P O B I E R Z

Modele nieliniowe sprowadzalne do liniowych
Modele liniowe względem parametrów – przykłady, zastosowania
Modele hiperboliczne i wykładnicze
Związek kształtu modelu z celem analizy ekonometrycznej
NajwaŜniejsze typy modeli liniowych względem parametrów - c.d.
1. Model hiperboliczny
Y = β1 +
β2
+Z
X
1
Przypadek a) to np. krzywa długookresowych średnich kosztów stałych producenta
procentowy wzrost płac [%]
Przypadek b) to np. krzywa Philipsa
Naturalna stopa bezrobocia
stopa bezrobocia [%]
2
Przypadek c) często wykorzystywany jest w opisach popytu konsumpcyjnego
Są to tzw. krzywe Engla (Ernst Engel, 1821-1896 )
Związki między postacią modelu a interpretacją parametrów strukturalnych
2. Model log-log :
ln Y = β1 + β 2 ln( X ) + Z
Interpretacja: β2 to elastyczność Y względem X ; E X = Y '
3. Model log-lin:
Interpretacja: β2 =
X
dY X
=
Y
dX Y
ln Y = β1 + β 2 X + Z
względny przyrost Y
przyrost X
względny przyrost Y =β1 przyrost X
Wyjaśnić skąd to się wzięło i dlaczego warto zmienić postać modelu
?
3
Związki postaci modelu z estymacją wybranych wskaźników analizy marginalnej
Typ modelu
równanie
przyrost krańcowy
Model liniowy
Y = β1 + β 2 X + Z
β2
Model log-log
ln Y = β1 + β 2 ln X + Z
β2 
Model log-lin
ln Y = β1 + β 2 X + Z
Model lin-log
Y = β1 + β 2 ln X + Z
Model hiperboliczny Y = β1 +
Y 

X
β 2Y
1

X
β2 
β2
+Z
X
 1 
− β2 2 
X 
elastyczność
X

Y 
β2 
β2
β2 X
1
Y 
β2  
 1 
− β2

 XY 
Przykład Model wydatków konsumpcyjnych
Przeprowadzono badania dotyczące wydatków konsumpcyjnych w rodzinach
zamieszkujących pewien region przemysłowy. Przedstawione dane podają roczne
wydatki na pewne dobra (W) oraz roczne dochody w tych rodzinach per capita (DC)
DC
20800.
64400.
72800.
19600.
40200.
43300.
91700.
76100.
94800.
44700.
80500.
104300.
40600.
46400.
26800.
22000.
19800.
15500.
69300.
69300.
W
10218.
18362.
21042.
11077.
17556.
18082.
23125.
20849.
23360.
17260.
21367.
22592.
17049.
18608.
14108.
11572.
8938.
4269.
19139.
20741.
DC
23500.
45900.
76900.
54600.
56100.
83800.
35300.
76700.
52900.
42000.
55000.
44600.
70200.
71500.
88600.
100100.
64200.
58800.
57500.
87800.
W
11206.
17626.
21631.
19726.
19690.
19669.
16198.
20915.
20017.
18512.
18452.
17673.
20583.
22752.
22412.
22316.
19249.
18870.
20333.
20881.
4
Przykład Model wydatków konsumpcyjnych
Wybrane części procesu budowy modelu
Etap I: Propozycja postaci modelu - propozycja modelu liniowego
W = β1 + β 2DC + Z
Etap II: Estymacja parametrów
b1 = 9257 ,
b 2= 0.155
Etap III : Weryfikacja modelu - A - wskaźniki jakości modelu
1. Współczynnik determinacji: R2 =0.77
2. Wskaźnik wyrazistości:
V=11%
3. Standardowe błędy ocen parametrów: Sb1 = 844, Sb2 = 0.0135
Przykład Model wydatków konsumpcyjnych
Etap III : Weryfikacja modelu - etap C - test serii
- 7389.7, - 1216.95, - 3386.94, - 2261.88, - 1093.81, - 1692.22, 698.485, 1471.5, 2070.3, 1501.32,
2747.41, 2115.99, 1505.57, 1077.07, 1257.14, 2161.68, 2563.57, 2009.17, 673.197, 1740.76,
2166.85, 502.428, 44.7557, - 873.232, - 855.435, 746.565, 449.12, 2416.7, 505.278, - 199.022,
- 225.985, 459.027, - 362.755, - 2572.05, - 1979.81, - 572.763, - 340.075, - 585.387, - 2450.56, - 2825.31
------+++++++++++++++++--++++--+--------
Liczba plusów N+=22, liczba minusów N_=18. Liczba serii Ns= 7.
