Modelowanie i Wizualizowanie 3W grafiki. Geometria 3W

Transkrypt

Modelowanie i Wizualizowanie 3W grafiki. Geometria 3W
Aleksander Denisiuk
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski
Olsztyn, ul. Słoneczna 54
[email protected]
1 / 66
Geometria 3W
Przestrzeń liniowa R3
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
Najnowsza wersja tego dokumentu dostepna
˛
jest pod adresem
http://wmii.uwm.edu.pl/~denisjuk/uwm
2 / 66
• Wektory
• Iloczyn skalarny
• Iloczyn wektorowy
• Baza
• Przekształcenia
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
odchylenie, pochylenie,
przechylenie
• Macierze obrotów
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
3 / 66
Definicja wektora
• Wektorem nazywa sie˛ skierowany odcinek.
• Wektory
• Baza
B
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
A
•
•
•
•
Kierunek wektora pokazuje strzałka.
Punkt A jest poczatkiem
˛
wektora
Punkt B jest końcem wektora
−−
→
Oznaczenie: a = AB
4 / 66
Równość wektorów
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
• Dwa wektory sa˛ równe, jeżeli jeden z nich może zostać
otrzymany z drugiego poprzez przesuniecie
˛
równoległe.
• Relcja równości wektorów jest relacja˛ równoważności:
◦ a = a (symetryczna)
◦ a = b ⇒ b = a (zwrotna)
◦ a = b, b = c ⇒ a = c (przechodnia)
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
5 / 66
Wektory, cd
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
• Dwa wektory sa˛ zgodnie kolinearne, jeżeli sa˛ równoległe i maja˛
ten sam zwrot.
• Dwa wektory sa˛ niezgodnie kolinearne, jeżeli sa˛ równoległe
i maja˛ przeciwne zwroty.
• Długość odcinka AB , przedstawiajacego
˛
wektor a, nazywa sie˛
jego długościa˛ |AB| = |a| = kak
• wektor nazywa sie˛ zerowym, jeśli jego poczatek
˛
i koniec sie˛
−→
pokrywaja:
˛ AA = 0
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
6 / 66
Dodawanie wektorów
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
• Suma˛ wektorów a i b nazywa sie˛ wektor a + b, otrymany z tych
wektorów badź
˛ równych im wektorów jak na poniższym rysunku
a
b
a+
b
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
7 / 66
Dodawanie wektorów przemienne i łaczne
˛
• a+b=b+a
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
Przestrzeń
afiniczna R3
a
a
b+ b
a+
a
b
b
• (a + b) + c = a + (b + c)
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
c
b
b+
a+
b
c
a
8 / 66
Odejmowanie wektorów
• Wektor a − b — jest wektorem, suma którego z b
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
a−b
b
a
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
9 / 66
Nierówność trójkata
˛
• Wektory
• Baza
• |a + b| 6 |a| + |b|
• |a + b + · · · + c| 6 |a| + |b| + · · · + |c|
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
10 / 66
Mnożenie wektora przez liczbe˛
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
Przestrzeń
afiniczna R3
• Iloczynem wektora a i liczby λ ∈ R jest wektor λa
◦ |λa| = |λ| · |a|
◦ λa i a sa˛ zgodnie kolinearne, jeżeli λ > 0 oraz niezgodnie
kolinearne, gdy λ < 0
◦ 0·a=0
• λ(µa) = (λµ)a
• (λ + µ)a = λa + µa
• λ(a + b) = λa + λb
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
11 / 66
Kombinacje liniowe wektorów
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
• Niech dany bedzie
˛
układ wektorów { a1 , . . . , ak } oraz wagi
(liczby rzeczywiste) α1 , . . . , αk
• Wektor
a = α1 a1 + · · · + αk ak
nazywa sie˛ kombinacja˛ liniowa˛ wektorów a1 , . . . , ak .
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
12 / 66
Iloczyn skalarny wektorów
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
• Katem
˛
miedzy
˛
wektorami a i b nawyzamy kat
˛ miedzy
˛
wektorami
a i b, które maja˛ wspólny poczatek
˛
• Iloczynem skalarnym wektorów a i b jest liczba a · b (ab):
◦ ab = |a||b| cos ϕ (ϕ jest katem
˛
miedy
˛ a i b)
•
•
•
•
•
ab = ba
a2 = aa = |a|2
(λa)b = λ(ab)
jeżeli |e| = 1, to (λe)(λe) = λµ
ab = 0 ⇐⇒ a ⊥ b albo jeden z wektorów jest zerowy
