a10 hotelu

Matematyka dyskretna
© Andrzej Łachwa, UJ, 2012
[email protected]
8/14
Zbiory przeliczalne
Przyjmujemy, że
= {0, 1, 2, 3, … n-1} dla n>0 oraz
=∅ przy n=0.
Zbiór skończony to zbiór bijektywny z pewnym zbiorem postaci
.
Zbiór nieskończony to zbiór, który nie jest skończony.
Rozważając skończony zbiór n-elementowy X często używamy notacji
ukrywającej w sobie bijekcję postaci
.
Liczba elementów skończonego zbioru X to jedyna liczba naturalna n
taka, że istnieje bijekcja z
w X. Liczbę te oznaczamy przez |X|.
Oczywiście
.
Lemat: Zbiór X jest nieskończony wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje
injekcja z w X. Na przykład zbiór liczb rzeczywistych jest nieskończony.
Zbiór przeliczalny to zbiór skończony lub bijektywny z .
Wnioski:
Zbiór pusty jest przeliczalny, bo jest skończony,
Zbiór liczb parzystych jest przeliczalny, bo
jest bijekcją
Zbiór liczb całkowitych jest przeliczalny, bo
jest bijekcją z
Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny, bo …
w .
Paradoks Hilberta (paradoks Grand Hotelu, paradoksu hotelu Hilberta)
Wyobraźmy sobie, że jesteśmy portierem w Grand Hotelu, w którym jest
nieskończona liczba pokoi. Wszystkie pokoje są już zajęte, gdy przychodzi
do nas kolejny klient chcący wynająć pokój … Na szczęście nasz hotel ma
nieskończoną liczbę pokoi więc możemy wykonać sprytny trik: klienta z
pokoju numer 1 przekwaterujemy do pokoju nr 2, tego z pokoju nr 2 do
pokoju nr 3 itd… W ten sposób wszyscy nasi wcześniejsi klienci mają gdzie
mieszkać, a my mamy wolny pokój nr 1, do którego możemy zakwaterować naszego nowego gościa. Tak więc mimo że hotel był pełen, znalazło
się miejsce dla nowego klienta...
Zasady zliczania
ZASADA DODAWANIA
Dla skończonych i rozłącznych zbiorów A i B mamy
Dla zbiorów
skończonych i parami rozłącznych mamy
ZASADA WŁĄCZANIA I WYŁĄCZANIA
Dla zbiorów skończonych
(*) W szczególności,
skończone.
zachodzi
, o ile tylko A, B są
Dowód (*): Ponieważ trzy zbiory
i sumują się do
dodawania mamy:
i stąd
i
są parami rozłączne
, to na mocy zasady
ZASADA MNOŻENIA
Jeżeli mamy wybrać dwa różne obiekty: pierwszy spośród m obiektów,
a drugi spośród n obiektów, to liczba możliwych wyborów jest równa mn.
Zasada ta mówi, że dla skończonych zbiorów X, Y mamy |X×Y|=|X|⋅|Y|.
Przypomnijmy, że iloczyn kartezjański zbiorów X, Y to zbiór
A zatem liczba par (x, y) …
Postać ogólniejsza:
Jeżeli A1, A2, … An są zbiorami skończonymi to | A1 × A2 × … × An | =
|A1|⋅|A2|⋅…⋅|An|.
[Dowód przez indukcję]
Przykład
Rozważ turniej rycerski między bractwem czerwonych a bractwem
niebieskich. Bractwo czerwonych ma 12 rycerzy, bractwo niebieskich 15.
Ile różnych indywidualnych pojedynków może być stoczonych, jeśli
rycerze z tego samego bractwa nigdy ze sobą nie walczą?
Niech C i N będą zbiorami rycerzy, odpowiednio z bractwa czerwonych i
z bractwa niebieskich, każdy pojedynek może być interpretowany jako
uporządkowana para
, gdzie
,
. Zatem liczba pojedynków
to liczność zbioru C×N, więc
|C×N|=|C|⋅|N|= 12⋅15 = 180.
ZLICZANIE PODZBIORÓW
Dla dowolnego, skończonego zbioru X zachodzi
Współczynnik dwumianowy
zbioru n-elementowego, tzn.
Wyrażenie
to liczba k-elementowych podzbiorów
.
czytamy „n po k”.
ZLICZANIE FUNKCJI
Liczba funkcji
Zbiór funkcji postaci
oznaczamy przez
.
