1. Zbuduj schematy zdań: (a) Jeżeli ceny rosną, a płace utrzymują

Logika I
semantyka KRZ #1
plan na dziś:
język KRZ, funkcje prawdziwościowe
1. Zbuduj schematy zdań:
(a) Jeżeli ceny rosną, a płace utrzymują się na tym samym poziomie, to obniża się stopa życiowa.
(b) Ceny rosną, a jeśli płace utrzymują się na tym samym poziomie, to obniża się stopa życiowa.
(c) Albo rosną ceny i obniża się stopa życiowa, albo rosną płace.
(d) Jeżeli rosną ceny i albo obniża się stopa życiowa, albo rosną płace, to o ile płace nie rosną, to obniża się stopa
życiowa.
(e) Jan nie lubi Piotra.
(f) Jan nie lubi i nie szanuje Piotra, jeśli Piotr nie lubi i nie szanuje Jana.
(g) Ukończę studia i wyjadę za granicę, jeśli otrzymam stypendium.
2. Podane niżej sformułowanie nie jest poprawną definicją pojęcia formuły języka KRZ. Znajdź błąd i napraw go:
Zbiór FORM formuł języka KRZ jest najmniejszym zbiorem spełniającym następujące warunki:
(a) każda zmienna zdaniowa należy do FORM,
(b) jeżeli zmienna zdaniowa pi należy do FORM, to wyrażenie mające postać ¬pi należy do FORM,
(c) jeżeli wyrażenia A, B należą do FORM, to wyrażenia mające postać: (A → B), (A ∧ B), (A ∨ B), (A ↔ B) również
należą do FORM.
3. Pod pojęciem n-argumentowej (n > 1) funkcji prawdziwościowej rozumiemy funkcję n zmiennych przebiegających
zbiór {0, 1} i o wartościach należących do zbioru {0, 1}. Które z poniższych zbiorów są funkcjami prawdziwościowymi?
Uzasadnij odpowiedzi.
(a) R1 = {h1, 0i, h0, 1i}
(b) R2 = {h1, 1i, h0, 1i}
(c) R3 = {h1, 0i, h1, 1i}
(d) R4 = {hh1, 1i, 0i, hh1, 0i, 1i, hh0, 1i, 1i, hh0, 0i, 1i}
(e) R5 = {hh1, 1i, h1, 1ii, hh1, 0i, h1, 1ii, hh0, 1i, h1, 1ii, hh0, 0i, h1, 1ii}
(f) R6 = {hh1, 1i, 1i, hh1, 0i, 1i, hh0, 1i, 1i, hh0, 0i, 0i}
4. Jeśli przy pomocy spójników pewnego języka formalnego można wyrazić każdą funkcję prawdziwościową, to zbiór
owych spójników nazywamy adekwatnym. Ponieważ funkcje prawdziwościowe charakteryzują semantyczne własności
spójników ekstensjonalnych, możemy, zamiast o określaniu funkcji prawdziwościowych, mówić o definiowaniu spójników.
Np., definicja spójnika ∧ za pomocą spójników ∨ i ¬ wygląda następująco: A ∧ B =df ¬(¬A ∨ ¬B)
Zdefiniuj:
(a)
(b)
(c)
(d)
∨ za pomocą ¬ i ∧
→ za pomocą ¬ i ∨
→ za pomocą ¬ i ∧
↔ za pomocą → i ∧
(e)
(f)
(g)
(h)
¬
¬
∧
∧
za
za
za
za
pomocą
pomocą
pomocą
pomocą
/
↓
/
↓
(i) ∨ za pomocą ↓
(j) ∨ za pomocą /
5. Prawdziwe jest zdanie: „Nieprawda, że jeśli Platon założył Akademię, to jeśli Arystoteles był uczniem Platona, to
Arystoteles nie uczęszczał do Akademii”. Czy ta informacja wystarcza, by udzielić odpowiedzi na następujące pytania:
(a) Czy Platon był założycielem Akademii?
(b) Czy Arystoteles był uczniem Platona?
(c) Czy Arystoteles uczęszczał do Akademii?
6. Która z podanych informacji pozwala ustalić wartość logiczną zdania Z, jeśli na miejscu p występuje zdanie prawdziwe,
na miejscu q – fałszywe, a na miejscu r – zdanie o nieznanej wartości logicznej?
(a) schematem Z jest: p ∧ (q ∨ r)
(c) schematem Z jest: ¬(¬p ∨ ¬(¬q ∧ r))
(e) schematem Z jest: (p ↔ q) ∧ r
(b) schematem Z jest: p ∨ (q ∧ r)
(d) schematem Z jest: p → (q ∧ r)
(f) schematem Z jest: (p ↔ q) ∨ r