Przykłady

Przyklad 1.1
Rzucamy dwa razy moneta̧. Przestrzeń zdarzeń elementarnych to Ω1 = {OO, RO, OR, RR}.
Rozklad prawdopodobieństwa jest nastȩpuja̧cy:
ω
P ({ω})
OO RO OR RR
1/4 1/4 1/4 1/4
Przestrzeń Ω1 jest przestrzenia̧ klasyczna̧ - każde zdarzenie ω jest jednakowo prawdopodobne.
Rozważmy zdarzenie A - ”wypadl dokladnie jeden orzel” . Wówczas
P (A) = P ({OR, RO}) = 1/4 + 1/4 =
2
= 1/2.
4
Przyklad 1.2
Rzucamy jednocześnie dwiema identycznymi monetami. Przestrzeń zdarzeń elementarnych
to Ω2 = {OO, RO, RR} (nie potrafimy odróżnić ukladu RO od OR). Rozklad prawdopodobieństwa jest nastȩpuja̧cy:
ω
P ({ω})
OO RO RR
1/4 1/2 1/4
Przestrzeń Ω2 NIE jest przestrzenia̧ klasyczna̧ - zdarzenia ω nie sa̧ jednakowo prawdopodobne:
2P ({OO}) = P ({RO}) = 2P ({RR}).
Dla zdarzenia A - ”wypadl dokladnie jeden orzel” mamy
P (A) = P ({RO}) = 1/2.
Wniosek: W obu modelach prawdopodobieństwo wyrzucenia dokladnie jednego orla
jest IDENTYCZNE i nie zależy od tego w jaki sposób rzucamy monetami - czy dwoma
jednocześnie, czy dwoma po kolei (jedna̧ dwa razy).
ANALOG: rozmieszczanie dwóch kul w dwóch szufladach.
Przyklad 2.1: Dwie identyczne kule rozmieszczamy po kolei (lub: dwie kule rozróżnialne
rozmieszczamy jednocześnie) w dwóch ponumerowanych szufladach. Przestrzeń zdarzeń
elementarnych Ω1 = {(a1 , a2 ), ai ∈ {1, 2}, i = 1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} (ai - numer szuflady, do której trafila i-ta kula). Wówczas Ω1 jest przestrzenia̧ klasyczna̧:
ω
P ({ω})
(1,1) (1,2) (2,1) (2,2)
1/4
1/4
1/4
1/4
Dla zdarzenia B - ”kule trafia̧ do różnych szuflad” prawdopodobieństwo wynosi
P (B) = P ({(1, 2), (2, 1)}) = 1/4 + 1/4 =
2
= 1/2.
4
Przyklad 2.2: Dwie identyczne kule rozmieszczamy jednocześnie w dwóch ponumerowanych
szufladach. Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω2 = {{a1 , a2 }, ai ∈ {1, 2}, i = 1, 2} =
{{1, 1}, {1, 2}, {2, 2}} (ai - numer szuflady, do której trafila i-ta kula). Wówczas Ω2 NIE
jest przestrzenia̧ klasyczna̧:
ω
P ({ω})
{1,1}
1/4
{1,2}
1/2
{2,2}
1/4
Zdarzenia ω nie sa̧ jednakowo prawdopodobne:
2P ({1, 1}) = P ({1, 2}) = 2P ({2, 2}).
Dla zdarzenia B - ”kule trafia̧ do różnych szuflad” prawdopodobieństwo wynosi
P (B) = P ({{1, 2}}) = 1/2
i jest takie samo jak w modelu 2.1.
Inaczej:
Ω2 = {(b1 , b2 ) : bi ∈ {0, 1, 2}; i = 1, 2; b1 + b2 = 2} = {(2, 0), (1, 1), (0, 2)} (bi - ilość kul w
i-tej szufladzie).
ω
P ({ω})
(2,0) (1,1) (0,2)
1/4
1/2
1/4
Zdarzenia ω nie sa̧ jednakowo prawdopodobne:
2P ((2, 0)) = P ((1, 1)) = 2P ((0, 2)).
Dla zdarzenia B - ”kule trafia̧ do różnych szuflad” prawdopodobieństwo wynosi
P (B) = P ({(1, 1)} = 1/2
i jest takie samo jak w modelu 2.1.