Równania Równania Maxwella a fale świetlne świetlne

Równania Maxwella
Maxwella
a fale świetlne
Fale wyraŜone przez zespolone amplitudy
wektorowe
Wykład 3
Pola zespolone, E a więc i ich amplitudy E0 są teraz wektorami:
%
%
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(
)
r r
r r
r
E ( r , t ) = E0 exp i k ⋅ r − ω t 


%
%
Równania Maxwella
Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella
Dlaczego fale świetlne w próŜni (powietrzu) są falami
poprzecznymi
Gęstość energii fali świetlnej
Wektor Poyntinga
Irradiancja (natęŜenie światła)
Irradiancja superpozycji fal świetlnych
Skąd się bierze światło?
Wielkości częstości oscylacji atomowych i
cząsteczkowych
Zespolone amplitudy zapisane są więc przy pomocy aŜ sześciu liczb,
które trzeba znać, by te amplitudy w pełni określić!!!
składowa y
składowa x
składowa z
r
E0 = (Re{Ex } + i Im{Ex }, Re{E y } + i Im{E y }, Re{Ez } + i Im{Ez })
%
Zadania
Powtórzenie; operatory róŜniczkowe
Wektorowe równanie falowe (3D)
RóŜniczkowy operator wektorowy nabla :
r
Teraz mamy strzałkę nad E.
2
r r
1 ∂ E
∇ 2 E − µε2
=0
2
v ∂t
Są to trzy niezaleŜne
r
r
r
r
2
2
2
równania falowe; kaŜde z
∂ E ∂ E ∂2E
1 ∂ E
nich dotyczy składowych
µε
+
+
−
=
0
2
2
2
2
2
x, y, i z wektora E.
v ∂t
∂x
∂y
∂z
r
 ∂
∂
∂
∇ ≡ 
,
,

 ∂x ∂y ∂z 
Gradient funkcji skalarnej f :
r
 ∂f
∂f
∂f 
∇f ≡ 
,
,

 ∂x ∂y ∂z 
- jest wektorem, wskazuje kierunek, w jakim wzrost funkcji f jest
największy.
posiada rozwiązanie w postaci:
(
)
ur r
ur
r r
E ( r , t ) = A exp i k ⋅ r − ω t − θ 


%
Dywergencja – operator róŜniczkowy, który funkcji wektorowej
przypisuje wielkość skalarną
lub:
(
r r
∂f ∂f y ∂f z
∇⋅ f ≡ x +
+
∂x ∂y ∂z
)
ur r
r r
r
E ( r , t ) = E0 exp i k ⋅ r − ω t 


%
%
zespolona amplituda
1
2
Równania Maxwell’a
Powtórzenie; operatory róŜniczkowe
Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności
pola elektrycznego i magnetycznego oraz zaleŜności między tymi polami.
W próŜni (w powietrzu):
Laplacian funkcji skalarnej:
∇2 f
r r
≡ ∇ ⋅∇f
r  ∂f
∂f
∂f 
= ∇⋅
,
,

 ∂x ∂y ∂z 
=
∂2 f
∂2 f
∂2 f
+
+
∂x 2
∂y 2
∂z 2
H
H
E
H
E
H
r
Er - natęŜenie pola elektrycznego, [ V / 2m ],
B - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m ],
Laplacian funkcji wektorowej: (działa na kaŜdą ze składowych
funkcji wektorowej)
2
2
2
r  ∂2 f
∂2 f x ∂2 f x ∂ f y ∂ f y ∂ f y ∂2 fz ∂2 f z ∂2 fz
∇ 2 f =  2x +
+ 2 ,
+
+
+
+ 2
,
2
2
2
 ∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z 2 ∂x 2
∂y 2
∂z

E
ε0 - przenikalność elektryczna próŜni,
µ0 - przenikalność magnetyczna,
∇⋅ - operator dywergencji, [1/m],
∇× - operator rotacji, [1/m].



