Przykład 9.1. Obliczyć funkcję sił wewnętrznych w ustroju prętowym

Przykład 9.1. Obliczyć funkcję sił wewnętrznych w ustroju prętowym

Przykład 9.1.
Obliczyć funkcję sił wewnętrznych w ustroju prętowym
pokazanym na rysunku
Pb
Pc
Dane:
Pa = 50kN
Pb = 70kN
Pc = 90kN
l12 = 0,80m
l23 = 0,60m
l34 = 0,40m
Pa
1
x1
α
α
4
β
2
γ
3 x3 γ
β
x2
1. W zadanym układzie prętowym wyróżniamy cztery punkty charakterystyczne 1,2,3,4 i
trzy przedziały charakterystyczne (1,2), (2,3), (3,4). W poszczególnych przedziałach
charakterystycznych wprowadzamy początki układów współrzędnych w punktach
1,2,3.
2. Ze względu na znaną wartość wszystkich sił zewnętrznych w punkcie 1 reakcji nie ma
potrzeby obliczać.
3. Po przecięciu pręta przekrojem α - α obliczono siły wewnętrzne analizując stan
równowagi części pręta między punktem 1 i przekrojem α-α. Oś x1 wybrano wzdłuż
prostej (1,2) od punktu 1 do przekroju α-α, podobnie postąpiono w drugim przedziale
charakterystycznym na części pręta (2,3) i trzecim na części pręta (3,4).
4. Pisząc warunki równowagi (trzy sumy rzutów sił i trzy sumy rzutów momentów)
wyznaczono funkcje sił wewnętrznych
Siły wewnętrzne w przekroju α-α
Siły wewnętrzne w przekroju β-β
równoważą siły zewnętrzne przyłożone
równoważą siły zewnętrzne przyłożone
do odciętej części pręta od punktu 1
do odciętej części pręta od punktu 1
do przekroju α-α
do przekroju β-β
Pb
Pa
1
Pb
Pc
Siły wewnętrznez1
w przekroju α - α
Pa
x12
z1
x1
y1
lewoskrętny
układ współ.
w części
1 - α-α
N (x12) = - Pa = -50 kN
Ms (x12) = 0
Ty (x12) = +Pc = +90 kN
Mgz (x12) = +Pc · x12= +90· x12
Tz (x12) = -Pb = -70 kN
Mgy(x12) = + Pb · x12= +70· x12
Siły wewnętrzne
w przekroju β - β
1
Pc
x23
2
y2
x2
lewoskrętny
układ współ.
w części
2 - β-β
z2
N (x23) = + Pb = +70 kN
Ms (x23) = + Pc · l12 = 90 · 0,80 = +72 kNm
Ty (x23) = + Pc = +90 kN
Mgz(x23) = +Pc · x23 = + 90 · x23
Tz (x23) = -Pa = - 50 kN
Mgy(x23) = +Pb · l12 + Pa · x23 = 56 + 50 · x23
1
Pa
Pb
1
Pc
lAB
2
Siły wewnętrzne
w przekroju γ - γ
x3
y3
lBC
3
x34
z3
lewoskrętny
układ współ.
w części
3 - γ-γ
N (x34) = + Pc = +90 kN
Ms (x34) = +Pa· l23 + Pb· l12 = +50 · 0,6 + 70 · 0,8 = + 86 kNm
Ty (x34) = -Pb = -70 kN
Mgz (x34) = -Pb · x34 + Pc · l23 = - 70 · x34 + 54 kNm
Tz (x34) = -Pa = -50 kN
Mgy(x34) = + Pa · x34 + Pc· l12 = +50· x34 + 90· 0,8 = 72 +50· x34
2