13 / 66
Projekcja wektora na prosta˛
• Rzut (projekcja) wektora a na prosta˛ jest wektor ā, którego
• Wektory
• Baza
poczatkiem
˛
jest rzut poczatka
˛
wektora a na prosta,
˛ a końcem —
rzut końca wektora a na te˛ prosta.
˛
• ab = āb, gdzie ā jest rzutem a na prosta,˛ zawierajac
˛ a˛ b
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
Przestrzeń
afiniczna R3
• (a + b)c = ac + bc
• Jeżeli a, b, c sa˛ trzema niezerowymi wektorami, nie
równoległymi jednocześnie jednej płaszczyźnie, to
ar = 0, br = 0, cr = 0 ⇒ r = 0
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
14 / 66
Iloczyn wektorowy
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
• Iloczynem wektorowym wektorów a i b jest wektor a × b:
◦ 0, jeżeli jeden z wektorów jest zerowy lub wektory sa˛
◦
równoległe
Wpozostałych przypadkach
•
•
•
a × b jest prostopadły do płaszczyzny a, b
długość wektora a × b jest równa polu powierzchni
równoległoboku wyznaczonego przez wektory a, b
układ wektorów a, b, a × b jest zorientowany dodatnio
• a × b = −b × a
• |a × b| = |a||b| sin θ, gdzie θ jest katem
˛
miedzy
˛
aib
• (λa) × b = λ(a × b)
15 / 66
Projekcja wektora na płaszczyzne˛
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
• Rzutem (projekcja)
˛ wektora a na płaszczyzne˛ jest wektor a′ ,
którego poczatek
˛
jest rzutem poczatka
˛
a na płaszczyzne,
˛
a końcem — rzut końca a.
◦ Rzutu równych wektorów sa˛ równe
◦ Rzut sumy wektorów jest suma˛ rzutów
• Jeżeli wektor a′ jest rzutem a na płaszczyzne,
˛ prostopadła˛ do b,
to a × b = a′ × b
• (a + b) × c = a × c + b × c
1.
2.
c=0
|c| = 1
◦ Niech a′ oraz b′ bed
˛ a˛ rzutami odpowiednio a oraz b na
płaszczyzne,
˛ prostopadła˛ do c. Wtedy mnożenie
wektorowe przez c bedzie
˛
obrotem o π2
• (a × b)2 = |a|2 |b|2 − (|a||b| cos θ)2 , gdzie θ jest katem
˛
miedzy
˛
wektorami
16 / 66
Współrzedne
˛
wektora wzgledem
˛
bazy
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
• Niech dane bed
˛ a˛ trzy niezerowe, niekomplanarne wektory e1 ,
e2 , e3 . Wtedy każdy wektor r może zostać jednoznacznie
przedstawiony jako suma r = r1 e1 + r2 e2 + r3 e3
˛
inna˛ reprezentacja˛
◦ Niech r = r1′ e1 + r2′ e2 + r3′ e3 bedzie
r jest równoległy do jednego z wektorów e
r jest równoległy do płaszczyzny jednej z pary
wektorów e
3. r nie jest równoległy do żadnej z par wektorów e
1.
2.
• Wektory e1 , e2 , e3 nazywane sa˛ baza˛ przestrzeni wektorów.
• Liczby r1 , r2 , r3 nazywane sa˛ współrzednymi
˛
wektora r
w bazie e1 , e2 , e3 .
17 / 66
Działania liniowe na wektorach
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
• Niech dana bedzie
˛
baza e1 , e2 , e3 .
◦ Niech dane bed
˛ a˛ dwa wektory: r o współrzednych
˛
(r1 , r2 , r3 )
oraz r′ o współrzednych
˛
(r1′ , r2′ , r3′ ).
•
Wtedy wektor r ± r′ bedzie
˛
miał współrzedne
˛
(r1 ± r1′ , r2 ± r2′ , r3 ± r3′ ).
◦ Niech dane bed
˛ a˛ wektor r o współrzednych
˛
(r1 , r2 , r3 ) oraz
liczba λ ∈ R.
•
Wtedy wektor λr bedzie
˛
miał współrzedne
˛
(λr1 , λr2 , λr3 ).
18 / 66
Baza kartezjańska
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
˛
baza i, j, k — składajaca
˛ sie˛ z wektorów
jednosktowych, wzajemnie prostopadłych i zorientowanych
dodatnio.
◦ Baza i, j, k nazywa sie˛ baza˛ kartezjańska
◦ a = xa i + ya j + za k = (ai)i + (aj)j + (ak)k
aj
ai
◦ Liczby cos α = |a|
, cos β = |a| , cos γ = ak
|a| nazywane
sa˛ cosinusy kierunkowe
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
19 / 66
Działania metryczne w bazie kartezjańskiej
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
˛
kartezjańska baza i, j, k. Wtedy
◦ ab = xa xb + ya yb + za zb
◦ a × b ma współrzedne
˛
y
x
a za a
,−
yb zb xb
i
◦ a × b = xa
xb
j
ya
ya
k za zb za xa
,
z b xb
ya yb 20 / 66
Zmiana bazy
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
• Niech dane bed
˛ a˛ dwie bazy: E = { e1 , e2 , e3 }
oraz F = { f1 , f2 , f3 }. Wtedy
◦ Wektory (e1 , e2 , e
3 ) maja˛ jednoznaczne rozłożenie po