Dla skończonych zbiorów X, Y mamy:
Dowód: zbiór funkcji z X w Y jest równoliczny z
otrzymujemy
|Y×Y× … ×Y| = |Y|⋅|Y|⋅ … ⋅|Y| = nm = |Y||X|
m
m
, a z Zasady Mnożenia
Liczba injekcji
Liczba injekcji ze zbioru skończonego X (k-elementowego) w zbiór
skończony Y (n-elementowy) wynosi:
|Y|! / (|Y| - |X|)! = n! / (n-k)! = n(n-1)…(n-k+1) = nk
(dolna potęga krocząca)
Liczba bijekcji
Liczba bijekcji pomiędzy skończonymi zbiorami X i Y, gdzie
wynosi nn = n!.
=n
Przykłady
1. Trzech kolegów: Bartek, Paweł i Piotrek spotkali się w pubie tuż po
zdanym egzaminie z matematyki dyskretnej. Okazało się, że jest pięć marek piwa do wyboru. Na ile sposobów mogą oni wypić pierwszą kolejkę?
Każdy wybór marki piwa przez wszystkie 3 osoby możemy interpretować
jako funkcję ze zbioru
w pięcioelementowy zbiór
marek piwa. A więc istnieje
sposobów spożycia pierwszej
kolejki. I tyleż sposobów dla każdej następnej.
2. Kod PIN jest kodem autoryzującym właściciela karty bankomatowej.
Składa się on z cyfr dziesiętnych. Ile jest różnych kodów PIN?
Każdy kod PIN to funkcja z czteroelementowego zbioru pozycji
w dziesięcioelementowy zbiór cyfr
. Kodów PIN jest dokładnie
3. Ile jest PIN-ów, czyli 4-elementowych słów złożonych z cyfr dziesiętnych
takich, że żadna cyfra się nie powtarza?
Każdy PIN z niepowtarzającymi się cyframi to injekcja z 4-elementowego
zbioru pozycji
w -elementowy zbiór cyfr
. Zatem jest
ich dokładnie
.
4. Na kurs tańca uczęszcza pięciu chłopaków i pięć dziewcząt. Większość
kroków tanecznych ćwiczy się parami. Dla urozmaicenia pary często się
zmieniają. Na ile sposobów może być wykonany jeden taniec?
Niech będzie zbiorem chłopaków, a zbiorem dziewcząt.
Matematycznym modelem doboru par do tańca jest bijekcja
Zatem możliwych wyborów jest tyle samo co bijekcji pomiędzy
5-elementowymi zbiorami, czyli
.
.
1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD)
Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
istnieje szuflada z przynajmniej dwoma obiektami.
2 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (2ZSD)
Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to co
najmniej jedna szuflada ma n/m lub więcej elementów oraz co
najmniej jedna szuflada ma n/m lub mniej elementów.
Ta postać zasady mówi, że w zbiorze danych wszystkie wartości nie mogą
leżeć równocześnie powyżej średniej ani równocześnie poniżej średniej.
Wniosek z 2ZSD
Jeżeli dana jest funkcja f: X → Y, gdzie |X|=n, |Y|=m, to istnieją y1, y2
takie, że |f-1(y1)|≥ n/m oraz |f-1(y2)|≤ n/m.
Dowód 2ZSD
Zakładam, że każdy z podzbiorów ma mniej niż n/m elementów, czyli co
najwyżej n/m –1 elementów. Wtedy cały zbiór ma ich co najwyżej
m⋅( n/m –1), czyli n ≤ m⋅( n/m –1), czyli n/m +1 ≤ n/m . Ale to jest
sprzeczne z oczywistą własnością, że x + 1 > x. Proszę ją udowodnić.
Dowód drugiej części przebiega analogicznie. Proszę go wykonać.
Dowód 1ZSD
Przy n > m > 0 wartość n/m jest ≥ 2.
3 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (3ZSD)
Jeśli n obiektów rozmieszczonych jest w m szufladach i n>mr, dla
pewnego naturalnego r, to istnieje szufladka z co najmniej r+1 obiektami.
Wniosek z 3ZSD
Jeżeli dana jest funkcja f: X → Y, gdzie |X|=n, |Y|=m, oraz n>mr, dla
pewnego naturalnego r, to co najmniej jeden ze zbiorów f--1(y) ma więcej
niż r elementów.
Dowód 3ZSD
Z 2ZSD co najmniej jedna szuflada ma n/m lub więcej elementów oraz
n>mr, dla pewnego naturalnego r. Zatem n/m > r. Czyli szuflada ta ma
co najmniej r+1 elementów.
4 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (UZSD)
Niech X1, X2, … Xm będą podzbiorami n-elementowego zbioru X. Każdy
element z X należy do co najmniej t spośród zbiorów Xi. Wtedy średnia
arytmetyczna liczb elementów zbiorów Xi wynosi co najmniej tn/m.
Dowód 4ZSD
Niech P = {(x, i): x∈Xi}. Zbiór P można rozpisać na dwa sposoby: jako suma
zbiorów po i=1…m i jako suma zbiorów po x∈X.
