Rozwiązanie równania różniczkowego MES Model fizyczny 1D

Rozwiązanie równania różniczkowego MES Model fizyczny 1D

Rozwiązanie równania różniczkowego MES
Jerzy Pamin
e-mail: [email protected]
Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej Politechniki Krakowskiej
Strona domowa: www.L5.pk.edu.pl
c J.Pamin
Metody obliczeniowe, 2015 Model fizyczny 1D - pręt
Pręt pod obciążeniem rozłożonym – problem brzegowy
û0
EA=const
Pl
x, u
px (x)
l
(1) Równowaga
dN
dx
≡ N 0 = −px
Dwa warunki brzegowe:
podstawowy albo naturalny
P0
Z lewej x = 0:
u0 = û0 albo u00 = EA
0
(2) Kinematyka 0 = du
dx ≡ u
(3) Fizyka
N = EA0
Podstawiając (3)→(2):
(4) Siła-przem. N = EAu0
Podstawiając (4)→(1):
Pl
Z prawej x = l:
ul = ûl albo u0l = EA
Problem dobrze postawiony gdy min.
1 warunek brzegowy jest podstawowy
W.b. może być jednorodny lub niejednorodny
Model lokalny: EAu00 = −px
Np. u0 = 0 i u0l =
Pl
EA
c J.Pamin
Metody obliczeniowe, 2015 Metoda residuów ważonych
W MES punktem wyjścia jest model globalny. Zasada prac wirtualnych
lub minimum całkowitej energii potencjalnej generują modele globalne.
Jeśli znany jest model lokalny, można zastosować tzw. metodę residuów
ważonych.
Równoważny model globalny
Zapisujemy równanie różniczkowe jako warunek zerowania residuum
R(x) = EAu00 (x) + px (x) = 0
Poszukujemy rozwiązania przybliżonego ũ dla którego
R(x) = EAũ00 (x) + px (x) 6= 0
W metodzie residuów ważonych żądamy aby
l
Z
∀w 6= 0
w(x)R(x)dx = 0
0
Warunki brzegowe muszą być spełnione
c J.Pamin
Metody obliczeniowe, 2015 Metoda residuów ważonych
Słabe (globalne) sformułowanie
Podstawiamy za residuum
Z
l
w (EAu00 + px )dx = 0
∀w
0
Z
l
00
Z
w EAu dx +
0
l
w px dx = 0
∀w
0
Całkujemy przez części aby obniżyć wymagania odnośnie ciągłości
Z
−
l
0
0
w EAu dx +
0
l
[w EAu0 ]0
Z
l
w px dx = 0
+
∀w
0
Naturalny warunek brzegowy jest wprowadzany do członu brzegowego,
podstawowy warunek brzegowy należy spełnić.
Dopuszczalna jest aproksymacja funkcją o ciągłości C 0 .
c J.Pamin
Metody obliczeniowe, 2015 Metoda residuów ważonych
Zasada prac wirtualnych
Słaba forma równania MRW
Z l
Z l
l
w0 EAu0 dx = [w EAu0 ]0 +
w px dx
0
∀w
0
Funkcja wagowa jest interpretowana jako wariacja przemieszczenia
podłużnego δu
Z
l
0
0
δu EAu dx =
0
l
[δu EAu0 ]0
Z
l
δu px dx
+
∀δu
0
Przepisujemy w postaci zasady prac wirtualnych
Z
l
δ0 N dx =
0
l
[δu N ]0
l
Z
δu px dx ,
+
δWint = δWext
∀δu
0
Przemieszczenie wirtualne δu spełnia jednorodne podstawowe warunki
brzegowe (jest kinematycznie dopuszczalne).
c J.Pamin
Metody obliczeniowe, 2015 Rozwiązanie przybliżone
Metoda Bubnowa-Galerkina
Słabe sformułowanie problemu brzegowego
Z l
Z l
l
w0 EAu0 dx = [w EAu0 ]0 +
w px dx
0
∀w
plus w.b.
0
Załóżmy aproksymację globalną ũ w postaci
n
X
ũ = φ0 +
φi ci = φ0 + φc
i=1
φ0 , φi , i = 1 . . . n – (znane, liniowo niezależne) funkcje bazowe
(φ0 spełnia niejednorodne podstawowe w.b., φi spełnia jednorodne podstawowe w.b.)
ci – (nieznane) współczynniki
Funkcja wagowa jest aproksymowana z użyciem tych samych funkcji
bazowych
n
X
w=
φi bi = φb
i=1
Podstawiamy aproksymacje do równania całkowego, które ma być
spełnione dla każdego bi , i otrzymujemy układ n równań algebraicznych
o n niewiadomych ci , który łatwo rozwiązać.
c J.Pamin
Metody obliczeniowe, 2015 Metoda elementów skończonych
Przykładowe zagadnienie
Rozwiąż problem brzegowy
u00 (x) + 6x2 = 0
x ∈ (0, 1) , w.b. u(0) = 1 , u0 (1) = −
1
2
stosując MES w sformułowaniu Galerkina i 2 elementy z interpolacją
liniową.
Rozwiązanie analityczne
u00 (x) = −6x2
u0 (x) = −2x3 + C
1
u(x) = − x4 + Cx + D
2
3
1
uanalit = − x4 + x + 1
2
2
c J.Pamin
Metody obliczeniowe, 2015 Metoda residuów ważonych
Model globalny otrzymany MRW
00
1
Z
2
w(x)R(x)dx = 0 ∀w 6= 0
R = u (x) + 6x ,
0
Z
1
1
Z
00
w 6x2 dx = 0 ∀w
wu dx +
0
0
Zakładamy, że rozwiązanie dokładne ma ciągłość C 1
Sformułowanie słabe
Z
−
1
0 0
w u dx +
0
Z
1
[wu0 ]0
Z
1
w 6x2 dx = 0
+
1
0 0
0
0
| · (−1)
1
Z
w 6x2 dx = 0 , u(0) = 1
w u dx − w(1)u (1) + w(0)u (0) −
0
∀w
0
0
Na podstawie w.b. u0 (1) = − 21 , wartość u0 (0) jest nieznana
c J.Pamin
Metody obliczeniowe, 2015 Dyskretyzacja MES
2 elementy z liniową interpolacją
1
2
1
0 x
1
3
2
0.5 x
uj
ui
i
2
x
1
j
xi
e
xj
Funkcje kształtu
e
Ni = 1 − xle = 1 − 2xe
e
Nj = xle = 2xe
N =
[Ni , Nj ]
ui
de =
uj
Topologia e = 1 i = 1 j = 2
e=2 i=2 j=3
Transformacja xe ∈ (0, le )
x = xe + ae
a1 = 0, a2 = 0.5
Aproksymacja Bubnowa-Galerkina
u ≈ ue = N de ,
w ≈ w e = N b = bT N T
c J.Pamin
Metody obliczeniowe, 2015 Równania MES
Równanie całkowe dla elementu skończonego
le
Z
w0 u0 dxe − w(le )u0 (le ) + w(0e )u0 (0e ) −
0
Z
l
le
Z
w 6x2 dxe = 0
0
e
0 0
e
0
e
e
0
e
le
Z
e
w 6(xe + ae )2 dxe = 0
w u dx − w(l )u (l ) + w(0 )u (0 ) −
0
0
Podstawiamy interpolację u = N de ,
Z
∀w
w = bT N T ,
żądamy spełnienia ∀b
le
Z
bT N 0T N 0 de dxe −bT N T (le )u0 (le )+bT N T (0e )u0 (0e )−
0
le
bT N T 6(xe +ae )2 dxe = 0
0
Uwaga: pochodne na brzegu u0 (0e ) i u0 (le ) nie są aproksymowane.
Z
le
N 0T N 0 de dxe −N T (le )u0 (le )+N T (0e )u0 (0e )−
Z
0
le
N T 6(xe +ae )2 dxe = 0
0
Podstawiamy N T (le ) =
Z
h
0
1
le
0T
0
e
e
N N dx d −
0
i
,
h
N T (0e ) =
−u0 (0e )
u0 (le )
Z
−
1
0
i
le
N T 6(xe + ae )2 dxe = 0
0
c J.Pamin
Metody obliczeniowe, 2015 ∀
Równania MES
Macierze elementu skończonego
Z
le
N 0T N 0 dxe de −
0
Ke =
Z
−u0 (0e )
u0 (le )
le
N 0T N 0 dxe , pe =
Z
le
Z
N T 6(xe + ae )2 dxe = 0
−
0
le
N T 6(xe +ae )2 dxe , peb =
0
0
−u0 (0e )
u0 (le )
Pochodne funkcji kształtu N 0 = [−2 , 2]
Macierzowe równanie MES
K e de − peb − pe = 0
K e de = pe + peb
Model numeryczny na poziomie elementu
c J.Pamin
Metody obliczeniowe, 2015 Obliczenia
Obliczamy macierze dla każdego elementu
0.5
2 −2
−2 2 dx =
K =K =
−2 2
0
Z 0.5 1
0.0625
1
−
2x
p1 =
6(x1 )2 dx1 =
1
2x
0.1875
0
Z 0.5 (2)
1
−
2x
0.6875
p2 =
6(x(2) + 0.5)2 dx(2) =
(2)
1.0625
2x
0
0 1
0 2
−u
(0
)
−u
(0
)
p1b =
,
p2b =
0 1
u (l )
u0 (l2 )
1
2
Z
−2
2
e
c J.Pamin
Metody obliczeniowe, 2015 Globalny układ równań
Agregacja (assembly)
Dodajemy macierze elementowe do wyzerowanych macierzy globalnych
zgodnie z topologią
X
X
X
X
K=
Ke , d =
de , p =
pe , pb =
peb ,
e