e1 = a11 f1 + a21 f2 + a31 f3 ,
bazie (f1 , f2 , f3 ):
e =a f +a f +a f ,
2
12 1
22 2
32 3


e = a f + a f + a f .
13 1
33 3
2
23 2
e1 e2 e3 = f1 f2 f3 A, gdzie A jest macierza˛
kolumn współrzednych
˛
wektorów E w bazie F  
xa
 
◦ wektor a w bazie F bedzie
˛
miał współrzedne
˛
A  ya , gdzie
za
 
xa
 
˛
w E.
 ya  — jego współrzedne
za
◦ A nazywa sie˛ macierza˛ przejścia od E do F (zmiany bazy)
◦
21 / 66
Zmiana bazy. Uwagi
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
Przestrzeń
afiniczna R3
•
e1 e2 e3 = f1 f2 f3 A ⇐⇒
f1 f2 f3 =
e1 e2 e3 A−1 , gdzie A−1 jest macierza˛ odwrotna.˛
• Jeżeli obie bazy sa˛ kartezjańskie, to macierz przejścia jest
ortogonalna
◦ wektory-kolumny sa˛ jednostkowe i wzajemnie prostopadłe
•
to samo dotyczy wierszy
◦ dla macierzy ortogonalnych A−1 = At
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
22 / 66
Przekształcenia liniowe
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
• Niech dane bed
˛ a:
˛ układ wektorów
E = { e1 ,e2 , e3 } oraz
baza F = { f1 , f2 , f3 }, e1
e2 e3 = f1 f2 f3 A.
◦ przekształceniem
liniowym nawyza sie˛ odwzorowanie
 
xa
 
a =  ya  7→ xa e1 + ya e2 + za e3
za
◦ współrz
edne
˛
wektora a po przekształceniu bed
˛ a˛ równe
 