P = {(x, 1): x∈X1}∪{(x, 2): x∈X2}∪…∪{(x, m): x∈Xm} i wtedy |P|= Σ|Xi|.
i=1…m
P = Σ{(x, i): x∈Xi} i wtedy |P| ≥ tn.
x∈X
Zatem średnia arytmetyczna (1/m)⋅Σ|Xi| ≥ tn/m.
i=1…m
Przykład
Wśród mieszkańców Krakowa co najmniej dwie osoby mają tę samą liczbę
włosów na głowie.
Dowód: Rzeczywiście, liczba włosów na głowie człowieka nie przekracza
, natomiast liczba mieszkańców Krakowa przekracza
. Weźmy
szufladek ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi od do
i wkładajmy do szufladki o danym numerze osoby, które mają taką
liczbę włosów na głowie, jak numer szufladki. Ponieważ osób jest
,a
, z Zasady Szufladkowej wynika, że w jednej szufladce
szufladek
muszą znaleźć się co najmniej dwie osoby.
Przykład
W grupie osób muszą być co najmniej dwie, które urodziły się w tym
samym miesiącu.
Dowód: Weźmy szufladek z nazwami miesięcy i wkładajmy do nich
osoby, które urodziły się w danym miesiącu. Ponieważ osób jest , a
szufladek , w jednej z nich muszą być co najmniej dwie osoby.
Przykład
Pewna grupa osób wita się podając sobie ręce. Nikt nie wita się z samym
sobą i żadna para osób nie wita się podwójnie (czyli można przywitać co
najwyżej n-1 osób). Czy muszą być dwie osoby, które witały taką samą
liczbę osób?
Dowód: Gdy jest n osób, to każda z nich przywita 0 lub 1 lub 2 lub ... n-1
osób.
Utwórzmy więc n szuflad z etykietami
i umieśćmy
osobę w szufladzie o etykiecie k, jeśli witała się z dokładnie k osobami.
Skoro jest n osób i n szuflad, to ... niewiele z tego wynika. Ale... niewiele
wynika tylko jeśli wszystkie szuflady będą zajęte, a tak jest w przypadku,
gdy również dwa konkretne pudełka o etykietach 0 i n-1 są zajęte. Tyle, że
nie jest to możliwe - nie może być osoby, która przywitała wszystkie
pozostałe i równocześnie takiej osoby, która nie przywitała nikogo.
A zatem n osób zajęło co najwyżej n-1 szuflad, więc w jednej z nich są co
najmniej dwie osoby - takie, które przywitały tę samą liczbę osób.
Przykład
Wybierzmy dowolnie różnych liczb naturalnych
spośród
. Pokażemy, że w zbiorze
wybrać dwa rozłączne podzbiory, dające tę samą sumę.
można
Dowód: Szuflady poetykietujmy liczbami reprezentującymi możliwe sumy
liczb w co najwyżej 10-cio elementowych podzbiorach zbioru {1, 2, …100}.
Ponieważ największa możliwa taka suma to 91+92+…+100=955, to mamy
955 szuflad z etykietami:
. Z drugiej strony -cio
elementowy zbiór
ma
podzbiory, więc muszą
być dwa różne podzbiory zbioru
o tej samej sumie,
a te dwa podzbiory nie muszą być rozłączne, ale jeśli z obu z nich
usuniemy wspólne liczby, to pozostałe dalej będą dawać takie same sumy,
a powstałe zbiory będą już rozłączne.
Przykład
Jeżeli na 3 półkach znajduje się 11 książek, to na jednej z nich musi być nie
więcej niż 3 książki a na innej nie mniej niż 4 książki.
Przykład
Niech A będzie 9-cio elementowym podzbiorem {1, 2, … 30}. Należy
pokazać, że w zbiorze A istnieją dwa różne podzbiory 4-elementowe o tej
samej sumie elementów.
Po pierwsze, w zbiorze A mamy
9
  =126
 4
różnych podzbiorów 4-elemento-
wych. Po drugie, najmniejsza suma wynosi 1+2+3+4=10. Po trzecie,
największa 27+28+29+30=114. Możliwych jest więc 114–10=105 różnych
sum. Ponumerujmy szuflady tymi sumami. Na mocy 2ZSD co najmniej
jedna szuflada musi mieć co najmniej  126  elementów, czyli co najmniej
105
2 elementy.
Przykład
W kwadracie o boku 2 umieścimy 5 punktów. Co najmniej dwa z nich są
oddalone o nie więcej niż 2 .
Dzielimy nasz kwadrat na cztery kwadraty o bokach 1 i przekątnych 2 .
Zgodnie z 1ZSD jeden z tych kwadratów musi zawierać dwa punkty, więc
ich odległość nie jest większa od przekątnej kwadratu.