Laplacian mówi nam o zakrzywieniu funkcji wektorowej
Z równań Maxwella moŜna wyprowadzić równanie falowe fali EM.
Wyprowadzenie równania falowego
z równań Maxwella
Powtórzenie; operatory róŜniczkowe
r
Rotacja
The Curlfunkcji
of a vector
wektorowej
function f :
r
r r
∂B
∇× E = −
∂t
r r r
r
Weźmy ∇ ×:
r r
 ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f
∂f 
∇× f ≡  z − y , x − z , y − x 
∂
y
dz
∂
z
dx
∂
x
dy 

(RM)
r
r
∂B
∇ × [∇ × E ] = ∇ × [ − ]
∂t
Zmieńmy kolejność róŜniczkowania zgodnie z regułą RHS:
r r r
∂ r r
∇ × [∇ × E ] = − [∇ × B]
∂t
r
r r
∂E
∇ × B = µε
Podstawiając za:
00
∂t
The curl
can be
treat
ed as a matrix
determinant
:
Rotacja
moŜe
być
zapisana
przy pomocy
wyznacznika:
)
x

r r
∂
∇× f = 
 ∂x

 f x
)
y
∂
∂y
fy
)
z 

∂
∂z 

f z 
mamy:
µ0 i ε0 są stałe w czasie:
Functions that tend to curl around have large curls
3
(RM)
r
r r r
∂
∂E
∇ × [∇ × E ] = − [ µε
] , lub:
∂t 0 0 ∂t r
r r r
∂2 E
∇ × [∇ × E ] = − µε
00
∂t 2
4
Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna
w próŜni jest falą poprzeczną?
Wyprowadzenie równania falowego
z równań Maxwella
Równania opisujące falę harmoniczną:
r
B
Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu):
r
r r r
r r r
∇ × [∇ × f ] = ∇(∇ ⋅ f ) − ∇ 2 f Wówczas:
r
r
r r r
r
r r r
∂2 E
∂2 E
2
⇒
∇
(
∇
⋅
E
)
−
∇
E
=
−
µε
∇ × [∇ × E ] = − µε
.
0 0
0
0
2
∂t
∂t 2
r
B
są rozwiązaniami równań Maxwella o ile:
k2 =
ω2
c2
RELACJA DYSPERSJI
PoniewaŜ nigdzie nie mamy Ŝadnej gęstości ładunku (próŜnia), ρ = 0,
r r
∇⋅E = 0
o ile: :
µ0ε 0 =
r r
v
− k × B = ω µ 0ε 0 E
r r
r
k×E =ω B
r r
k ⋅B = 0
r r
k ⋅E = 0
(RM)
r
r
∂ E
2
∇ E = µε0 0 2
∂t
2
otrzymaliśmy równanie falowe,
1
v2
Fala elektromagnetyczna propaguje się w próŜni z
prędkością v = c:
Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna
w próŜni jest falą poprzeczną?
r
B
r
E
r r
v
( E ⊥ B) ⊥ k
r
k
r
B
Niech fala rozchodzi się wzdłuŜ osi x i jej pole elektryczne
skierowane jest wzdłuŜ osi y.
są rozwiązaniami równań Maxwella o ile:
k2 =
ω2
Start
with: z:
Startujemy
c2
−
∂Bz ∂E y
=
∂t
∂x
i
r
E y ( r , t ) = E0 exp i ( kx − ω t ) 
%
t
RELACJA DYSPERSJI
Bz ( x, t ) = Bz ( x, 0) −
We
can integrate:
Całkujemy:
Przyjmijmy Bz(x,0) = 0
r r
v
− k × B = ω µ 0ε 0 E
r r
r
k×E =ω B
r r
k ⋅B = 0
r r
k ⋅E = 0
r r r
Wektory E , B, k
tworzą układ prawoskrętny.
Wielkość pola magnetycznego fali świetlnej
Równania opisujące falę harmoniczną:
r
B
„Zdjęcie”
w czasie t:
Równania Maxwella
poddane transformacie Fouriera
zgodnie z regułą:
Otrzymujemy:
PoniewaŜ
5
Bz ( x, t ) = −
ω / k = c:
∫
∂E y
∂x
dt
0
ik
E0 exp [i( kx − ω t ) ]
−iω %
Całkowanie Ey wzgledem
x daje ik, a całkowanie
względem t daje 1/-iω.
1
Bz ( x, t ) = E y ( x, t )
c
6
Siła działająca na ładunek
w polu fali świetlnej
r
r
r
r r
F = qE + q v × B
Ponieważ B = E/c:
(Gęstość energii pola: energia pola w jednostce objętości)
Felectrical Fmagnetic
Siła Lorentza działajaca na
ładunek q:
r
Porównajmy obie siły;
ich stosunek wynosi:
Gęstość energii fali świetlnej
Fmagnetic
Felectrical
Fmagnetic
Felectrical
≤
Gęstość energii pola magnetycznego:
prędkością ładunku
qvB
≤
qE
1
UE = ε E2
2
11 2
UB =
B
2µ
Gęstość energii pola elektrycznego:
r
gdzie v jest
Dla fali:
fali B = E/c, i
r r
v × B = vB sin θ
B = E εµ
ε 0 µ0
, a więc:
Mamy więc:
≤ vB
UB =
v
c
11 2
( E εεµ0 µ0) = 12 ε 0EE22= U E
2µ
Całkowita gęstość energii:
U = U E + U B = εεE0 E2
Tak więc tak długo, jak prędkość ładunku jest duŜo mniejsza niŜ prędkość
światła, część magnetyczna siły Lorentza jest duŜo mniejsza niŜ część
elektryczna i moŜna ją zaniedbać.
2
Tak więc gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego fali
świetlnej są równe.
Gęstość energii fali świetlnej
U – gęstość energii pola
Wektor Poynting
Poyntinga
a:
A
(Gęstość energii pola: energia pola w jednostce objętości)
Gęstość energii pola elektrycznego:
Gęstość energii pola magnetycznego:
Dla fali: B = E/c, i
, a więc:
[
1
UE = ε E2
2
11 2
UB =
B
2µ
-
strumień energii przenoszonej przez wiązkę
światła (moc przepływająca przez jednostkę
powierzchni)
B = E εµ
Mamy więc:
]
c ∆t
gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu
Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie ∆t:
11 2
UB =
( E εµ ) = 12 ε E 2 = U E
2µ
=
Całkowita gęstość energii:
U = UE +UB = ε E2
U V
=
U A c ∆t
Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę
powierzchni:
= U V / ( A ∆t ) = U c = c ε0 E2
= c2 ε 0 E B
Tak więc gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego fali
świetlnej są równe.
W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy teŜ tych, na które reaguje nasze oko
W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy teŜ tych, na które reaguje nasze oko
7
8
Irradian
Irradi ncja (lub nieprawidłowo, choć często używane:
natężenie) wiązki światła
Wektor Poyntinga
Poyntinga:
r
r r
S = c 2 ε0 E × B
Ponieważ pola elektryczne i magnetyczne
r rfali rsą wzajemnie
prostopadłe, oraz B0 = E0 / c, oraz E × B ∝ k , w kierunku propagacji
irradiancja I (natężenie) fali wyraża się:
Podstawiając:
r
1
I =|< S >t |= cε 0
2
rr
r r
r
E(r ,t) = E0 cos [(k r – ω t ) – θ ]
rr
r r
r
H(r ,t) = H 0 cos [(k r – ω t ) – θ ]
i
do wyrażenia na wektor Poyntinga:
czyli:
r r
r r
r
r
S (r , t ) = c 2 ε E0 × B0 cos 2 ( k ⋅ r − ω t − θ )
r r w czasie!
wielkośćrszybkozmienna
Średnia z
cos2
jest równa 1/2:
gdzie:
⇒ I (r , t ) = S (r , t ) =
r r
= c 2 ε E0 × B0 (1/ 2)
[W/m2]
I~
r 2
E0 = E0 x E0*x + E0 y E0* y + E0 z E0*z
%
% %
% %
% %
Pamiętajmy: rozwaŜania nasze są poprawne dla fali harmonicznej
rozchodzącej się w próŜni. Falę opisaliśmy:
(
)
r r
r r
r
E ( r , t ) = Re E0 exp i k ⋅ r − ω t 