xa
 
A  ya 
za
◦ A nazywa sie˛ macierza˛ przekształcenia
◦ wynik przekształcenia zapisuje sie˛ Aa
23 / 66
Przekształcenia liniowe. Uwagi
• macierz A składa sie˛ z kolumn — współrzednych
˛
układu E
• Wektory
• Baza
w bazie F
• macierz A składa sie˛ z kolumn — współrzednych
˛
wektorów
bazy F po przekształceniu
• jeżeli macierz A jest odrwacalna,
˛ to E też jest baza˛ oraz
przekształcenie liniowe zgada sie˛ z zamiana˛ bazy E → F
• przekształcenie φ : Rn → Rn jest liniowym wtedy i tylko wtedy,
gdy
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
1.
dla dowolnych dwóch wektorów a, b spełniono
φ(a + b) = φ(a) + φ(b)
2. dla dowolnego wektoru a oraz dowolnej liczby rzeczywistej λ
spełniono φ(λa) = λφ(a)
24 / 66
Przekształcenia sztywne
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
• przekształcenie nazywa sie˛ sztywnym, jeżeli nie zmienia ono
odległości miedzy
˛
punktami
◦ a wiec
˛ i katów
˛
miedzy
˛
liniami i, na ogół, kształtów obiektów
• macierz przekształcenia sztywnego jest ortogonalna
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
25 / 66
Obrót
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
h
h0; 1i
sin ; os i
0
h0; 0i
hos ; sin i
h1; 0i
Figure II.5: Eet of a rotation through angle . The origin 0 is held xed by
the rotation.
Rθ =
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
!
26 / 66
Skalowanie
• Wektory
• Baza
Sλ1 ,λ2
λ1 0
=
0 λ2
!
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
27 / 66
Mnożenie przekształceń
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
• Niech dane bed
˛ a˛ dwa przekształcenia liniowe: A oraz B
• Iloczynem (superpozycja)
˛ przekształceń A ◦ B jest
przekształcenie liniowe AB(a) = A(Ba)
◦ Macierza˛ A ◦ B jest macierz AB
•
Dlatego zamiast A ◦ B bedziemy
˛
pisać AB
• Macierza˛ przekształcenia odwrotnego do A jest macierz A−1
Twierdzenie 1. Każde przekształcenie liniowe można rozłożyć
w iloczyn obrotu oraz skalowania (o różnych współczynnikach)
Twierdzenie 2. Każde przekształcenie liniowe sztywne, które nie
zmienia orientacji, jest obrotem
28 / 66
Obrót 3D
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
v1
R;u (v)
v
u
v3
0
v2
Figure II.14: The vetor v being rotated around u . The vetor v1 is v 's
projetion onto u . The vetor v2 is the omponent of v orthogonal to u . The
vetor v3 is v2 rotated 90Æ around u . The dashed line segments in the gure
all meet at right angles.
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
29 / 66
Macierz obrotu 3D
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
• Obrót dookoła osi wychodzacej
˛ z poczatku
˛
układu
współrzednych
˛
w kierunku u = (u1 , u2 , u3 ) o kat
˛ θ stopni.


c)u21
+c
(1 − c)u1 u2 − su3 (1 − c)u1 u3 + su2
(1 −


(1 − c)u22 + c
(1 − c)u2 u3 − su1  ,
(1 − c)u1 u2 + su3
(1 − c)u1 u3 − su2 (1 − c)u2 u3 + su1
(1 − c)u23 + c
gdzie c = cos θ , s = sin θ .
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
30 / 66
Katy
˛ Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie
Yaw
y
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
x
Przestrzeń
afiniczna R3
Pith
z Roll
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
•
Figure XII.1: Yaw, pith, and roll represent rotations around the y -axis, the
x -axis and the z -axis. If the axes move with the objet, then the rotations
are performed in the order yaw, then pith, and nally roll. If the axes are
the rotations are performed in the opposite order: roll,
Rtaken
= Rasθyxed,
,j Rθthen
p ,i Rθr ,k
then pith, then yaw. Rotation diretions are determined by the righthand
rule. The reader is warned that the rotation diretions for pith and yaw that
are shown in the gure are opposite to ustomary usage in aviation. For us, a
positive pith means the nose dips down and a positive yaw steers to the left.
However, aviation onventions are that a positive pith means the nose moves
up, and a positive yaw means turning to the right. It is ustomary for positive
roll to mean that the right wing dips, whih agrees with the our onvention. In
aviation onventions, the diretions of the x and y axes are reversed, with the 31 / 66
Macierze obrotów Eulera
• Wektory
• Baza
• Rθp ,i
• Rθy ,j
• Rθr ,k
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
32 / 66
Skalowanie 3D
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
Sλ1 ,λ2 ,λ3


