sciągi

Hipoteza jednorodnej populacji HJP:
P (Tx > t) = P (T0 > x + t|T0 > x)
t p[x]+s
= P (Tx > s + t|Tx > s)
Prawdopodobieństwo, że x-latek umrze przed
upływem czasu t
t q[x]+s
= P (Tx ¬ s + t|Tx > s)
t qx
= Fx (t) = P (Tx ¬ t),
e◦x = ETx =
Z
∞
t px dt.
0
Prawdopodobieństwo, że x-latek przeżyje
więcej niż t lat
t px
ex = EKx
Jeżeli prawdziwa jest HU, to
= 1 − Fx (t) = P (Tx > t)
P (S (m) =
Natężenie zgonów x-latka w momencie czasu t
µ[x]+t =
Własności z ćw
px px+1 ∗ ... ∗ px+k =k+1 px
ex = px (1 + ex+1 )
P (Kx = k) = px P (Kx+1 = k − 1) (przy HJP)
(m)
(1 + i m )m = 1 + i
Przy HCFM:
fx (t)
1 − Fx (t)
h Z t
i
µ[x]+τ dτ
t px = exp −
0
Prawo de Moivre’a:
T0 ma rozkład jednostajny na przedziale [0, ω], ω > 0,
Prawo Gompertza:
µt = Bct , gdzie B > 0, c > 1,
n+u px
n+u px
= n px
n+1 px
1 − (1 − u)q[x]+n
Przy HU:
Prawo Makehama:
µt = A + Bct , B > 0, A ­ −B i c > 1
n+u px
i
h
B
(ct+x − cx ) ,
t px = exp −At −
log c
= n px (1 − uq[x]+n )
Ax = vqx + vpx Ax+1
∞
P
(IA)x =
m| Ax
m=0
(IA)x = vqx + vpx Ax+1 + vpx (IA)x+1
i
k (t + x)n+1 − xn+1 .
n+1
(m)
A1
Dla t, x ∈ N
=
x : m̄|
lx+t
lx
lx − lx+t
.
t qx =
lx
(DA)(m)
=
x
(m)
(IA) 1
=
x : m̄|
P (Kx ­ k) = P (K0 ­ x + k|K0 ­ x)
A1
x : m̄|
i
i(m)
i
i(m)
i
i(m)
(IA)x
(DA)x
(IA) 1
x : m̄|
i
n| Ax
i(m)
Jeżeli µx = µ, to:
(m)
n| Ax
Hipoteza jednostajności (HU)
=
= (1 − u)n px + u · n+1 px , 0 ¬ u < 1.
Ax = e−δ
Hipoteza przedziałami stałego natężenia
zgonów (HCFM)
µ[x]+n+u = µ[x]+n , 0 ¬ u < 1.
Hipoteza Balducciego
(1−u) q[x]+n+u
i
i(m)
(IA)(m)
=
x
=
Hipoteza agregacji
n+u px
q[x]+n
1 − uq[x]+n
µ[x]+n+u =
Prawo Weibulla:
µt = ktn , dla t ­ 0 gdzie k > 0, n > 0,
t px
= n px (p[x]+n )u
Przy HB:
h B
i
(ct+x − cx ) .
t px = exp −
log c
h
t px = exp −
j
1
)= .
m
m
= (1 − u)q[x]+n .
1
1 − e−µ
1 − e−(µ+δ)
gdzie i(m) jest nominalną stopą procentową, która przy
kapitalizacji m razy w roku daje efektywną stopę i
Funkcje komutacyjne
Zdyskontowana liczba przeżywających
Składki Ubezpieczeniowe
v=
1
= e−δ
1+i
Ubezpieczenie x-latka na całe życie płatne w
Dx = v x lx .
momencie śmierci
Z ∞
Inne funkcje komutacyjne
v t fx (t)dt
Āx = E v Tx =
0
Cx = v x+1 dx ,
∞
X
Mx =
Cx+k ,
Uwaga
fx (t) = t px µ[x]+t
Ubezpieczenie terminowe x-latka z
okresem ubezpieczenia n-lat płatne w momencie
śmierci
Z n
Z n
v t fx (t)dt
v t t px µ[x]+t dt =
Ā 1
=
x : n̄|
Rx =
Mx+k .
k=0
Nx =
0
0
k=0
∞
X
∞
X
Dx+k
k=0
Czyste ubezpieczenie na dożycie x-latka
Ā
1
x : n̄|
= v n n px .