5
Przykład Model wydatków konsumpcyjnych
Etap III : Weryfikacja modelu - etap C - graficzna analiza reszt
W
25000
2000
20000
40000
60000
80000
100000
-2000
15000
-4000
10000
T
-6000
20000
40000
60000
80000
100000
DC
Diagram korelacyjny
Wykres: reszty vs. zmienna objaśniająca DC
Odrzucamy model
Przykład Model wydatków konsumpcyjnych
Wybrane części procesu budowy modelu - inna postać – wersja 2.
Etap I: Propozycja nowej postaci modelu
W = β1 + β 2
1
+Z
DC
6
Przykład Model wydatków konsumpcyjnych
Wybrane części procesu budowy modelu - inna postać – wersja 2.
Etap II: Estymacja parametrów
Dane:
DC
W
1/DC
1
20800. 10218.
64400. 18362.
...
1
X=
...
1
20800
1
64400
...
69300. 20741.
1
...
1
69300
10218.
18362.
Estymator MNK
b = (XTX)-1XTW
W=
...
20741.
Przykład Model wydatków konsumpcyjnych
Wybrane części procesu budowy modelu - inna postać – wersja 2.
Etap II: Estymacja parametrów
b1 = 25107 , b 2= -310 740 000
Etap III : Weryfikacja modelu - A - wskaźniki jakości modelu
1. Współczynnik determinacji: R2 =0.96
2. Wskaźnik wyrazistości:
V=5%
3. Standardowe błędy ocen parametrów:
Sb1 = 277,
Sb2 = 10 696 000
7
Przykład Model wydatków konsumpcyjnych
Wybrane części procesu budowy modelu - inna postać – wersja 2.
Etap III : Weryfikacja modelu - C - test serii
463.605, 312.61, 1530.16, 1405.97, 811.539, - 687.505, - 1730.57, 119.44,
564.148, - 141.315, - 175.373, 202.723, 1990.33, - 98.1882, - 1484.7, 117.299,
- 1920.53, - 1018.5, - 952.989, 629.491, 121.355, - 1005.86, 309.526, 783.42,
197.301, - 711.747, - 896.003, - 467.416, 150.763, 802.891, - 404.986, 178.171,
- 106.846, 595.1, - 678.695, 588.872, 49.7509, - 475.732, 1823.41, - 790.924
+++++--++--++--+---++-+++---++-+-+-++-+-
Liczba plusów N+=22, liczba minusów N_=18. Liczba serii Ns= 22.
Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o liniowości modelu.
Przykład Model wydatków konsumpcyjnych
Wybrane części procesu budowy modelu - inna postać – wersja 2.
Etap III : Weryfikacja modelu - C - graficzna analiza reszt
2000
20000
1000
15000
20000
40000
60000
80000
100000
10000
-1000
20000
40000
60000
80000
100000
-2000
Diagram korelacyjny
Wykres: reszty vs. zmienna objaśniająca DC
8
30000
25000
20000
15000
10000
5000
25000
50000
75000
Otrzymaliśmy krzywą Engla
100000 125000 150000 175000 200000
W = 25107 −
310740000
DC
Przykład Model wydatków konsumpcyjnych
Wybrane części procesu budowy modelu - inna postać – wersja 3.
Proponowana postać
ln W = β1 + β 2 ln DC + Z
Postać ta umoŜliwi nam precyzyjniejsze (?) oszacowanie elastyczności dochodowej
popytu na to dobro
Otrzymujemy oszacowany model (juŜ trochę na skróty)
ln W = 3.55 + 0.57 ln DC
Oznacza to, Ŝe elastyczność dochodowa popytu na to dobro wynosi 0.57
Jak nazywamy takie dobra?
