1 KLASA I - GRUPA A (wersja dla nauczyciela) 1. (1 pkt) Dany jest

KLASA I - GRUPA A (wersja dla nauczyciela)
1. (1 pkt) Dany jest przedział 〈–4, 5). Przedział ten można zapisać jako zbiór:
a) {x: x ∈ R ∧ –4 ≤ x < 5} b) {x: x ∈ C ∧ –4 ≤ x < 5} c) {x: x ∈ R ∧ –4 < x ≤ 5} d) {x: x ∈ C ∧ –4 < x ≤ 5}
2. (1 pkt) W wyniku dzielenia liczby 17 przez 5 otrzymamy:
2
2
a) iloraz 3 i resztę
b) iloraz i resztę 3 c) iloraz 4 i resztę –3
5
5
d) iloraz 3 i resztę 2
3. (1 pkt) Zbiorem rozwiązań nierówności |x – 2| < 4 jest:
a) (–2, 6)
b) (–∞, –2) ∪ (6, +∞) c) (–6, 2)
4. (1 pkt) Po uproszczeniu wyrażenia
a) a6
b) a4
d) (–∞, –6) ∪ (2, +∞)
a3 : a 5
, gdzie a ≠ 0, otrzymamy:
a −4
c) a2
d) a–6
5. (1 pkt) W trójkącie prostokątnym jeden kąt ostry jest o 18° mniejszy od drugiego. Kąty ostre trójkąta mają
miary:
a) 36° i 54°
b) 18° i 72°
c) 27° i 63°
d) 31° i 49°
6. (1 pkt) Trójkąt A1B1C1 ma obwód 18 cm i jest podobny do trójkąta ABC w skali 3. Obwód trójkąta ABC jest
równy:
a) 2 cm
b) 6 cm
c) 15 cm
d) 54 cm
7. (1 pkt) Stosunek długości odcinków
a)sinα
b) cosα
y
na rysunku obok jest równy:
z
c) tgα
d) ctgα
8. (1 pkt) Wykres funkcji f(x) = (m – 2)x jest prostopadły do wykresu funkcji g(x) =
wtedy, gdy:
1
a) m = 1
4
b) m =
2
3
c) m = 1,5
d) m = − 1
3
x + 7 wtedy i tylko
4
1
3
9. (2 pkt) Mandarynki i nektarynki kosztują tyle samo. Jeśli mandarynki stanieją o 4%, zaś nektarynki zdrożeją
o 15%, to o ile procent więcej trzeba będzie zapłacić za 2 kg mandarynek i 3 kg nektarynek?
• Ustalenie nowych cen i ułożenie równania 1 pkt
• Rozwiązanie i podanie odpowiedzi
1 pkt
Rozwiązanie:
– cena mandarynek i nektarynek przed zmianą
−
=
- cena mandarynek po zmianie
+
=
- cena nektarynek po zmianie
2 + 3 = 5 - koszt zakupu przed zmianą cen
2∙
∙ +3∙
∙ =
=
- koszt zakupu po zmianie cen
−5 =
– różnica kosztów zakupu
37
100 ∙ 100% = 7,4%
5
Odpowiedź: Trzeba zapłacić o 7,4% więcej
1
10. (2 pkt) Rozwiąż równanie (x – 1)2 – (x + 4)2 + 2x + 31 = 0.
• Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia
• Rozwiązanie i podanie odpowiedzi
Rozwiązanie:
-
1 pkt
1 pkt
− 1 − + 4 + 2 + 31 = 0
− 2 + 1 − − 8 − 16 + 2 + 31 = 0
−8 = −16
=2
Odpowiedź: Rozwiązaniem jest = 2.
11. (3 pkt) W trapezie długości podstaw są równe: 10 cm i 15 cm, a długości ramion: 4 cm i 3 cm. Ramiona
trapezu przedłużono do przecięcia w punkcie P. Oblicz obwód trójkąta, którego jednym z wierzchołków jest
punkt P, a dwa pozostałe są końcami dłuższej podstawy trapezu.
