O trzecim problemie Hilberta

O trzecim problemie Hilberta
n
AGNIESZKA WOJCIECHOWSKA
W geometrii płaskiej znane jest twierdzenie Bolyaia* – Gerwiena, które mówi,
że dwa wielokąty o równych polach są równoważne przez podział, tzn. jeden z nich
można rozciąć na skończenie wiele wielokątów, z których można złożyć drugi. W
praktyce oznacza to możliwość rozcięcia
obu na identyczne zestawy trójkątów.
Nad możliwością przeniesienia tego
twierdzenia na przypadek przestrzenny zastanawiał się już Gauss w połowie XIX wieku, a w roku 1900 pytanie o to znalazło się
na liście słynnych 23 problemów postawionych przez Dawida Hilberta na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu. W trzecim z tych problemów Hilbert
– przewidując odpowiedź negatywną – postulował wskazanie dwóch czworościanów
o takich samych podstawach i wysokościach,
które nie są równoważne przez podział ani
przez uzupełnienie.
Wielościany są równoważne przez podział, jeśli każdy z nich można podzielić na
tę samą liczbę wielościanów, odpowiednio
przystających; natomiast równoważność
przez uzupełnienie to możliwość doklejenia do każdego z nich odpowiednio przystających wielościanów tak, aby otrzymane
bryły były równoważne przez podział. Oczywiście dwa wielościany równoważne przez
podział są równoważne przez uzupełnienie,
implikacja odwrotna nie jest banalna.
Trudno powiedzieć, czy był to najłatwiejszy z problemów Hilberta, czy po prostu już
długo nad tym myślano, w każdym razie
problem numer 3 został rozwiązany jako
pierwszy: uczeń Hilberta z Getyngi, Max
Dehn, już w tym samym roku podał przy-
kład czworościanów o tej samej objętości
nierównoważnych przez rozkład, a w 2 lata
później – także nierównoważnych przez
uzupełnienie.
Metoda Dehna opierała się na pojęciu
niezmiennika i używała metod algebry liniowej. Rozumowanie było dość skomplikowane, następne pokolenia matematyków
starały się je uprościć. Pokażemy tylko jego
główną ideę.
Każdemu wielościanowi przypisuje się
pewne stałe, zwane niezmiennikami Dehna. Podstawowe twierdzenie o nich mówi,
że wielościany równoważne przez uzupełnienie (a zatem także równoważne przez
podział) maja te same niezmienniki Dehna. Tymczasem można skonstruować czworościany o przystających podstawach i jednakowych wysokościach, a o różnych wartościach niezmienników. Wszystkiemu winne są kąty dwuścienne.
Chcąc zdefiniować niezmienniki Dehna, musimy zająć się przestrzenią liniową,
jaką nad ciałem Q liczb wymiernych stanowi zbiór liczb rzeczywistych R. Jest to przestrzeń nieskończenie wymiarowa, ale nas
będą interesowały jej skończenie wymiarowe podprzestrzenie. Jeśli M Ì R jest skończonym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych, to przez V(M) oznaczamy podprzestrzeń liniową przestrzeni R nad Q, generowaną przez M, czyli zbiór wszystkich kombinacji liniowych o współczynnikach wymiernych elementów M. Dla danego wielościanu W przez MW oznaczamy zbiór skła* Farkas Bolyai, ojciec Janosa – twórcy geometrii
nieeuklidesowej.
dający się z liczby p oraz miar wszystkich
kątów dwuściennych wielościanu W. Niech
M będzie dowolnym skończonym zbiorem
liczb rzeczywistych, zawierającym MW. Dla
dowolnej funkcji f : V(M) ® Q, liniowej nad
Q i spełniającej warunek f(p) = 0 definiujemy niezmiennik Dehna wielościanu W
względem funkcji f jako sumę:
D f W =
Èl e £ f a
eŸW
e
gdzie e jest krawędzią wielościanu W,
l(e) – jej długością, a e – kątem dwuściennym przy tej krawędzi. Twierdzenie Dehna-Hadwigera mówi, że wielościany równoważne przez uzupełnienie mają te same
wartości niezmiennika Dehna względem
każdej funkcji f.
Obliczmy wartość niezmiennika dla sześcianu jednostkowego S. Wszystkie jego
kąty są proste, więc M S = ^ 2 ` oraz, ponieważ dla funkcji liniowej nad Q równość
f(p) = 0 pociąga f(qp) = 0 dla każdej liczby
wymiernej q, mamy Df (S) = 0 dla każdej
funkcji f.
Dla czworościanu foremnego T, którego długość krawędzi l możemy dobrać tak,
aby objętość wynosiła 1, wszystkie kąty dwuścienne są jednakowe, a cosinus każdego
z nich wynosi 1 (p. rys.). mamy więc
3
M T = Æ®
¯
arc FRV 1 µ¶
3Þ
funkcja f : MT ® Q taka, że f arccos 13 = 1
oraz f(p) = 0, może być rozszerzona do funkcji liniowej f : V(M) ® Q i dla tej funkcji
mamy
D f T = 6 l £ f ¼« arccos 1 ²³ = 6 l º 0
3Ö
¾
Tak więc Df (S) ¹ Df (T), a zatem czworościan foremny nie jest równoważny sześcianowi.
Weźmy teraz pod uwagę inny czworościan T ¢, będący „rogiem sześcianu”. Jego
trzy wzajemnie prostopadłe krawędzie
o długości l są krawędziami sześcianu, trzy
pozostałe – przekątnymi ścian sześcianu,
mają więc długość l 2 . Trzy z kątów dwuściennych są proste,
a cosinus każdego z trzech pozostałych ma
wartość
2
l
2
= 1 3
3
2l
2
Podobnie jak poprzednio, iloraz
arccos 1
3
Tymczasem można wykazać, że iloraz
arccos1
3
jest liczbą niewymierną, a zatem arccos 13
i p są liniowo niezależne nad Q, a wobec tego
jest liczbą niewymierną, zatem liczby te są
liniowo niezależne nad Q, istnieje więc
funkcja liniowa nad Q taka, że f(p) = 0
i f arccos 1 = 1 i dla tej funkcji mamy
3
D f T ì = 3l £ 2 Rozpatrzmy jeszcze jeden czworościan,
T ¢¢ także wycięty z sześcianu. Jego podstawą
jest połowa kwadratu, krawędź prostopadła
do podstawy jest krawędzią sześcianu, pozostałe dwie krawędzie są przekątnymi sześcianu.
Jego kąty dwuścienne to 3 i a stąd
Df (T ¢¢) = 0 dla każdej odpowiedniej funkcji f. Wynika to także z faktu, że sześcian
jest sumą 6 takich czworościanów. Oczywiste jest, że czworościany T ¢ i T ¢¢ mają taką
samą podstawę i wysokość, ale nie są równoważne przez uzupełnienie (a więc także
przez podział), bo mają różne niezmienniki Dehna. n