%
Irradian
Irradi ncja (lub nieprawidłowo, choć często używane:
natężenie) wiązki światła
Irradian
Irradi ncja (lub nieprawidłowo, choć często używane:
natężenie) wiązki światła
r
1
I =|< S >t |= cε 0
2
średni strumień energii
[W/m2]
Podstawiając:r
i
rr
r
r
E(r ,t) = E0 cos [(k r – ω t ) – θ ]
rr
r r
r
H(r ,t) = H 0 cos [(k r – ω t ) – θ ]
〈 S 〉 (na pow. Ziemi) =1400 W/m2
laserem osiągalne 〈 S 〉 ≈ 1020 W/m2 ⇔ E ≈109 V/m
≈ pola wewnątrz atomów
do wyrażenia na wektor Poyntinga:
r r
r r
r
r
S (r , t ) = c 2 ε E0 × B0 cos 2 ( k ⋅ r − ω t − θ )
Średnia z cos2 jest równa 1/2:
r r
r
⇒ I (r , t ) = S (r , t ) =
r r
= c 2 ε E0 × B0 (1/ 2)
?
Zwierciadło Archimedesa
9
10
Podsumowanie:
Irradiancja sumy dwóch fal:
r r
v
− k × B = ω µ 0ε 0 E
r r
r
k×E =ω B
r r
k ⋅B = 0
r r
k ⋅E = 0
E =cB
•
•
•
•
r r
Wektory Eri Br są wzajemnie prostopadłe.
Wektory E i B drgają w zgodnej fazie.
r r
Jeśli obie są proporcjonalne do: exp i (k ⋅ r − ω t ) , irradiancja wynosi:

Dla róŜnych polaryzacji: (np. w kierunku x i y):
I = 12 cε  E0 x ⋅ E0 x* + E0 y ⋅ E0 y*  = I x + I y
%
%
%
%
natęŜenia dodają się
r
E
r
k

