Wprowadzenie do rachunku tensorowego (w formacie pliku )

Wprowadzenie do rachunku tensorowego
2007-02-05
Wprowadzenie do rachunku tensorowego
Tensorami nazywamy ogólnie takie obiekty jak skalary, wektory i wielkości wyższych
rzedów. Tak więc tensorem rzędu zerowego (np. A, czyli wielkość o walencji 0) są skalary,
pierwszego (np. ji , czyli wielkość o walencji 1) wektory, zaś reprezentacją tensora rzędu
drugiego (np. dij ) jest macierz 2x2. Tensory rzędów (czyli walencji) wyższych (np. 3-go, 4go) nie możemy już zapisać na ,,płaszczyźnie’’.
Operacje na tensorach rządzą się pewnymi zasadami (algebra tensorów):
1. Cij = Aij + Bij - dodawanie tensorów
2. a ij bkln = cijkln - iloczyn tensorowy dwóch tensorów jest tensorem o walencji równej
sumie walencji składników
3. Istnieje tzw. tensor jednostkowy – zwany deltą Kroneckera
⎡1 0 0 ⎤
⎧1 dla i = j
δ ij = ⎢⎢0 1 0⎥⎥ , czyli δ ij = ⎨
⎩0 dla i ≠ j
⎢⎣0 0 1⎥⎦
4. Zamianę wskaźników dokonujemy poprzez przemnożenie danego tensora przez tensor
jednostkowy
aij δ ik = aik
5. Niezmienniki tensora:
I = Aii
1
(Aii A jj − Aij A ji )
2
III = det (Aij )
Aij ⇒ II =
Równania tensorowe
Jednym z ,,zastosowań’’ tensorów jest umożliwienie zapisu relacji funkcyjnej między parą
wektorów, czyli np. dla wektorów ai i bj będzie
ai = Bij b j ,
natomiast dla pary tensorów będzie
Aij = Bijkl C kl
Konwencja sumacyjna Einsteina
W zapisie równań tensorowych powszechnie wykorzystuje się tzw. notację sumacyjną
Einsteina, pozwalającą zapisać skomplikowane wyrażenia w zwięzłej postaci. Konwencja ta
mówi, że sumowania dokonujemy po powtarzających się wskaźnikach, np.
3
a ij x j ≡ ∑ a ij x j = a i1 x1 + ai 2 x 2 + ai 3 x3
j =1
Te powtarzające się wskaźniki nazywa się wskaźnikami niemymi. Mają one tą właściwość,
że można je wymienić na dowolne inne, np.:
aij x j ≡ aik x k
UWAGA! Przy przekształceniach należy zwrócić uwagę na to, żeby dany wskaźnik nie
powtórzył się więcej niż 2 razy po jednej stronie równania.
A. Marynowicz
Strona 1
Wprowadzenie do rachunku tensorowego
2007-02-05
Przykłady zadań z równaniami tensorowymi
Poniżej podam kilka przykładów, bez wyjaśnienia podstaw fizycznych – po te odsyłam do
wykładów.
Przykład 1.
Pole przemieszczeń w nieograniczonym ciele sprężystym ma postać:
u i = xi B j x j
(1)
Należy wyznaczyć tensor odkształceń w postaci:
2ε ij = u i , j + u j ,i
(2)
oraz naprężeń
σ ij = 2Gε ij + λε kk δ ij
(3)
a następnie sprawdzić równanie równowagi wewnętrznej
σ ij , j + ρFi = 0
(4)
Z równania tego należy, przyjmując znane ρFi , wyznaczyć składowe wektora Ai.
Rozwiązanie
Aby to zadanie rozwiązać należy w pierwszej kolejności obliczyć pochodne (cząstkowe)
z wektora przemieszczeń ui. Pochodną (cząstkową) w zapisie tensorowym oznacza się
przecinkiem i wskazuje po jakiej współrzędnej się ją liczy – to po przecinku, np.
∂ 2 xi
∂xi
≡ xi , jk , itp…
≡ xi , j ,
∂x j ∂x k
∂x j
Należy jeszcze pamiętać o pochodnej mieszanej (z iloczynu funkcji). Mamy więc w naszym
przypadku (po zamianie indeksu j na k w iloczynie! – powód podano wyżej):
u i , j = [xi Bk x k ], j = [xi ], j Bk x k + xi [Bk x k ], j = xi , j Bk x k + xi Bk x k , j = δ ij Bk x k + xi Bk δ kj =
= δ ij Bk x k + xi B j
(5)
Wektor Bi jest wektorem stałych, stąd pochodna jego jest równa zero. Wykorzystano tu także
zależności (można to łatwo rozpisać)
xi , j = δ ij
oraz
Bk δ kj = B j .
Pochodną uj,i otrzymujemy podobnie, zamieniając wskaźniki i oraz j, stąd otrzymamy
u j ,i = δ ij Bk x k + x j Bi
(6)
wiedząc, że δ ij = δ ji .