Kwestie do rozwaŜenia
czy model jest poprawny, czy moŜna go było wykorzystać w opisanym celu?
czy elastyczność dochodowa jest dla tego dobra stała?
9
Przykład Model popytu
PoniŜsze dane* przedstawiają obserwacje wielkości spoŜycia kawy w USA w latach
1970-1980
CP
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
2.57
2.5
2.35
2.3
2.25
2.2
2.11
1.94
1.97
2.06
2.02
DP
0.77
0.74
0.72
0.73
0.76
0.75
1.08
1.81
1.39
1.2
1.17
gdzie CP to wielkość spoŜycia mierzona w filiŜankach na dzień per capita , zaś DP to
cena kawy w dolarach za funt ( w dolarach z roku 1969)
*Dane z Summary of National Coffee Drinking Study, Data Group, Inc., Elkins Park, Penn., !981
Przykład Model popytu
Proponowana postać modelu
CP = β1 + β 2 DP + Z
Oszacowania i podstawowe wskaźniki modelu:
CP = 2.69 − 0.48DP
(0.12) (0.11)
Współczynnik determinacji r2=0.66
W teście serii otrzymujemy ciąg
+ + + - - - - + - - -
co nie przeczy hipotezie o liniowości modelu.
10
Przykład Model popytu, wersja 2
Proponowana teraz postać modelu to
ln CP = β1 + β 2 ln DP + Z
Oszacowania i podstawowe wskaźniki modelu:
ln CP = 0.77 − 0.25 ln DP
(0.015) (0.05)
Współczynnik determinacji r2=0.74
+ + - - W teście serii otrzymujemy ciąg
co nie przeczy hipotezie o liniowości modelu.
Który model wybrać? Dyskusja
- - + - - -
?
Tak czy owak, jeszcze do tego wrócimy na kolejnym wykładzie, na razie tylko jedno:
Przykład Model popytu, wersja 2
Postać
ln CP = 0.77 − 0.25 ln DP
(0.015) (0.05)
modelu popytu na kawę umoŜliwia nam lepszą ocenę elastyczności dochodowej popytu.
Po co nam ona?
Przypomnijmy, Ŝe ułatwia ona pewne decyzje producenckie, np. ocenę opłacalności
zmiany cen.
11
Przykład Modele hiperboliczne cd.
procentowy wzrost płac [%]
Krzywa Philipsa
Naturalna stopa bezrobocia
stopa bezrobocia [%]
Przykład. ZaleŜność wzrostu płac od stopy bezrobocia. Dane brytyjskie
PoniŜsze dane przedstawiają procentowy wzrost płac (increase of wages) i wielkość
stopy bezrobocia (unemployment rate) w UK w latach 1950-1966
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
IW
UR
1.8
8.5
8.4
4.5
4.3
6.9
8.
5.
3.6
2.6
2.6
4.2
3.6
3.7
4.8
4.3
4.6
1.4
1.1
1.5
1.5
1.2
1
1.1
1.3
1.8
1.9
1.5
1.4
1.8
2.1
1.5
1.3
1.4
12
Zgodnie z teorią Philipsa budujemy model hiperboliczny:
IW = β1 +
β2
+Z
UR
W wyniku estymacji otrzymujemy model
IW = −1.428 + 8.724
(2.07)
(2.85)
1
UR
Otrzymana krzywa jest zgodna z teorią - nie tylko jej przebieg, ale takŜe znaki
współczynników modelu.
Współczynnik determinacji dla modelu R2=0.38
procentowy wzrost płac [%]
IW = −1.428 + 8.724
I co z tego?