• Powołanie się na twierdzenia Talesa (lub podobieństwo trójkątów)
1 pkt
• Ułożenie odpowiednich proporcji
1 pkt
• Rozwiązanie i podanie odpowiedzi
1 pkt
Rozwiązanie:
56 ∥ 34 (ramiona kąta przecięte równoległymi) lub
|∢156| = |∢134| ∧ |∢165| = |∢143| ∧ |∢516| = |∢314|
|34| |31| |34| |41|
=
∧
=
|56| |51|
|56| |61|
10
=
15
10
=
+3
15
+4
10 + 30 = 15 ∧ 10 + 40 = 15
=6∧ =8
∧
!"#$% = 15 + 4 + 8 + 6 + 3 = 36
Odpowiedź: !"#$% = 36.
12. (3 pkt) Sprawdź, czy dla α ∈ (0°, 90°) podana równość jest tożsamością trygonometryczną:
 1
1 
(1 + sinα )
−
 = cos α
 cos α ctgα 
• Zamiana &'() na *+,) i &-*) oraz wspólny mianownik 1 pkt
• Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia
1 pkt
• Jedynka trygonometryczna i redukcja wyrazów
1 pkt
Rozwiązanie:
1 + *+,) .
1
&-*)
−
1
&'()
/ = &-*)
*+,)
1 − *+,2 ) &-*2 )
0 = 1 + *+,) .
−
/ = 1 + *+,) .
−
/=
=
= &-*) = 1
&-*) &'()
&-*) &-*)
&-*)
&-*)
Odpowiedź: Podana równość jest tożsamością.
1
1
1
. Za oryginalne, prawidłowe rozwiązania dodatkowe punkty według oceny nauczyciela.
Ocena:
0p – 7p
8p – 9p
10p – 13p
14p – 16p
17p – 18p
18p
-
1 (ndst)
2 (dop)
3 (dst)
4 (db)
5 (bdb)
6 (cel)
2
KLASA I - GRUPA B (wersja dla nauczyciela)
1. (1 pkt) Dany jest przedział 〈1, 7). Przedział ten można zapisać jako zbiór:
a) {x: x ∈ C+ ∧ x < 7} b) {x: x ∈ R ∧ 1 ≤ x < 7} c) {x: x ∈ N ∧ 1 ≤ x < 7} d) {x: x ∈ R ∧ 1 < x ≤ 7}
2. (1 pkt) W wyniku dzielenia liczby 21 przez 4 otrzymamy:
1
1
a) iloraz i resztę 5
c) iloraz 6 i resztę –3 d) iloraz 5 i resztę 1
b) iloraz 5 i resztę
4
4
3. (1 pkt) Zbiorem rozwiązań nierówności |x + 3| > 1 jest:
a) (–∞, 2) ∪ (4, +∞)
b) (2, 4)
c) (–4, –2)
4. (1 pkt) Po uproszczeniu wyrażenia
a) b–5
b) b5
d) (–∞, –4) ∪ (–2, +∞)
b4 : b6
, gdzie b ≠ 0, otrzymamy:
b−3
c) b
d) b7
5. (1 pkt) W trójkącie prostokątnym jeden kąt ostry jest o 26° większy od drugiego. Kąty ostre trójkąta mają
miary:
a) 26° i 64°
b) 32° i 58°
c) 38° i 52°
d) 27° i 53°
6. (1 pkt) Trójkąt A1B1C1 ma obwód 12 cm i jest podobny do trójkąta ABC w skali 2. Obwód trójkąta ABC jest
równy:
a)3 cm
b)6 cm
c)24 cm
d) 14 cm
7. (1 pkt) Stosunek długości odcinków
a) sinα
b) cosα
x
na rysunku obok jest równy:
y
c) tgα
d) ctgα
2
8. (1 pkt) Wykres funkcji f(x) = (m – 3)x jest prostopadły do wykresu funkcji g(x) = – x + 8 wtedy i tylko
5
wtedy, gdy:
a)m = 3,4
b)m = 5,5
c)m = 0,5
d)m = 2,5
9. (2 pkt) Czereśnie i wiśnie kosztują tyle samo. Jeśli czereśnie stanieją o 3%, zaś wiśnie zdrożeją o 5%, to o ile
procent więcej trzeba będzie zapłacić za 2 kg czereśni i 4 kg wiśni?