Podstawiając (5) i (6) do (2) otrzymamy:
2ε ij = 2δ ij Bk xk + xi B j + x j Bi .
(7)
Następnie podstawiamy to do równania fizycznego (3)
σ ij = G (2δ ij Bk xk + xi B j + x j Bi ) + 4λδ ij Bk xk = K =
= G (xi B j + x j Bi ) + δ ij Bk xk (2G + 4λ )
A. Marynowicz
(8)
Strona 2
Wprowadzenie do rachunku tensorowego
2007-02-05
Występujące w (3) wyrażenie ε kk otrzymano z przekształcenia (7):
2ε kk = 2δ kk Bl xl + x k Bk + x k Bk = 2 ⋅ 3 ⋅ Bl xl + 2 x k Bk = 6 Bk x k + 2 x k Bk = 8 Bk x k ,
czyli
ε kk = 4 Bk x k .
Chcąc otrzymać ostatni element, czy wyliczyć siłę masową z równania równowagi, musimy
obliczyć pochodną z równania (8), czyli
σ ij , j = [G (xi B j + x j Bi )], j + [δ ij Bk xk (2G + 4λ )], j =
δ ij
δ kj ⎞
⎛
3
⎛}
⎞
}
}
⎟
⎜
⎜
⎟
= G⎜ xi , j B j + x j , j Bi ⎟ + (2G + 4λ )⎜ δ ij Bk xk , j ⎟ =
3
3⎟
⎜ 12
⎟
⎜ 12
Bj
⎝ Bi
⎠
⎠
⎝
= 4GBi + (2G + 4λ )Bi = Bi (6G + 4λ )
Wykorzystano tu fakt, że pochodna z δ ij jest równa zero. Mając tak policzoną pochodną
otrzymamy równanie równowagi
ρFi = − Bi (6G + 4λ ) ,
(9)
z którego, przy znanym ρFi , wyznaczymy składowe wektora Bi :
B1 = −
B2 = −
B3 = −
ρ
6G + 4λ
F1
6G + 4λ
F2
ρ
(10)
ρ
F3
6G + 4λ
Równania (7), (8), (9) i (10) stanowią rozwiązanie zadania.
Przykład 2.
Pole przemieszczeń w nieograniczonym ciele sprężystym ma postać:
ui = ( xi − Bi )x j B j
(11)
Wyznaczyć wielkości z przykładu 1 (tylko zamiast Ai wyznaczyć składowe Bi).
Rozwiązanie
Możemy na początku przekształcić (zamieniając indeksy ,,nieme’’ (czyli nie występujące po
lewej stronie równania) j na k) (11)
ui = ( xi − Bi )x j B j = xi x j B j − xi Bi B j = xi xk Bk − xk Bi Bk
Mamy więc:
ui , j
δk, j
δ ij
δ kj
⎛}
⎞
}
}
⎜
= [xi xk ], j Bk − xk , j Bk Bi = ⎜ xi , j xk + xi xk , j ⎟⎟ Bk − B j Bi = δ ij xk Bk + xi δ kj Bk − B j Bi =
123
123
⎜
⎟
Bj
Bj
⎝
⎠
= δ ij xk Bk + B j ( xi − Bi )
oraz
u j ,i = δ ij xk Bk + Bi (x j − B j ) .
Tak więc tensor odkształcenia ma postać
2ε ij = 2δ ij xk Bk + 2 Bi B j + B j xi + Bi x j
A. Marynowicz
(12)
Strona 3
Wprowadzenie do rachunku tensorowego
2007-02-05
Tensor ε kk :
ε kk = 4 Bk xk − Bk2
Stąd tensor naprężeń (równanie fizyczne):
σ ij = (2G + 4λ )δ ij xk Bk + GBi (xi + x j ) − λδ ij Bk2 − 2GBi B j
(13)
Pochodna z wyrażenia (13) ma postać (uwaga na xj,j=3)
σ ij , j = (2G + 4λ )[δ ij xk Bk ], j + GBi [(xi + x j )], j − [λδ ij Bk2 ], j − [2GBi B j ], j = (2G + 4λ )B i +G (B j − Bi ) ,
1424
3 144244
3 1424
3 14243
Bi
G (B j −3 Bi )
0
0
skąd otrzymamy wyrażenie na składowe wektora siły masowej
Bi δ ij
}
ρFi = − Bi (− G + 4λ ) − G B j = − Bi G (− 1 + δ ij ) + 4λ = −4λBi
[
]
(14)
Ostatecznie składowe wektora Bi wyliczymy przekształcając (14), czyli otrzymamy
[
Bi = − G (− 1 + δ ij ) + 4λ
]
−1
ρFi = −
ρ
Fi
4λ
(15)
czyli po rozpisaniu:
B1 = −(4λ ) ρF1
−1
B2 = −(4λ ) ρF2
−1
(16)
B3 = −(4λ ) ρF3
−1
co kończy zadanie.
A. Marynowicz
Strona 4