Metod numeryczne I Lista 6 pomocniczych zadań do wykładu
Transkrypt
Metod numeryczne I Lista 6 pomocniczych zadań do wykładu
Metod numeryczne I Lista 6 pomocniczych zadań do wykładu - 26 listopada 2001 r. 1. Niech x ∈ Rn . Udowodnić, że ||x||∞ ¬ ||x||2 ¬ √ n||x||∞ . 2. Niech A ∈ Rn×n i niech istnieje macierz ortogonalna Q taka, że QT AQ = diag(λj ), gdzie λj są wartościami własnymi macierzy A. Zauważyc, że kolumny macierzy Q są odpowiadającymi im wektorami własnymi macierzy A i QT Q = I. Udowodnić, że wówczas ||A||F = ||diag(λj )||F , gdzie || · ||F jest normą Frobeniusa. Skorzystać z tej własności do udo√ wodnienia, że ||A||F ¬ n||A||2 , gdzie || · ||2 jest normą spektralną. Wskazówka. Co norma spektralna ma wspólnego z wartościami własnymi macierzy A, spełniającej powyższe założenie? Czy dla każdej macierzy A istnieje macierz ortogonalna Q spełniająca powyższe założenie? Podać przykłady ilustrujące odpowiedź. 3. Wskaźnikiem uwarunkowania zadania rozwiązania układu równań liniowych Ax = b o nieosobliwej macierzy układu jest wyrażenie cond(A) = ||A|| ||A−1 ||. Obliczyć wskaźniki uwarunkowania, korzystając z norm || · ||1 , || · ||2 i || · ||∞ , dla następujących macierzy " a+1 a a a−1 " # , " 0 1 −2 0 # , " a 1 1 1 # . # 1 2 4. Niech A = . Porównać rozwiązanie x układu Ax = b 1 2.01 z rozwiązaniem x + ∆x układu A(x + ∆x) = b + ∆b, gdzie b = [4, 4]T , ∆b = [−1, 1]T . " # 10−1 1 5. Niech A = , b = [1, 3]T . Rozwiązać układ Ax = b me1 2 todą eliminacji Gaussa (bez wyboru elementu głównego). Obliczenia wykonać w arytmetyce zmiennopozycyjnej dziesiętnej 9-cyfrowej. Obliczyć czynnik wzrostu i wskaźnik uwarunkowania zadania rozwiązywania układu równań liniowych. Niech (k) ρ= maxi,j,k |aij | , maxij |aij | (k) gdzie Ak = [aij ] są macierzami otrzymywanymi w kolejnych krokach eliminacji, k = 1, 2, . . . , n, A1 = A. Parametr ρ nazywamy czynnikiem wzrostu (growth factor). Krystyna Ziętak