Mx
,
Dx
Mx − Mx+n
,
A1
=
x : n̄|
Dx
Mx+n
,
n| Ax =
Dx
Mx − Mx+n + Dx+n
Ax : n̄| =
.
Dx
Ax =
Odroczone ubezpieczenie na całe życie x-latka
z okresem odroczenia m-lat płatne w momencie
śmierci
Z ∞
v t fx (t)dt = Āx − Ā 1
m| Āx =
x : m̄|
m
Ubezpieczenie bezterminowe z rosnącą sumą
ubezpieczenia płatne w momencie śmierci
Z ∞
¯
(I Ā)x =
tv t · fx (t)dt
Wzory z ćw
0
(IA) 1
Ubezpieczenie x-latka na całe życie płatne na
koniec roku śmierci ubezpieczonego
x : n̄|
∞
X
Ax = E v Kx +1 =
v k+1 k px q[x]+k
(DA) 1
x : n̄|
k=0
Ubezpieczenie terminowe x-latka m-letnie płatne
na koniec roku śmierci
A1
x : m̄|
=
m−1
X
v k+1 P (Kx = k)
k=0
Odroczone ubezpieczenie na całe życie x-latka z
odroczeniem m-lat płatne na koniec roku śmierci
m| Ax
= Ax − A 1
x : m̄|
=
∞
X
v k+1 P (Kx = k)
k=m
Ubezpieczenie o rosnącej sumie ubezpieczenia
(IA)x =
∞
X
(k + 1)v k+1 k px q[x]+k .
k=0
Przypadek ubezpieczenia płatnego na koniec mtej części roku
Przy założeniu HU zachodzi związek
A(m)
=
x
i
Ax
i(m)
2
=
n−1
X
(k + 1)v k+1 P (Kx = k)
k=0
=
n−1
X
k=0
(n − k)v k+1 P (Kx = k)
Renty
Zmienną losową opisującą wartośc obecną wypłat
jest
Kx
X
Własności z cw
väx = ax + Ax
Ax + däx = 1
i
d=
1+i
Ax : n̄| + dax : n̄| = 1
ck v k .
k=0
Jednorazowa składka netto dla rent o płatności
ck w k-tym roku:
E
Kx
hX
∞
i X
ck v k =
ck v k · k px .
k=0
α(m) =
id
,
i(m) d(m)
i−i(m)
i(m) d(m)
k=0
ä(m)
= α(m)äx − β(m)
x
Renty na całe życie
(m)
n| äx
• Renta płatna z góry na początku każdego
roku życia rentobiorcy
äx =
∞
X
= α(m)n| äx − β(m)A
n| Ax
v
k
k px .
v
k
=
k=1
∞
X
+ A1
x : n̄|
= Ax
äx = äx : n̄| + n| äx
• Renta płatna z dołu na koniec roku przeżytego
przez rentobiorcę
Kx
X
1
x : n̄|
k=0
ax = E
β(m) =
(m)
n| äx
1
=
m(v
1
m
− 1)
(n| A(m)
−A
x
1
x : n̄|
)
äx = 1 + vpx äx+1
Ax − Ax : n̄| + dn| äx = 0
v k k px = äx − 1.
k=1
A
1
x : n̄|
Renty terminowe
+ A1
x : n̄|
= Ax : n̄|
Centralne tw. graniczne
• Renta terminowa na życie płatna z góry
äx : n̄| =
n−1
X
Pn
v
k
lim P
k px .
n→∞
k=0
• Renta na życie płatna z dołu
ax : n̄| =
n
X
v k · k px .
k=1
Renty odroczone
• Dożywotnia renta płatna z góry odroczona
om
∞
X
ä
=
v k k px .
m| x
k=m
• Dożywotnia renta płatna z dołu odroczona
om
∞
X
v k k px .
m| ax =
k=m+1
Jednorazowa składka renty na całe życie, płatnej
po 1/m, z góry, m-krotnie w roku, wynosi
(m)
ä(m)
=
x
1 − Ax
d(m)
,
Gdzie d(m) jest stopą procentową z góry,
odpowiadającą nominalnej stopie procentowej
i(m) przy m-krotnej kapitalizacji, czyli
d(m) =
i(m)
1 + i(m) /m
3
k=1
Xk − nEX1
√
¬u
nσ
!
= Φ(u)