Algebra z Geometrią Analityczną, I rok inf., WPPT Lista 8 – 18

Algebra z Geometrią Analityczną, I rok inf., WPPT
Lista 8 – 18 listopada 2012
Temat: układy równań liniowych
• Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ równań liniowych Ax = b ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rank(A) =
rank([A, b]). Jeśli rank(A) = rank([A, b]) = n, to układ Ax = b ma dokładnie jedno
rozwiązanie. Jeśli rank(A) = rank([A, b]) = r < n, to układ Ax = b ma nieskończenie
wiele rozwiązań, zależących od n − r parametrów.
• Rozwiązanie ogólne x niesprzecznego układu Ax = b może być wyrażone jako suma
jakiegoś rozwiązania szczególnego x(0) układu Ax = b oraz liniowej kombinacji wektorów
z bazy podrzestrzeni liniowej rozwiązań układu jednorodnego Ax = 0 (podprzestrzeń
zerowa macierzy A). Wymiar tej podprzestrzeni liniowej jest równy n − rank(A), a jej
baza nazywa się fundamentalnym układem rozwiązań.
• Zgodnie z definicją macierzy odwrotnej X = A−1 do nieosobliwej macierzy A, dla j =
1, 2, . . . , n = stop(A) wiadomo, że jta kolumna x(j) macierzy X jest rozwiązaniem
układu Ax = ej , gdzie ej jest jtą kolumną macierzy jednostkowej I stopnia n.
• Dane są różne liczby (węzły interpolacji) x0 , x1 , . . . , xn oraz dowolne liczby y0 , y1 , . . . , yn .
Wówczas istnieje jednoznaczny wielomian interpolacyjny stopnia ¬ n spełniający warunki interpolacji w(xj ) = yj dla j = 0, 1, . . . , n.
..................................
1. Dany jest następujący układ równań liniowych:
3x + y − z = 0,
5x + 3y − 2z = −3,
7x + 2y + 2z = 5.
Oblicz macierz odwrotną do macierzy układu i za jej pomocą rozwiąż ten układ. Macierz
odwrotną oblicz za pomocą eliminacji Gaussa zastosowanej do równania macierzowego
AX = I, czyli do układów Ax(j) = ej dla j = 1, 2, 3, gdzie ej jest jtą kolumną macierzy
jednostkowej.
2. Za pomocą elementarnych przekształceń (eliminacji Gaussa) przekształć poniższy układ
równań liniowych do układu z macierzą górną trójkątną
x1 + x2 + 2x3 = b1 ,
x1 + x3 = b2 ,
2x1 + x2 + 3x3 = b3 .
Jakie warunki muszą spełniać współczynniki b1 , b2 , b3 , aby ten układ równań liniowych
miał rozwiązanie? Wskazówka. Jak wygląda ostatnie równanie otrzymanego układu równań i co z jego postaci wynika? To samo wykonaj dla następującego układu
x1 + 2x2 + 3x3 = b1 ,
2x1 + 5x2 + 3x3 = b2 ,
x1 + 8x3 = b3 .
Czy ten układ ma jednoznaczne rozwiązanie dla dowolnych b1 , b2 , b3 ? Zbadaj, czy macierze obu układów są nieosobliwe.
3. Wyznacz rząd macierzy w zależności od wartości parametru c:


c+2
3
6
3


c+1
4
2 .
 2
1
1
c+1 1
1
4. Zbadaj, które kolumny macierzy A tworzą układ wektorów liniowo niezależnych:


2 1 3


A =  3 2 5 .
4 −2 2
Czy te kolumny są fundamentalnym układem rozwiązań układu Ax = 0? Dlaczego?
Opisz wszystkie wektory x, które spełniają układ równań liniowych Ax = 0.
5. Sprawdź, czy układ jest niesprzeczny:
(a) x1 + x2 = 2, x1 − x2 = 0, x1 + 3x2 = 3,
(b) 2x1 + 3x2 − x3 = 1, −x1 + 2x2 + 2x3 = 3,
(c) x1 + 2x2 − x3 = 2, −2x1 + x2 − 2x3 = 4, −x1 + 3x2 − 3x3 = 1.
Jeśli tak, to wyznacz jego rozwiązanie ogólne.
6. Dla jakich wartości parametrów a i b układ
3x − 2y + z = b,
5x − 8y + 9z = 3,
2x + y + az = −1
• nie ma rozwiązań,
• ma jednoznaczne rozwiązanie,
• ma nieskończenie wiele rozwiązań?
7. Korzystając z warunków na rozwiązalność dowolnego układu równań liniowych, podaj
warunki na to, by na płaszczyźnie:
• trzy punkty leżały na wspólnej prostej (były współliniowe),
• trzy proste przechodziły przez wspólny punkt.
Odpowiedź potwierdź jakimś przykładem.
8. Wyznacz wielomian interpolacyjny stopnia n ¬ 2 spełniający warunki
w(−1) = 3,
w(1) = 2,
w(2) = −1.
Oblicz wyznacznik macierzy układu równań liniowych spełnianych przez współczynniki szukanego wielomianu. Zauważ, co macierz tego układu ma wspólnego z macierzą
Vandermonde’a.
9. (∗) Niech




1 −4 4


B =  4 −8 6  .
0 −4 5
1 1 5


A =  2 0 6 ,
1 2 7
(a) Czy podprzestrzenie liniowe rozpięte na wierszach macierzy A i B są takie same?
(b) Czy podprzestrzenie liniowe rozpięte na kolumnach macierzy A i B są takie same?
(c) Czy podprzestrzenie zerowe macierzy A i B są takie same?
2
10. (∗) Oblicz macierze F = AB −1 i
wrotnych, gdzie

1 2

B= 0 1
0 0
G = B −1 A bez jawnego wyznaczania macierzy od
0

0 ,
2


1 2 −3


A =  0 1 2 .
0 0 1
Wskazówka. Macierz F jest rozwiązaniem równania macierzowego XB = A, a macierz
G równania BX = A.
11. (∗) Niech x(0) będzie szczególnym rozwiązaniem zgodnego układu Ax = b dla macierzy
A stopnia 3 i rzędu 1. Podaj geometryczną interpretację zbioru wszystkich rozwiązań
układu Ax = b. Podaj przykład układu Ax = b spełniającego powyższe założenia.
Uwaga. Zauważ, że N (A) można zinterpretować jako płaszczyznę w przestrzeni.
12. (∗)
(a) Udowodnij, że iloczyn dwóch macierzy trójkątnych górnych tego samego stopnia
jest też macierzą trójkątną górną.
(b) Wykaż, że macierz odwrotna do nieosobliwej macierzy trójkątnej górnej jest też
trójkątna górna. Które dopełnienia algebraiczne są na pewno równe zero?
Czy stąd wynika, że zbiór nieosobliwych macierzy trójkątnych górnych jest grupą ze
względu na mnożenie macierzy? Dlaczego?
13. (∗) Niech w(x) będzie wielomianem stopnia ¬ 5 spełniającym warunki
w(0) = w(1) = w(2) = w(3) = 0.
Napisz układ równań liniowych, którego rozwiązaniem są współczynniki wielomianu
w(x), spełniającego te warunki. Zbadaj, czy te warunki jednoznacznie określają ten
wielomian. Podaj ogólną postać wielomianów w(x), spełniających te warunki.
Krystyna Ziętak
3