r r
I = 12 cε E0 ⋅ E0* = 12 cε  E0 x E0 x* + E0 y E0 y * + E0 z E0 z * 
% %
% →% → % %
% %
→
E0 x = E10+ E2 0
%
% %
1
2
Dla takich samych polaryzacji np. w kierunku x: E0 x = E1 0+ E2 0
r
B
I = 12 cε  E1 0⋅ E1*0 + 2 Re { E10⋅ E20*} + E20⋅ E2*0 
% %
% %
% %
W próŜni (w ośrodku izotropowym) fala elektromagnetyczna
transportuje energię prostopadle do swojego czoła.
Fala elektromagnetyczna w próŜni (powietrzu) rozchodzi się z
1
prędkością c0 =
Tak więc:
ε 0µ0
I = I1 + cε Re {E10⋅ E2*0} + I 2
% %
%
%
%
Wyraz krzyŜowy !
WyraŜenie krzyŜowe związane jest z interferencją!
Sumowanie
Sum
owanie pól:
Zadanie:
elektromagnetyzm jest teorią liniową,
zasada superpozycji obowiązuje.
Zapisz pole E i B płaskiej fali monochromatycznej o częstotliwości ω,
która porusza się:
a) w kierunku ujemnym osi x i jest spolaryzowana* w kierunku osi z,
b) porusza się w kierunku wyznaczonym przez początek układu
współrzędnych i punkt (1,1,1) i jest spolaryzowana* równolegle do
płaszczyzny xz.
Jeśli E1(x,t) and E2(x,t) są rozwiązaniami równania
falowego,
wówczas E (x,t) + E (x,t) jest
teŜ jego
∂ 2 ( E1 + E2 ) ∂ 2 E1 ∂ 2 E2
∂ 2 ( E1 + E2 ) ∂ 2 E1 1 ∂ 2 E2 2
=
+
=
+
rozwiązaniem.
∂ t2
∂ t2
∂ t2
∂ x2
∂ x2
∂ x2
• 2Oznacza to, Ŝe
wiązki światła mogą przechodzić jedna
∂ przez
( E1 + E2drugą.
) 1 ∂ 2 ( E1 + E2 )  ∂ 2 E1 1 ∂ 2 E1   ∂ 2 E2 1 ∂ 2 E2 
− 2
= 2 − 2
− 2
+
=0
2
∂x
∂ t2
∂x
c
c ∂ t 2   ∂ x2
c ∂ t2 
• Oznacza to równieŜ, Ŝe mogą one konstruktywnie
lub
destruktywnie interferować:
*)
11
Fala elektromagnetyczna jest spolaryzowana w danym kierunku
(lub w danej płaszczyźnie) gdy jej wektor elektryczny oscyluje
zgodnie z tym kierunkiem (lub w tej płaszczyźnie).
12
Równania Maxwella
Równania Maxwell’a
Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności
pola elektrycznego i magnetycznego oraz zaleŜności między tymi polami.
Widzieliśmy, Ŝe w pustej przestrzeni równania Maxwella (równanie
falowe) opisuje propagację światła.
H
E
H
E
H
E
W ośrodkach liniowych:
r
Er - natęŜenie pola elektrycznego, [ V / m ],
B - indukcja magnetyczna, [ T = Vs /m2],
H
- indukcja elektryczna, [ C / m2]
- natęŜenie pola magnetycznego, [ A / m ]
εr - przenikalność elektryczna ośrodka (względna),
µr - przenikalność magnetyczna ośrodka (względna),
- gęstość prądu, [A/m2],
ρ - gęstość ładunku, [ C / m3]
∇⋅ - operator dywergencji, [1/m],
∇× - operator rotacji, [1/m].
Ale skąd się pochodzi światło, co jest jego pierwotnym źródłem?
Musi nim być materia.
Równania Maxwell’a
r
r r
D = ε0E + P
Źródła światła
Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności
pola elektrycznego i magnetycznego oraz zaleŜności między tymi polami.
W ośrodkach liniowych:
przyspieszane ładunki niezwiazane
Liniowo przyspieszane
ładunki
Promeniowanie
synchrotronowe promieniowanie emitowane
przez naładowane cząstki
przyspieszane po
krzywoliniowych torach np.. w
polu magnetycznym
sformułowanie „makroskopowe”
r
Er - natęŜenie pola elektrycznego, [ V / m ],
B - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m2 ],
- indukcja elektryczna, [ C / m2]
r
r r