1
UR
6
4
Naturalna stopa bezrobocia
2
22
44
8
66 stopa bezrobocia
[%]
Krzywa Philipsa dla danych brytyjskich z lat 1950-66
ZauwaŜmy, Ŝe oszacowanie tzw. naturalnej stopy bezrobocia wynosi w tym
przypadku 6.1%
13
IW = −1.428 + 8.724
1
UR
procentowy wzrost płac [%]
8
6
4
Naturalna stopa bezrobocia
2
22
44
8
66 stopa bezrobocia
[%]
Krzywa Philipsa dla danych brytyjskich z lat 1950-66
Przykład. ZaleŜność wzrostu płac od stopy bezrobocia. Dane polskie
PoniŜsze dane przedstawiają procentowy wzrost inflacji i wielkość stopy bezrobocia
w Polsce w latach 1991-2006
WI
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
170.3
143
135.3
132.2
127.8
119.9
114.9
111.8
107.3
110.1
105.5
101.9
100.8
103.5
102.1
101
WSB
6.6
12.1
14.2
16.7
16.1
15.4
13.1
10.7
11.4
13.7
15.7
18.1
18.6
20.6
19.4
18
14
Ponownie, stosując się do teorii Philipsa budujemy model hiperboliczny:
WI = β1 +
β2
+Z
WSB
W wyniku estymacji otrzymujemy model
WI = −23.6 + 578.2
(10.5)
1
WSB
(138.3)
Otrzymana krzywa takŜe jest zgodna z teorią - tak jej przebieg, jak i znaki
współczynników modelu.
Współczynnik determinacji dla modelu R2=0.56
procentowy wzrost inflacji [%]
WI = −23.6 + 578.2
1
WSB
150
125
100
75
Naturalna stopa bezrobocia
50
25
55
10
10
15
15
20
25
30
stopa bezrobocia [%]
Krzywa Philipsa dla danych polskich z lat 1991-2006
ZauwaŜmy, Ŝe oszacowanie naturalnej stopy bezrobocia wynosi w tym przypadku
24.5%
15
Przykład. ZaleŜność wzrostu płac od stopy bezrobocia. Dane USA
PoniŜsze dane przedstawiają procentowy wzrost inflacji i wielkość stopy bezrobocia
w USA w latach 1976-1995
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
procentowy wzrost inflacji [%]
WI = 5.8 − 3.2
WI
5.8
6.5
7.6
11.3
13.5
10.3
6.2
3.2
4.3
3.6
1.9
3.6
4.1
4.8
5.4
4.2
3
3
2.6
2.8
WSB
7.7
7.1
6.1
5.8
7.1
7.6
9.7
9.6
7.5
7.2
7
6.2
5.5
5.3
5.6
6.8
7.5
6.9
6.1
5.6
1
WSB
8
7
6
5
4
3
66
88
10
10
12
stopa bezrobocia [%]
Krzywa „Philipsa” dla danych amerykańskich z lat 1976-1995
Oczywiście Ŝadne wskaźniki tego modelu nie są zadowalające – nawet gorzej
ZauwaŜmy, absolutną niezgodność z teorią !
16
Przykład: model wzrostu dochodu narodowego USA (growth of real GNP)
PoniŜsze dane przedstawiają wielkość dochodu narodowego USA w latach
1962-1981 (miliardy dolarów)
GNP
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
560.3
590.5
632.4
684.9
749.9
793.9
865.
931.4
992.7
1077.6
1185.9
1326.4
1434.2
1549.2
1718.
1918.3
2163.9
2417.8
2633.1
2937.7
Przykład Model dochodu narodowego USA
Proponowana postać modelu
GNP = β1 + β 2Year + Z
Oszacowania i podstawowe wskaźniki modelu:
GNP = −229122 + 116.9Year
(16632) (8.44)
Współczynnik determinacji r2=0.91
Wskaźnik wyrazistości modelu V=16%
17
Przykład Model dochodu narodowego USA, wersja 2
Proponowana teraz postać modelu to
ln GNP = β1 + β 2Year + Z
Oszacowania i podstawowe wskaźniki modelu:
ln GNP = −165.4 − 0.088Year
(3.29) (0.0017)
Współczynnik determinacji r2=0.99
Wskaźnik wyrazistości modelu V=16%
Który model wybrać?
Interpretacja parametrów:
18