λ1 0 0


=  0 λ2 0 
0 0 λ3
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
33 / 66
Przekształcenia liniowe. Zmiana bazy
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
• Niech dane bed
˛ a˛ dwie bazy:
E = { e1 ,e2 , e
3 }
oraz F = { f1 , f2 , f3 }, e1 e2 e3 = f1 f2 f3 T
• Niech przekształcenie liniowe bedzie
˛
dane w bazie E macierza˛ A
• Wtedy w bazie F to przekształcenie dane bedzie
˛
macierza˛
T AT −1
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
34 / 66
Przykład. Skalowanie wzdłuż przekatnej
˛
• Wektory
• Baza
• Macierz skalowania na płaszczyźnie ze współczynnikiem 2
wzdłuż przekatnej
˛
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
35 / 66
Przykład. Skalowanie wzdłuż przekatnej
˛
• Wektory
• Baza
liniowe
• Katy
˛ Eulera:
przechylenie
Eulera
• Zmiana bazy
a przekształcenia
• Macierz skalowania na płaszczyźnie ze współczynnikiem 2
•
wzdłuż !
przekatnej
˛
3
2
1
2
1
2
3
2
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
35 / 66
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
• Układ współrzednych
˛
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
Przestrzeń afiniczna R3
układu współrzednych
˛
• Teoria transponowana
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
36 / 66
Odejmowanie punktów
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
−−
→
• Różnica˛ punktów B i A jest wektor AB .
B
˛
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
˛
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
A
−−→
• B − A = AB
• A = B ⇐⇒ B − A = 0
−→
• (B − A) + (C − B) = (C − A) = AC
37 / 66
Dodanie do punktu wektora
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
• Suma˛ punktu A oraz wektora a jest punkt B , który zgadza sie˛
z końcem wektora a, jeżeli poczatek
˛
tego wektora umieścić w A.
˛
B
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
a
A
˛
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
−−→
• B = A + AB
• (A + a1 ) + a2 = A + (a1 + a2 )
• Dodanie wektora nazywa sie˛ przesunieciem
˛
róznoległym
38 / 66
Kombinacja afiniczna punktów
˛
układ punktów { A1 , . . . , Ak } oraz wagi
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
(liczby rzeczywiste) α1 , . . . , αk , takie że α1 + · · · + αk = 1
• Ustalmy dowolny punkt O
• Kombinacja˛ afiniczna˛ punkitów α1 A1 + · · · + αk Ak jest punkt
˛
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
˛
−−→
−−→
O + α1 OA1 + · · · + αk OAk
Twierdzenie 3. Kombinacja afiniczna punktów nie zależy od wyboru
punktu O
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
39 / 66
Układ współrzednych
˛
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
˛
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
˛
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
• Wybierzmy dowolny punkt O , poczatek
˛
układu
• Przez ten punkt poprowadźmy trzy niekomplanarne proste: Ox,
Oy , Oz , osie współrzednych
˛
• Płaszczyzny współrzednych
˛
Oxy , Oxz , Oyz
• Na osiach wyznaczymy niezerowe wektory: odpowiednio e1 , e2 ,
e3 —baze.
˛
−→
• Dla każdego punktu A wektor OA ma jednoznaczne
−−→
przedstawienie OX = xe1 + ye2 + ze3
◦ liczby x, y , z — współrzedne
˛
punktu A
• układ jest prawym (dodatnim), jeżeli { e1 , e2 , e3 } jest
zorientoany dodatnio
• układ jest lewym (ujemnym), jeżeli { e1 , e2 , e3 } jest
zorientowany ujemnie
• kierunki na osiach, zorientowane zgodnie z wektorami bazy,
nazywaja˛ sie˛ dodatnimi. Kierunki przeciwne — ujemnymi
40 / 66
Układ współrzednych
˛
kartezjańskich
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
˛
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
˛
˛
nazywa sie˛ kartezjańskim, jeżeli
◦ osie sa˛ wzajemnie prostopadłe
◦ wektory e1 , e2 , e3 sa˛ jednostkowe (maja˛ jednostkowa˛
długość).
• Dalej w prezentacji prawie zawsze układ bedzie
˛
prawym
kartezjańskim układem
• Dla wektorów bazy układu kartezjańskiego czasami stosuje sie˛
oznaczenia i, j, k
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
41 / 66
Działania na punktach w układzie współrzednych
˛
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
˛
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
˛
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
• Odejmowanie punktów:


x − x1
−−−→  2

◦ A2 − A1 = A1 A2 =  y2 − y1 
z2 − z1
• Dodanie wektora:


x1 + xa


◦ A1 + a =  y1 + ya 
z1 + za
• Kombinacja afiniczna:


α1 x1 + · · · + αk xk


◦ α1 A1 + · · · + αk Ak =  α1 y1 + · · · + αk yk 
α1 z1 + · · · + αk zk
• wzory sa˛ prawidłowe w każdym układzie
42 / 66
Podział odcinka w danym stosunku
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
˛
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
˛
• Dane sa˛ dwa punkty A1 (x1 , y1 , z1 ) oraz A2 (x2 , y2 , z2 )
• Znaleźć punkt A(x, y, z), który dzieli odcinek A1 A2
w stosunku λ1 : λ2
−−→
−−→
◦ λ2 A1 A − λ1 AA2 = 0
−−→
−→
−→ λ2 −
OA1 +λ1 OA2
◦ OA =
λ1 +λ2
λ2 y1 +λ1 y2
1 x2
◦ x = λ2 λx11 +λ
,
y
=
+λ2
λ1 +λ2 , z =
λ2 z1 +λ1 z2
λ1 +λ2 .
• wzory sa˛ prawidłowe w każdym układzie
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
43 / 66
Odległość miedzy
˛
punktami
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
˛
• Dane sa˛ dwa punkty A1 (x1 , y1 , z1 ) oraz A2 (x2 , y2 , z2 )
−−−→
◦ |A1 A2 |2 = A1 A2 2 = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2
• wzory sa˛ prawidłowe tylko w układzie kartezjańskim
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
˛
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
44 / 66
Zmiana układu współrzednych
˛
• Niech dane bed
˛ a˛ dwa ogólne układy współrzednych:
˛
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
(O, e1 , e2 , e3 ) oraz (O′ , f1 , f2 , f3 )
• Punkt P ma współrzedne
˛
(x, y, z) wzgledem
˛
jednego układu
oraz (z ′ , y ′ , z ′ ) wzgledem
˛
drugiego.
• Wektory (e1 , e2 , e
3 ) maja˛ jednoznaczne rozłożenie po


e1 = a11 f1 + a21 f2 + a31 f3 ,
bazie (f1 , f2 , f3 ): e2 = a12 f1 + a22 f2 + a32 f3 ,


e = a f + a f + a f .
2
13 1
23 2
33 3
˛
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
˛
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
◦
e1 e2 e3 = f1 f2 f3 A
• Punkt O wnowym układzie ma współrzedne
˛
(x0 , y0 , z0 ).
′ =a x+a y+a z+x ,

x

11
12
13
0

• Wówczas y ′ = a21 x + a22 y + a23 z + y0 ,


z ′ = a x + a y + a z + z .
33
0
  31 32
 
x0
x
x′
   
 
• y ′  = A y  +  y0 .
z
z
z′
45 / 66
Przekształcenia afiniczne
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
˛
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
˛
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
˛
układ współrzednych
˛
O, f1 , f2 , f3 oraz punkt
O′ i układ wektorów e1 , e2 , e3
◦ przekwształceniem
afinicznym nawyza sie˛ odwzorowanie
 
x
 
P = y  7→ O′ + xe1 + ye2 + ze3
z
◦ współrz
˛ punktu
˛ a˛ równe
 A po przekształceniu bed
 edne
x0
x
   
A y  +  y0 , gdzie
z0
z
•
•
e1 e2 e3 = f1 f2 f3 A
−−→′
(x0 , y0 , z0 ) — współrzedne
˛
wektora OO
46 / 66
Uwagi
• Jeżeli układ wektorów e1 , e2 , e3 jest baza,˛ to przekształcenie
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
afiniczne zgadza sie˛ z zamiana˛ układu współrzednych
˛
• Przekwształcenie afiniczne B składa sie˛ z przekształcenia
linowego A i przesuniecia
˛
równoległego Tu , B = Tu ◦ A
˛
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
◦ Wówczas przesuniecie
˛
Tu oraz przekształcenie liniowe A
określone sa˛ jednoznacznie.
˛
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
Twierdzenie 4. Każde przekształcenie afiniczne można rozłożyć
w iloczyn obrotu, skalowania (o różnych współczynnikach) oraz
przesuniecia
˛
równoległego
Twierdzenie 5. Każde przekształcenie afiniczne sztywne, które nie
zmienia orientacji, jest obrotem (afnicznym) lub przesunieciem
˛
równoległym
47 / 66
Współrzedne
˛
jednorodne w R2
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
• Trójka liczb x, y, w ∈ R (w 6= 0) reprezentuje punkt
o współrzednych
˛
(x/w, y/w) ∈ R2 .
• (2, 1) ∼ (2 : 1 : 1) ∼ (6 : 3 : 3) ∼ (−2 : −1 : −1)
˛
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
˛
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
48 / 66
Współrzedne
˛
jednorodne w R3
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
˛
• Czwórka liczb x, y, z, w ∈ R (w 6= 0) reprezentuje punkt
o współrzednych
˛
(x/w, y/w, z/w) ∈ R3 .
• (2, 1, 1) ∼ (2 : 1 : 1 : 1) ∼ (6 : 3 : 3 : 3) ∼ (−2 : −1 : −1 :
−1)
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
˛
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
49 / 66
Macierz przekształcenia afinicznego w R2
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
˛
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
˛
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
• Niech B =
˛
przekształceniem
afinicznym,
!
! Tu ◦ A bedzie
a11 a12
.
a21 a22
• Macierz
a˛ przekształceniaB nazywa sie˛ macerz
a11 a12 u1


