
2. Sporządzić wykres zależności lnU w funkcji czasu t. Metodą najmniejszych kwadratów (patrz
I pracownia fizyczna J. L. Kacperski, K. Niedźwiedziuk) wyznaczyć parametry a i b prostej y
= a + bx.
Parametry a i b można wyznaczyć bezpośrednio korzystając z wykresu (prostą w takim przypadku wykreślamy odręcznie).
lnU
a = ln U o (Uo znamy bezpośrednio z pomiaru),
(
∆(lnU)
lnUo
β
α
∆t
0
t [s]
Rys.6 Wyznaczanie parametrów a i b bezpośrednio z wykresu
)
b = tgα = tg 180o − β = − tgβ ,
∆ ln U
,
b=−
∆t
∆ ln U
1
=−
−
,
∆t
RC
∆t
.
τ = RC =
∆ ln U
Stosując tę uproszczoną (odręczną) metodę uzyskujemy wynik mniej dokładny, a ponadto
trudniej jest oszacować błąd ∆τ.
5
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie E-25
3. Wyznaczyć stałą czasową τ (wzór (13)) i opór woltomierza cyfrowego znając pojemność kondensatora C
τ
1
R= =−
( 15 )
C
b⋅C
4. Oszacować błędy pomiarowe ∆τ i ∆R.
∆τ ∆b
∆b
( 16 )
=
⇒ ∆τ = τ ⋅
τ
b
b
 ∆τ ∆C 
( 17 )
∆R = 
+
⋅R
C 
 τ
Przyjąć, że błąd względny pojemności ∆C/C = 0,1
6
I PRACOWNIA FIZYCZNA