ZŁOTA LICZBA

Andrzej FRYSZKOWSKI
MiNI PW
Z×OTA LICZBA
Historia z÷
otej liczby zacze÷
¾ a sie¾ w staroz·ytnej Grecji, gdzie ówcześni matematycy badali tzw. z÷
oty podzia÷odcinka. Jest to taki podzia÷na dwie cześci,
¾
z·e stosunek d÷
uz·szej a do krótszej b jest taki sam jak stosunek ca÷ości a + b do
d÷
uz·szej a. Tzn.
a : b = (a + b) : a = :
Okazuje sie,
¾ z·e liczba jest dość istotna w matematyce i w przyrodzie. Jest
ona nazywana z÷
ota¾ liczba,
¾ a jej wartość wynosi
p
1+ 5
:
=
2
Z÷
oty podzia÷pojawia sie¾ np. w pieciok
¾
acie
¾ foremnym, gdzie przekatne
¾
dziela¾
sie¾ w takim w÷
aśnie stosunku. Z kolei w dziesieciok
¾
acie
¾ foremnym o boku 1,
promień okregu
¾ opisanego ma d÷ugość .
Z÷
ota liczba pojawia sie¾ w wielu budowlach, nie tylko staroz·ytnych. Daje sie¾
zauwaz·yć wiele tzw. z÷
otych prostokatów,
¾
w których stosunek boków wynosi .
Z÷
ota liczba wystepuje
¾
równiez· w algebrze. Np. wzór ogólny na tzw. ciag
¾
Fibonacciego (fn ), spe÷
niajacy
¾ dla n = 1; 2; ::: warunek
fn+2 = fn+1 + fn ; f1 = f2 = 1
jest postaci (Binet 1843)
1 n
n
p
fn =
;
5
n = 1; 2; ::: :
Obecnie znalezienie takiego wzoru opiera sie¾ na tzw. równaniach rekurencyjnych. Wzór ogólny dla ciagu
¾ (yn ) spe÷niajacego
¾
równanie
yn+2 + ayn+1 + byn = 0;
n = 1; 2; ::: :
jest postaci
yn = C
gdzie
1;
2
n
1
+D
n
2;
C; D
dowolne
liczby;
sa¾ pierwiastkami równania
2
+ a + b = 0:
Takie rekurencje pojawiaja¾sie¾ równiez· w zadaniach olimpijskich i kilka przyk÷adów
zostanie podanych. Ca÷
ość referatu zilustrujemy kilkoma …lmami z Archipelagu
Matematyki.
1