Macierze odwrotne i układy ro wnan
Transkrypt
Macierze odwrotne i układy ro wnan
Macierze odwrotne i układy ro wnan 1. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy: 1 −2 3 a) 𝐴 = [3 1 4]; 2 5 1 1 b) 𝐵 = [1 0 0 1 1 3]. 1 3 2. Za pomocą macierzy odwrotnej rozwiązać równanie: 1 a) [2 2 2 1 1 0 1 3] ∙ 𝑋 = [ 0 1] ; −1 4 1 2 c) 𝐴 ∙ 𝑋 ∙ 𝐴−1 = 𝐵, jeśli 𝐴 = [ 1 3 b) 𝑋 ∙ [1 2 1 1 1 2 3 ], 𝐵 = [ 3 4 9 6 2 4 3] = [ 5 9 1 7 ]; 14 −1 ]. −3 3. Wykazać, że dla dowolnych macierzy kwadratowych 𝐴 i 𝐵 (tego samego stopnia) prawdziwa jest 1 2 3 −2 równość (𝐴 ∙ 𝐵)−1 = 𝐵 −1 ∙ 𝐴−1. Sprawdzić ten wzór dla 𝐴 = [ ]i 𝐵 =[ ]. 4 9 −1 1 4. Czy istnieją takie macierze odwracalne 𝐴 i 𝐵, że (𝐴 + 𝐵)−1 = 𝐴−1 + 𝐵−1 ? (Zadanie z egzaminu na ocenę celującą doc. Z. Skoczylasa) 5. Stosując wzory Cramera rozwiązać układ równań: 𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 3 a) { 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 5 ; 𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 13 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 2𝑡 = 0 −2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 + 3𝑡 = 2 b) { . 2𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 0 3𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 − 𝑡 = 0 6. Metodą eliminacji rozwiązać układ równań: 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1 a) { −𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 3 ; 2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 11 𝑥+𝑦+𝑧 = 2 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 1 b) { ; 2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 3 3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0 𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = 1 c) {2𝑥 + 7𝑦 + 3𝑧 + 5𝑡 = 4 , 𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 + 4𝑡 = 2 𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 + 4𝑡 = 1 d) {3𝑥 + 5𝑦 + 13𝑧 + 10𝑡 = 9 . 𝑥 + 4𝑦 + 9𝑧 + 𝑡 = 10 𝑝𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 3 7. Określić liczbę rozwiązań układu równań { 𝑥 + 𝑝𝑦 + 𝑧 = 3 w zależności od parametru 𝑝. 𝑥+𝑦 + 𝑧 =2 8. Obliczyć pole części wspólnej czterech kół, których środki znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku 𝑎 = 1, o promieniach równych długości boku tego kwadratu.