1.1 Macierze

1
IMiF, UTP
1.1
Macierze
Definicja 1.1. Macierzą A o wymiarach m × n, m, n ∈ N o współczynnikach rzeczywistych nazywamy
prostokątną tablicę złożoną z m × n liczb rzeczywistych ustawionych w m wierszach (poziomy układ
elementów znajdujących się w jednej linii) i n kolumnach (pionowy)
A = Amn = (aij )m×n

a11

 a21
=
 ..
 .
a12
a22
..
.
am1 am2

. . . a1n
. . . a2n 

.. 
..
.
.
. 
. . . amn
Przez Mm×n oznaczamy zbiór wszystkich macierzy rzeczywistych wymiaru m × n. Element stojący
w i-tym wierszu i j-tej kolumnie oznaczamy przez aij , gdzie i ∈ {1, ..., m}, j ∈ {1, ..., n}.
Macierz o tej samej liczbie kolumn, co liczba wierszy nazywa się kwadratową – wspomnianą wspólną
liczbę kolumn i wierszy nazywa się wtedy stopniem tej macierzy; macierze nie będące kwadratowymi
nazywa się dla wyróżnienia prostokątnymi. Jeśli macierz jest kwadratowa, to ciąg elementów o równych
wskaźnikach wiersza i kolumny począwszy od jeden do jej stopnia nazywa się główną przekątną. Podmacierz
danej macierzy to dowolny układ jej elementów powstały przez „skreślenie” pewnej liczby wierszy i kolumn
sam tworzący macierz. Dla macierzy A stopnia 3


0 2 1


A = 1 6 4
5 0 3
A13
1 6
=
5 0
!
jej główną przekątną jest ciąg elementów równych 0, 6, 3; a podmacierzą jest np. A13 .
Macierz kwadratową, w której elementy stojące na głównej przekątnej są równe jeden, a pozostałe
elementy są zerami, nazywamy jednostkową i oznaczamy I. Jeśli wszystkie wyrazy danej macierzy są
równe zero, to macierz nazywamy zerową i oznaczamy 0. Jeśli natomiast w macierzy kwadratowej zerami
są elementy stojące pod główną przekątną, to macierz nazywamy górno-trójkątną.
Definicja 1.2. Niech A, B ∈ Mm×n , t ∈ R.
1. Sumą macierzy A i B nazywamy macierz C = A + B = (aij + bij )m×n .
2. Iloczynem macierzy A przez liczbę t nazywamy macierz C = t · A = (t · aij )m×n .
Twierdzenie 1.3 (własności dodawania macierzy). Dodawanie macierzy jest przemienne: A+B = B +A,
łączne: A + (B + C) = (A + B) + C, posiada element neutralny 0: A + 0 = 0 + A = A. Ponadto zachodzi
rozdzielność mnożenia przez stałą względem dodawania: t(A + B) = tA + tB oraz (t + s)A = tA + sA.
Definicja 1.4 (Iloczyn macierzy). Niech A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×k . Iloczynem macierzy A i B nazywamy
macierz C = A · B ∈ Mm×k , taką, że cij =
n
X
aip · bpj , dla i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , k.
p=1
Twierdzenie 1.5 (własności mnożenia macierzy). Mnożenie macierzy jest łączne: A(BC) = (AB)C,
A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×k , C ∈ Mk×p , rozdzielne względem dodawania: A(B + C) = AB + AC, A ∈
Mm×n , B, C ∈ Mn×k , (A + B)C = AC + BC, A, B ∈ Mm×n , C ∈ Mn×k , ma element naturalny I:
A × I = I × A = A, a ponadto: t(AB) = (tA)B = A(tB), A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×k , t ∈ R.
Definicja 1.6. Macierzą transponowaną do macierzy A ∈ Mm×n nazywamy macierz B ∈ Mn×m taką, że
bij = aji , i = 1, 2, . . . n, j = 1, 2, . . . m. Macierz transponowaną oznaczamy przez AT .
Twierdzenie 1.7 (własności transpozycji macierzy).
(A + B)T = AT + B T ,
AT
T
= A,
(AC)T = C T · AT ,
A, B ∈ Mm×n , C ∈ Mn×k .
Definicja 1.8. Macierz kwadratową nazywamy symetryczną, gdy A = AT .
2
IMiF, UTP
1.2
Wyznaczniki
Definicja 1.9. Każdej macierzy kwadratowej możemy przyporządkować liczbę rzeczywistą zwaną wyznacznikiem macierzy. Oznaczamy ją przez |A| lub det A.
• Jeśli macierz jest stopnia n = 1, to jej wyznacznik det A = a11 .
• Jeśli macierz jest stopnia n ­ 2, to
det A =
n
X
(−1)i+j aij det Aij ,
i=1
gdzie j jest dowolną liczbą naturalną z zakresu 1 ¬ j ¬ n, a przez Aij oznaczamy macierz stopnia
n − 1, powstałą z macierzy A poprzez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Definicja 1.10. Macierz kwadratową, której wyznacznik jest równy zero nazywamy macierzą osobliwą,
natomiast macierz kwadratową, której wyznacznik jest różny od zera nazywamy macierzą nieosobliwą.
Definicja 1.11. Dopełnieniem algebraicznym elementu aij macierzy A nazywamy liczbę
dij = (−1)i+j det Aij . Macierz D = (dij ) nazywamy macierzą dopełnień macierzy A i oznaczamy Ad .
Twierdzenie 1.12 (Rozwinięcie Laplace’a). Jeżeli A = (aij ) jest macierzą kwadratową stopnia n ­ 2, to
dla dowolnego i ¬ n zachodzą równości
det A =
n
X
(−1)i+k aik det Aik
(rozwinięcie wyznacznika względem i-tego wiersza)
k=1
oraz
det A =
n
X
(−1)i+k aki det Aki
(rozwinięcie wyznacznika względem i-tej kolumny).
k=1
Twierdzenie 1.13 (Własności wyznacznika).
1. det AT = det A
2. jeżeli wi ↔ wj to det à = − det A
3. jeżeli w̃i = cwi to det à = c det A
4. jeżeli w̃i = wi + cwj to det à = det A
5. Wyznacznik macierzy, której wiersz jest kombinacją liniową innych wierszy tej macierzy (np. wiersz
składa się tylko z zer lub jest wielokrotnością innego wiersza) ma wartość zero. To samo dotyczy
kolumn.
Twierdzenie 1.14 (Cauchy’ego). Wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników:
det(A · B) = det A · det B.
Wyznacznik macierzy można też obliczyć stosując metodę eliminacji Gaussa. Wyznacznik macierzy
trójkątnej jest równy iloczynowi wyrazów na jej przekątnej, jest więc łatwy do obliczenia. Każdą macierz
można sprowadzić do macierzy trójkątnej za pomocą operacji elementarnych, pamiętając jaki wpływ mają
te operacje na wyznacznik.