Cecha iloczynu i iloczyn cech

Michał Kremzer
tekst zawiera 4 strony na moim komputerze
Cecha iloczynu i iloczyn cech
W kwestii formalnej
>= oznacza większy lub równy ,
=< oznacza mniejszy lub równy .
Częścią całkowitą liczby rzeczywistej x nazywamy
największą liczbę całkowitą nie większą od x
i oznaczamy [x] .
Przykłady :
[3] = 3 , [3,5] = 3 , [ -0,5] = -1.
Częścią ułamkową liczby rzeczywistej x nazywamy liczbę
{x} = x – [x] .
{x} jest liczbą z przedziału <0 , 1)
Znana jest nierówność :
[x + y ] >= [x] + [y] dla dowolnych rzeczywistych x , y .
Dowód :
[x + y] = [ [x] + {x} + [y] + {y} ] >= [ [x] + [y] ] = [x] + [y]
A jaka jest zależność między cechą iloczynu a iloczynem
cech ?
1)
Dla dowolnej liczby całkowitej k i dowolnej liczby
rzeczywistej x zachodzi równość :
[k + x ] = k + [x] .
Dowód :
[k + x ] = [ k + [x] + {x}] = k + [x] .
2) Udowodnimy , że
[xy] >= [x][y]
dla x >0 oraz y>0
(*)
Dowód :
[xy] = [([x] + {x})([y] + {y})] =
= [[x][y] + [x]{y} + [y]{x} + {x}{y}]
= [x][y] + [[x]{y} + [y]{x} + {x}{y}] >= [x][y],
ponieważ część całkowita x jest nieujemna wtedy i tylko
wtedy gdy x jest liczbą nieujemną .
Zatem
[xy] >= [x][y] dla x >0 i y>0
A kiedy zajdzie równość ?
Wtedy , gdy [x]{y} + [y]{x} + {x}{y} jest liczbą z
przedziału <0 , 1) .
A tak będzie na pewno dla wszystkich liczb całkowitych
dodatnich x i y .
Ale będzie tak również dla liczb x = 10 , y = 0,02
i nieskończenie wielu par liczb dodatnich , z których
co najmniej jedna będzie niecałkowita .
3)Załóżmy teraz , że x < 0 i y < 0 .
Wówczas
[x]{y} =< -{y}
[y]{x} =< -{x}
Zatem
A = [x]{y} + [y]{x} + {x}{y} =< -{x} – {y} + {x}{y} =
= (1- {x})(1- {y}) – 1 =< 0
przy czym równość zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy x i y są
liczbami całkowitymi ujemnymi .
Zatem [A] = 0 tylko wtedy gdy x i y są całkowite i ujemne .
Ostatecznie
[xy] =< [x][y] dla x <0 i y <0 ,
przy czym równość zajdzie tylko wtedy gdy x i y są
liczbami całkowitymi ujemnymi .
4)A jak będzie
gdy x <0 i y > 0 ?
Niech x = -5 , y = 0,5 , wówczas [xy] < [x][y]
Niech x = - 0,5 , y = 5 , wówczas [xy] > [x][y]
Niech x = - 1,5 , y = 8/3 , wówczas [xy] = [x][y]
5)Zadanie dla Czytelnika
Podać przykład liczb niecałkowitych x i y takich , aby
[x]{y} + [y]{x} + {x}{y} = 5 .
Z poważaniem
Michał Kremzer