Przykład
Z grupy 21 posłów każdy uczestniczy w co najmniej dwóch komisjach
śledczych. Powołano 7 komisji. Z 4ZSD średnia liczebność komisji wynosi
co najmniej 2⋅21/7 = 6.
Przykład
Jeśli 83 jabłka umieszczono w 9 skrzynkach, to jedna ze skrzynek zawiera
co najmniej 10 jabłek, bo 83/9 = 10.
Istnieje również skrzynka, która zawiera co najwyżej 83/9 = 9 jabłek.
Jeśli dwie skrzynki są puste to któraś ze skrzynek ma co najmniej 12
jabłek.
Z 2ZSD jabłka są rozmieszczone w 7 skrzynkach, więc istnieje skrzynka,
która ma co najmniej 83/7 =12 jabłek.
Przykład
Ile co najwyżej razy można rzucić parą kostek bez otrzymywania
dwukrotnie tej samej sumy oczek?
Szuflada oznacza wszystkie wyniki dające tę samą sumę oczek. Takich
szuflad będzie od 2 do 12, czyli 11. Tylko ciąg po jednym elemencie z
każdej szuflady daje zadany wynik. Dwunasty rzut trafi do jednej z szuflad,
które już wystąpiły w ciągu.
Przykład
Wykazać, że jeśli 10 liczb naturalnych daje w sumie 101, to są wśród nich
3 liczby, których suma wynosi co najmniej 31.
I sposób
Ponumerujmy te liczby jako a1, a2, … a10. Następnie wypiszmy 3 rzędy:
a1, a2, … a8, a9, a10
a2, a3, … a9, a10, a1
a3, a4, … a10, a1, a2
Suma tych 30 liczb wynosi 303. Jedna z 10 kolumn musi mieć sumę równą
co najmniej 303/100 (czyli 31).
II sposób
Podzielmy 10 liczb na 5 par. Jedna z tych par musi mieć sumę co najmniej 21. Oznaczmy ją przez s.
1
7
Z pozostałych 8 liczb jedna musi być równa co najmniej 1/8 ich sumy. Wtedy s+ (101-s) = s +
8
8
101 7
101
≥ 21 +
= 31
8
8
8
Generowanie podzbiorów
Weźmy n-elementowy zbiór X={x1, x2 … xn}. Każdemu podzbiorowi Y⊂X
przyporządkujemy ciąg binarny b0b1 … bn-1 określony następująco:
0 : xi +1 ∉ Y
bi = 
1 : xi +1 ∈ Y
Otrzymujemy wtedy wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy
elementami P(X) a ciągami binarnymi długości n, czyli liczbami binarnymi
z przedziału [0, 2n–1] postaci
∑ bi2i
oznaczanymi dalej przez [bn-1 … b0].
i = 0 … n-1
Ciąg binarny stanowi wygodną reprezentację maszynową podzbioru X,
a kolejne liczby binarne określą wszystkie podzbiory zbioru X.
W wielu sytuacjach zależy nam, by kolejny generowany podzbiór niewielu
różnił się od poprzedniego. W tym celu zamiast kolejnych liczb binarnych
generuje się kolejne liczby tzw. kodu Greya.
Kod ten powstaje w wyniku zastosowania następującej obserwacji:
Jeżeli ciąg C1, C2, … Cm zawiera wszystkie 2k ciągi binarne długości k, przy
czym Ci różni się od Ci+1 na dokładnie jednej pozycji (i=1, 2 … m-1), to ciąg
postaci C10, C20, … Cm0, Cm1, Cm-11, … C11 zawiera wszystkie ciągi binarne
długości k+1 oraz każde dwa sąsiednie ciągi binarne różnią się na
dokładnie jednej pozycji.
Przykład dla k=4
0000, 1000, 1100, 0100, 0110, 1110, 1010, 0010,
1100, 1011, 1111, 0111, 0101, 1101, 1001, 0001.
ZBIÓR Z POWTÓRZENIAMI
A=B wtw gdy mają te same elementy w tych samych krotnościach.
A⊂B wtw jeśli każdy element z A występuje w B (krotność każdego
elementu w A jest nie większa od krotności tego elementu w B).
Niech X zawiera elementy x1, x2, … xn, odpowiednio o krotnościach
k1, k2, … kn. Licznością zbioru X nazwiemy sumę krotności, czyli
|X| = k1+ k2+ … + kn.
Każdemu podzbiorowi A⊂X odpowiada jednoznacznie ciąg (m1, … mn),
gdzie 0≤ m1≤ k1, … 0≤ mn≤ kn.
Wniosek: wszystkich podzbiorów torby X jest (k1+1)(k2+1) … (kn+1).
Generowanie podzbiorów można przeprowadzić w sposób podobny do
tego opartego na kodzie Greya.