MB = a21 a22 u2 
0
0
1

  

a11 x + a12 y + u1
x
a11 a12 u1

  

• a21 a22 u2  y  = a21 x + a22 y + u2 
1
1
0
0
1
u=
u1
,
u2
A=
50 / 66
Obrót
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
˛


cos θ − sin θ 0


Rθ =  sin θ cos θ 0
0
0
1
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
˛
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
51 / 66
Skalowanie
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
˛
Sλ1 ,λ2


λ1 0 0


=  0 λ2 0
0 0 1
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
˛
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
52 / 66
Przesuniecie
˛
równoległe
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
˛
Tu1 ,u2


1 0 u1


=  0 1 u2 
0 0 1
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
˛
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
53 / 66
Macierz przekształcenia afinicznego w R3
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
˛
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
˛
Przestrzeń
rzutowa RP3 *


a11 a12 a13 u1
a

 21 a22 a23 u2 
• 

a31 a32 a33 u3 
0
0
0
1

 
x
a11 a12 a13 u1
a
 
 21 a22 a23 u2  y 
• 
  =
a31 a32 a33 u3   z 
1
0
0
0
1


a11 x + a12 y + a13 z + u1
a x + a y + a z + u 
 21
22
23
2


a31 x + a32 y + a33 z + u3 
1
54 / 66
Przesuniecie
˛
równoległe
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
˛
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
• Przesuniecie
˛
o wektor u = (u1 , u2 , u3 )

1
0


0
0
0
1
0
0

0 u1
0 u2 

.
1 u3 
0 1
˛
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
55 / 66
Obrót
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
˛
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
˛
• Obrót dookoła osi wychodzacej
˛ z poczatku
˛
układu
współrzednych
˛
w kierunku u = (u1 , u2 , u3 ) o kat
˛ θ stopni.
Kierunek obrotu określany jest orientacja.
˛

(1−c)u21 +c
(1−c)u u +su
1 2
3


(1−c)u1 u3 −su2

(1−c)u1 u2 −su3
(1−c)u1 u3 +su2
0
(1−c)u22 +c
(1−c)u2 u3 −su1
(1−c)u2 u3 +su1
(1−c)u23 +c
0
0
0
0
gdzie c = cos θ , s = sin θ .

,
0
1
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
56 / 66
Skalowanie
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
˛
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
˛
Przestrzeń
rzutowa RP3 *

α1
0

• 
0
0

−1
 0

• 
 0
0
0
α2
0
0
0
1
0
0

0 0
0 0


α3 0
0 1

0 0
0 0

˛
płaszczyzny y − z .
 — symetria wzgledem
1 0
0 1
57 / 66
Jednorodność macierzy przekształcenia afinicznego
• Macierze A oraz λA określaja˛ to samo przekształcenie afiniczne.
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
˛
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
˛
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
58 / 66
Macierz superpozycji przekształceń
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
˛
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
• Niech dane bed
˛ a˛ dwa przekształcenia afiniczne: A oraz B
• iloczynem (superpozycja)
˛ przekształceń A ◦ B jest
przekształcenie afiniczne AB(a) = A(Ba)
◦ Macierza˛ A ◦ B jest macierz AB
•
Dlatego zamiast A ◦ B bedziemy
˛
pisać AB
• Macierza˛ przekształcenia odwrotnego do A jest macierz A−1
˛
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
59 / 66
Macierz zmiany układu współrzednych
˛
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
• Niech dane bed
˛ a˛ dwa układy współrzednych:
˛
•
˛
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
•
•
˛
•
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
•
E = {O, (e1 , e2 , e3 )} oraz F = {O′ , (f1 , f2 , f3 )}
Punkt P ma współrzedne
˛
(x, y, z) wzgledem
˛
układu E oraz
′ , y ′ , z ′ ) wzgledem
(z
˛ F .
e1 e2 e3 = f1 f2 f3 A
Punkt
O w nowym
układzie ma współrzedne
˛
(x0 , y0 , z0 ).




