współczynniki transmisji i odbicia przy przejściu cząstki przez

współczynniki transmisji i odbicia przy przejściu cząstki przez

współczynniki transmisji i odbicia przy przejściu cząstki przez barierę
potencjału
In[1]:=
(* rozwiązania równania Schrodingera w obszarach stałego potencjału *)
ψ1[x_] = A *ExpI *k *x+B *Exp-I *k *x;
ψ2[x_] = c *ExpI *h *x+d *Exp-I *h *x;
ψ3[x_] = F *ExpI *k *x;
In[4]:=
(* warunki ciągłości funkcji falowej *)
In[5]:=
eq1 = ψ1[-a] ⩵ ψ2[-a]
Out[5]=
In[6]:=
Out[6]=
In[7]:=
A ⅇ-ⅈ a k +B ⅇⅈ a k ⩵ c ⅇ-ⅈ a h +d ⅇⅈ a h
eq2 = ψ1 '[-a] ⩵ ψ2 '[-a]
ⅈ A ⅇ-ⅈ a k k -ⅈ B ⅇⅈ a k k ⩵ ⅈ c ⅇ-ⅈ a h h -ⅈ d ⅇⅈ a h h
eq3 = ψ2[a] ⩵ ψ3[a]
Out[7]=
d ⅇ-ⅈ a h +c ⅇⅈ a h ⩵ ⅇⅈ a k F
In[8]:=
eq4 = ψ2 '[a] ⩵ ψ3 '[a]
Out[8]=
In[9]:=
In[10]:=
Out[10]=
-ⅈ d ⅇ-ⅈ a h h +ⅈ c ⅇⅈ a h h ⩵ ⅈ ⅇⅈ a k F k
(* rozwiązanie układu równań *)
sol = Solve{eq1, eq2, eq3, eq4}, B, c, d, F // FullSimplify // First
B →
A ⅇ-2 ⅈ a k -1 +ⅇ4 ⅈ a h  (-h +k) (h +k)
d→-
ⅇ4 ⅈ a h (h -k)2 -(h +k)2
2 A ⅇⅈ a (3 h-k) (h -k) k
ⅇ4 ⅈ a h (h -k)2 -(h +k)2
,F→-
,c→-
ⅇ4 ⅈ a h (h -k)2 -(h +k)2
(* amplitudowe
In[12]:=
t = F /A /. sol // ExpToTrig// FullSimplify
In[13]:=
ⅇ4 ⅈ a h (h -k)2 -(h +k)2
4 A ⅇ2 ⅈ a (h-k) h k
In[11]:=
Out[12]=
2 A ⅇⅈ a (h-k) k (h +k)

współczynniki transmisji i odbicia *)
2 ⅈ ⅇ-2 ⅈ a k h k
2 ⅈ h k Cos[2 a h]+h2 +k2  Sin[2 a h]
r = B /A /. sol // ExpToTrig// FullSimplify
ⅇ-2 ⅈ a k (-h +k) (h +k)
Out[13]=
h2 +k2 +2 ⅈ h k Cot[2 a h]
In[14]:=
(* natężeniowe współczynniki transmisji i odbicia *)
In[15]:=
T = Abs[t]^ 2 // ComplexExpand
Out[15]=
4 h 2 k2
4 h2 k2 Cos[2 a h]2 +h2 +k2 2 Sin[2 a h]2
,
2
bart.nb
In[16]:=
R = Abs[r]^ 2 // ComplexExpand // Simplify
2 h2 -k2 2 Sin[2 a h]2
Out[16]=
h4 +6 h2 k2 +k4 -h2 -k2 2 Cos[4 a h]
In[17]:=
(* suma
In[18]:=
R +T // Simplify
Out[18]=
prawdopodobieństw = 1 *)
1
In[19]:=
(* współczynnik transmisji jako funkcja energii cząstki i wysokości bariery *)
In[20]:=
Trans[Ene_, V0_] = T /. a → 1, k → Sqrt[Ene], h → Sqrt[Ene -V0] // Simplify
8 Ene (Ene -V0)
Out[20]=
8 Ene2 -8 Ene V0 +V02 -V02 Cos4
Ene -V0 
In[21]:=
(* wartość współczynnika transmisji dla energii cząstki równej wysokości bariery *)
In[22]:=
Limit [Trans[Ene, V0], Ene → V0]
Out[22]=
1
1 +V0
In[30]:=
V0 = 10;
In[24]:=
(* wykres współczynnika transmisji ,
obszar dla E<V0 odnosi się do efektu tunelowego.
Zaznaczono wartości energii E=V0+n^2*π^2/4,
dla których T(E)=1 bariera jest przeźroczysta *)
In[31]:=
PlotTrans[Ene, V0], {Ene, 0, 3.5 *V0}, Filling→ Axis,
GridLines→ {{V0, V0 +π^ 2 /4, V0 +π^ 2, V0 +π^ 2 *9 /4}, {0, 1 /(1 +V0), 1}},
AxesLabel → {"E", "T(E)"}, Ticks→ {{{V0, "V0 "}}, {{1 /(1 +V0), "T(V0 )"}, {1, "1"}}}
T(E)
1
Out[31]=
T(V0 )
V0
E
In[26]:=
(* charakter funkcji T(E) zależy od wysokości bariery V0 *)
In[27]:=
Clear[V0];
bart.nb
In[28]:=
Out[28]=
Plot3DTrans[Ene, V0], {Ene, 0, 30}, {V0, 0, 10}, Mesh → False,
PlotPoints→ 50, Boxed → False, AxesLabel → {"E", "V 0 ", "T(E)"}
3