• Ustalenie nowych cen i ułożenie równania 1 pkt
• Rozwiązanie i podanie odpowiedzi
1 pkt
Rozwiązanie:
– cena czereśni i wiśni przed zmianą
−
=
- cena czereśni po zmianie
+
=
- cena wiśni po zmianie
2 + 4 = 6 - koszt zakupu przed zmianą cen
2∙
∙ +4∙
∙ =
=
- koszt zakupu po zmianie cen
−6 =
– różnica kosztów zakupu
14
100 ∙ 100% ≈ 2,33%
6
Odpowiedź: Trzeba zapłacić o 2,33 % więcej
3
10. (2 pkt) Rozwiąż równanie (x + 5)2 – (x – 3)2 – x – 91 = 0.
• Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia
• Rozwiązanie i podanie odpowiedzi
Rozwiązanie:
+5 − −3
+ 10 + 25 −
15 = 75
=5
-
1 pkt
1 pkt
− − 91 = 0
+ 6 − 9 − − 91 = 0
Odpowiedź: Rozwiązaniem jest = 5.
11. (3 pkt) W trapezie długości podstaw są równe: 8 cm i 12 cm, a długości ramion: 4 cm i 3 cm. Ramiona
trapezu przedłużono do przecięcia w punkcie P. Oblicz obwód trójkąta, którego jednym z wierzchołków jest
punkt P, a dwa pozostałe są końcami dłuższej podstawy trapezu.
• Powołanie się na twierdzenia Talesa (lub podobieństwo trójkątów)
1 pkt
• Ułożenie odpowiednich proporcji
1 pkt
• Rozwiązanie i podanie odpowiedzi
1 pkt
Rozwiązanie:
56 ∥ 34 (ramiona kąta przecięte równoległymi) lub
|∢156| = |∢134| ∧ |∢165| = |∢143| ∧ |∢516| = |∢314|
|34| |31| |34| |41|
=
∧
=
|56| |51|
|56| |61|
8
=
12
8
=
+3
12
+4
8 + 24 = 12 ∧ 8 + 32 = 12
=6 ∧ =8
∧
!"#$% = 12 + 4 + 8 + 6 + 3 = 33
Odpowiedź: !"#$% = 33.
12. (3 pkt) Sprawdź, czy dla α ∈ (0°, 90°) podana równość jest tożsamością trygonometryczną:
1 
 1
(1 − cosα )
+
 = sinα
 sinα tgα 
• Zamiana '() na *+,) i &-*) oraz wspólny mianownik
1 pkt
• Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia
1 pkt
• Jedynka trygonometryczna i redukcja wyrazów
1 pkt
Rozwiązanie:
1 − &-*) .
1
*+,)
0 = 1 − &-*) .
+
1
1
'()
−
/ = *+,)
1
/ = 1 − &-*) .
1
*+,) '()
*+,)
Odpowiedź: Podana równość jest tożsamością.
−
&-*)
1 − &-*2 ) *+,2 )
/=
=
= *+,) = 1
*+,)
*+,)
*+,)
. Za oryginalne, prawidłowe rozwiązania dodatkowe punkty według oceny nauczyciela.
Ocena:
0p – 7p
8p – 9p
10p – 13p
14p – 16p
17p – 18p
18p
-
1 (ndst)
2 (dop)
3 (dst)
4 (db)
5 (bdb)
6 (cel)
4