e
2
K =  −2
0
−2
2+2
−2

pb = 
e
e
Kd = p + pb





0
u1
0.0625
−2  d =  u2  p =  0.8750 
2
u3
1.0625
 

−u0 (01 )
−u0 (0)

u0 (l1 ) − u0 (02 )  = 
0
u0 (l2 )
u0 (1)
c J.Pamin
Metody obliczeniowe, 2015 Warunki brzegowe i rozwiązanie
Układ 3 równań o 5 niewiadomych

2
 −2
0
−2
4
−2

 
 

0
u1
0.0625
−u0 (0)

−2   u2  =  0.8750  + 
0
2
u3
1.0625
u0 (1)
ale mamy jeszcze warunki brzegowe u1 = u(0) = 1 oraz u0 (1) = −0.5!
Uwaga: do tego momentu rozwiązanie jest niezależne od warunków
brzegowych.
Układ 3 równań o 3 niewiadomych

2
 −2
0
−2
4
−2

 
 

0
1.0
0.0625
−u0 (0)

−2   u2  =  0.8750  + 
0
2
u3
1.0625
−0.5
Najpieirw rozwiązujemy równania 2 i 3, potem równanie 1
u2 = 1.71875 , u3 = 2 , u0 (0) = 1.5
c J.Pamin
Metody obliczeniowe, 2015 Rozwiązanie
Porównanie rozwiązania przybliżonego i analitycznego
Rozwiązanie
Pochodna rozwiązania
c J.Pamin
Metody obliczeniowe, 2015