x
x′
y 
y ′ 
 
 
 ′ = T  
z 
z 
1
1
Macerz
układu wszpółrzednych)
˛

 przejścia of E doF(zmiany
x
x0
 

A
y0 

 y 
T =
 

z0   z 
1
0 0 0
1
• Wszystkie uwagi dotyczace
˛ macierzy przekształceń
60 / 66
Przekształcenia afiniczne. Zmiana układu współrzednych
˛
• Niech dane bed
˛ a˛ dwa układy współrzednych:
˛
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
E = (O, e1 , e2 , e3 ) oraz F = (O′ , f1 , f2 , f3 )
• Niech T bedzie
˛
macierza˛ przejścia od E do F .
˛
• Niech przekształcenie afiniczne bedzie
˛
w układzie E miało
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
macierz A
• Wtedy w układzie F to przekształcenie bedzie
˛
miało macierz
T AT −1
˛
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
61 / 66
Przykład. Obrót afiniczny
• Obrót na płaszczyźnie o 90◦ dookoła punktu (1, 2)
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
˛
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
˛
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
62 / 66
Przykład. Obrót afiniczny
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
˛
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
◦ dookoła punktu (1, 2)
• Obrót
na
płaszczyźnie
o
90


0 −1 3


•  1 0 1
0 0 1
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
˛
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
62 / 66
Teoria transponowana
Przestrzeń
afiniczna R3
• Działania na
punktach
˛
afiniczne
• Współrzedne
˛
jednorodne
• Obrót
• Skalowanie
• Macierz zmiany
• Wektory i punkty sa˛ zapisywane jako wiersze v = (vx , vy , vz ),
P = (x : y : x : w)
• Mnożenie przez
przekształcenia
po prawej stronie
macierz
vx vy vz M , x y z w A
• Macierze sa˛ zamieniane na transponowane:
◦ przesuniecie
˛
o wektor u = (u1 , u2 , u3 ):

˛
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
etc
1 0 0
0
1 0


0
0 1
u1 u2 u3

0
0

,
0
1
• Mnożenie macierzy w innej kolejności
◦ Macierza˛ A1 ◦ A2 bedzie
˛
A2 A1
63 / 66
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
• Przestrzeń rzutowa
Przestrzeń rzutowa RP3 *
64 / 66
Przestrzeń rzutowa
• Składa sie˛ z czwórek współrzednych
˛
(x : y : z : w) —
Przestrzeń
afiniczna R3
współrzednych
˛
jednorodnych
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
◦ w może być zerem
• Dwie proporcjonalne czwórki reprezentuja˛ ten sam punkt:
(x1 : y1 : z1 : w1 )
∼ (x2 : y2 : z2 : w2 ) ⇐⇒
y1
z1
w1
x1
=
=
=
x2
y2
z2
w2
65 / 66
Przekształcenia rzutowe
Przestrzeń
afiniczna R3
Przestrzeń
rzutowa RP3 *
• Przekształceniem rzutowym (projektywicznym) nazywa sie˛
przekształcenie
RP3 → RP3
 
 
x
x
y 
y 
 
 
  7→ A   ,
z 
z 
w
w
gdzie A jest dowolna˛ 4 × 4 macierza,
˛ przy czym det A 6= 0
66 / 66

Modelowanie i Wizualizowanie 3W grafiki. Geometria 3W

Transkrypt

Podobne dokumenty

WARSZTATY TANECZNO

Przykłady

g/kg g/kg - Trans-Rol

KURS FOTOGRAFII CYFROWEJ

Pobierz PDF - Wydawnictwo UMCS

wyklad 1

nowe obszary metropolii - Studia Regionalne i Lokalne

Projekt Nowe Centrum Miasta