- natęŜenie pola magnetycznego, [ A / m ]
D = ε0E + P
εr - przenikalność elektryczna ośrodka, (wzgledna)
µr - przenikalność magnetyczna ośrodka, (wzgledna)
- gęstość prądu swobodnego, [A/m2],
ρ - gęstość ładunku swobodnego, [ C / m3]
∇⋅ - operator dywergencji, [1/m],
∇× - operator rotacji, [1/m].
r
B
Promieniowanie hamowania (niem.
Bremsstrahlung) - promieniowanie
powstające podczas hamowania cząstki
obdarzonej ładunkiem elektrycznym
(np. w trakcie hamowania w zderzeniu z
inną czastką naładowaną).
13
14
Rzędy wielkości częstości oscylacji
atomowych i cząsteczkowych:
Źródła światła: polaryzacja
Ośrodek spolaryzowany:
Oscylacje elektronów wynikające z ich ruchu
wokół jader atomowych:
Gdy drgania ładunków (elektronów)
są skorelowane, ośrodek jest
spolaryzowany.
DuŜa częstość: ~1014 - 1017 cykli na sekundę.
Polaryzacja ośrodka moŜe się
zmieniać harmonicznie w czasie.
r
r r ∂B
∇× E =−
∂t
r
r
r r
∂E
∂P
∇× B = µ0ε0 +µ0
∂t
∂t
r r
∇⋅ E = 0
r r
∇⋅ B = 0
Oscylacje jąder cząsteczek
względem siebie:
Pośrednie częstości:
~1011 - 1013 cykli na sekundę.
Rotacja jąder cząsteczek:
Indukowana polaryzacja ośrodka
jest zawarta w równaniach
Maxwell’a (przyjęto, Ŝe µr=1):
Niskie częstości: ~109 - 1010 cykli na sekundę.
Energiom związanym z oscylacjami przypisać moŜna poziomy energetyczne
Równania Maxwell‘a w ośrodku
materialnym
r
Oscylacje atomowe i cząsteczkowe obrazu
klasycznego odpowiadają przejściom między
poziomami energetycznymi w opisie
kwantowym.
Indukowana polaryzacja P ośrodka i jest zawarta w równaniach
Maxwell’a (przyjęto, Ŝe µr=1):
r r
∇⋅B = 0
r
r r
∂B
∇× E = −
∂t
r
r
r r
∂P
∂E
+ µ0
∇ × B = µ 0ε 0
∂t
∂t
Stan wzbudzony
⇔
Ten dodatkowy czynnik dodaje się do równania falowego, które
zwane jest jako niejednorodne równanie falowe:
r
r
r 2r
∂ E 1 ∂2 E
∂ 2 P∂ xq
−
= µ0 Nq2 2
∂z 2 c 2 ∂t 2
∂t ∂t
2
Polaryzacja jest członem
źródłowym i mówi nam o tym,
jakie światło zostanie
wyemitowane.
Energia
r r
∇⋅E = 0
∆E = hν
Stan podstawowy
r
ZauwaŜmy, Ŝe indukowana Polaryzacja,
a więc wychylenie ładunku xq (t ),
2r
2
jest dwukrotnie róŜniczkowane. ∂ xq / ∂t jest przyspieszeniem ładunku!
Tak więc to przyspieszane ładunki (elektrony) ośrodka są źródłami
światła.
Atom oscylujący z
czestością ν.
15
Atom oscylujący między stanem
wzbudzonym i podstawowym.
16
Wzbudzone atomy spontanicznie
emitują fotony.
Kiedy atom wraca do stanu o niŜszym poziomie energii, emituje foton.
Energia
Stan wzbudzony
Stan podstawowy
Cząsteczki na ogół pozostają dłuŜej wzbudzone (τ ~ kilka nsek).
Emisja fotonu: fluorescencja lub, dla dłuŜszych czasów Ŝycia:
fosforescencja.
Cząsteczki posiadają znacznie bardziej
zróŜnicowane poziomy energetyczne niŜ atomy.
Przykład poziomów energetycznych cząsteczki:
E = Eel + Evib + Erot
1szy wzbudzony
stan elektronowy
Energia
2gi wzbudzony
stan elektronowy
Wzbudzony poziom
rotacyjno-oscyalcyjny
Przejście między stanami elektronowymi
Podstawowy
stan elektronowy
Dodatkowo widmo
komplikuje się wskutek
sprzęŜenia spin-orbita,
obecności spinu
jądrowego etc.
Tak więc cząsteczki mają zwykle dość złoŜone widma.
17