Powtórka - pochodna i jej zastosowania

Powtórka - pochodna i jej zastosowania

Powtórka - pochodne, zastosowania pochodnych.
sin 3 x
e−x
b) f ( x ) = x − 1 ⋅ ln x c) f ( x ) = 2
d) f ( x ) =
tg 4 x
1 + tg 2 x
3
arctg ( x 2 )
1. Obliczyć pochodne: a) f ( x ) =
1 + cos 3 x
e) f ( x ) = 3 ( x − 5) 2 ⋅ tg 3 x
f) f ( x ) =
2
sin 4 x
arcctg( x 3 )
3
h) f ( x ) =
g) f ( x ) = ln x ⋅ (3x 2 + 5)
cos 3 x
4 + sin x
1+ e
sin 2 x
1
i) f ( x ) = (2 + ln x ) ⋅ (ctg x ) j) f ( x ) =
+ x ⋅ ln x k) f ( x ) = arc tg ctg 2x l) f ( x ) =
− 3 .
2
ln(cos x ) ln x
sin x
1
2. Obliczyć drugą pochodną funkcji (wynik w najprostszej postaci) :
a) f ( x ) = tg x
b) f ( x ) = x arc tg
x
2x
2
c) f ( x ) = x ⋅ arctg x
(
d) f ( x ) = arc tg e 2 x
)
e) f ( x ) = ln x 2 + 2 x − 5 .
3. Sprawdzić, że funkcja y = y( x ) spełnia podane obok równanie: a) y =
b) y = sin e x ; y ′ − y ′′ = e 2 x y
c) y = e
x
; 4 xy ′′ = y − 2 y ′
x −5
; 2( y ′) 2 = ( y − 1) ⋅ y ′′
x+2
d) y = 2 x − x 2 ; y 3 ⋅ y ′′ = −1
4. Znaleźć dziedzinę, przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji:
ln 2 x
ln 3 x
x2
2
a) f ( x ) = x ⋅ ln x b) f ( x ) = 2
c) f ( x ) =
d) f ( x ) =
+ 5 ln(x + 6)
x
2
x
2
e) f ( x ) = x 2 e − x .
2 − e x − e−x
[2 ]
x →0
cos x − 1
ln cos x
e−x
e) lim
[
0] f) lim
[0]
x →∞ 2arc tg x − π
x→0
x
5. Korzystając z tw. L`Hospitala, znaleźć granicę (w ramce [.] są odpowiedzi): a) lim
[ 12 ]
tg x
x →0 e − e − x
b) lim
x
c) lim ( x 4 e − x ) [0]
d) lim+ ( x ⋅ ln 2 x ) [0]
4
x → −∞
x →0
g) lim ( x 3 ⋅ e −3 x ) [0] .
x →∞
6. Napisać wzór Maclaurina funkcji f ( x ) = ln(1 − x ) dla n = 4 . Wykorzystując ten wzór, obliczyć przybliżoną
wartość ln 45 , a następnie oszacować błąd przybliżenia.
7. Napisać wzór Maclaurina funkcji f ( x ) = x ⋅ e x dla n = 5 . Wykorzystując ten wzór, obliczyć przybliżoną
wartość
1
3
⋅ 3 e , a następnie oszacować błąd przybliżenia. .
Rozwiązania wybranych zadań:
1. g) f ( x ) = ln x ⋅ (3x 2 + 5) , f ′( x ) =
l) f ( x ) =
2
sin x
1
− 3 , f ′( x ) =
ln(cos x ) ln x
d) f ( x ) = arc tg e 2 x , f ′′( x ) =
x
x
−
e
x
x
=
e
x
+ ln x ⋅ 6x .
2 sin x cos x ⋅ ln(cos x ) +
2
ln (cos x )
4e 2 x − 4e 6 x
(1 + e 4 x ) 2
, 4 xy ′′ = y − 2 y ′ ; y ′ =
P = y − 2y′ = e
2 x ln x
f ′( x ) = arctg x +
2. c) f ( x ) = x ⋅ arctg x ,
3. c) y = e
3x 2 + 5
e
x
sin 3 x
cos x +
3
x ln 4 x
x
2
, f ′′( x ) = 2
.
x +1
( x + 1) 2
2
(
)
e) f ( x ) = ln x 2 + 2 x − 5 , f ′′( x ) =
, y ′′ =
e
x
⋅ x −e
2 x
x ⋅ 4x
x
⋅ x −e
, czyli L = P .
x
x
, L = 4 xy ′′ =
e
x
− x 2 − 2x − 7
.
( x 2 + 2 x − 5) 2
⋅ x −e
x
x
,
d) y = 2 x − x ; y ⋅ y ′′ = −1 ;
2
L=
3
 1− x
y ′′( x ) = 
2
 2x − x
( 2x − x ) ⋅ (2x − x )−⋅1 2x − x
3
2
2
′

−1
 =
;

2
(2 x − x ) ⋅ 2 x − x 2

= −1 , czyli L = P .
2
2 ln x ⋅ 1x ⋅ x 2 − 2 x ln 2 x 2 x ln x (1 − ln x )
ln 2 x
4 b) f ( x ) = 2 ; D : x ∈ ( 0, + ∞) , f ′( x ) =
=
,
x
x4
x4
f ′( x ) = 0 ⇔ x = 1 lub x = e ,
x
f ′( x )
f (x )
f min = f (1) = 0, f max = f (e) =
1
,
e2
(0,1)
_
1
0
maleje min
(e, + ∞)
_
maleje
e
0
max
( 1 , e)
+
rośnie
ln 2 x
ln 2 x
=
+∞
,
lim
= 0 (granice nie są konieczne, służą tylko do
2
x → +∞ x 2
x →0 + x
lim
narysowania wykresu) .
x2
x 2 + 6x + 5
′
d) f ( x ) =
+ 5 ln(x + 6) [ D : x ∈ ( − 6 , + ∞) , f ( x ) =
, f ′( x ) = 0 ⇔ x = −5 lub x = −1,
2
x+6
x
f ′( x )
f (x )
f max = f (−5) =
(-6,-5) -5 (-5,-1)
+
0
rośnie max maleje
25
1
; f min = f (−1) = + 5 ln 5 ,
2
2
2
(−1, + ∞)
+
rośnie
-1
0
min
lim f ( x ) = −∞ , lim f ( x ) = +∞ ].
x → +∞
x→− 6
2
2
2
e) f ( x ) = x 2 e − x [ D : x ∈ R , f ′( x ) = 2 x e − x + x 2 e − x (−2 x ) = e − x 2 x (1 − x 2 ) ,
f ′( x ) = 0 ⇔ x = −1 lub x = 1 lub x = 0
x
f ′( x )
f (x )
( − ∞ , − 1)
+
rośnie
f min = f (0) = 0, f max = f (−1) = f (1 ) = e
2
lim x e
−x 2
x → +∞
= lim
x → +∞
x2
ex
2
−1
0
max
−1
(−1 , 0 )
_
maleje
= , lim x e
1
e
2
−x 2
x → −∞
0
0
min
= lim
x → −∞
x2
e
x2
= lim
x → −∞
1
− 625
4( − 1)
Θ
5
≤
4
∆=
Θ
3
Θ
3
2
5e + e
1
5
5
⋅
≤
=
≤ 0.001 ].
24
243 24 ⋅ 243 5832
Θ
3
2x ⋅ e x
2
= 0,
−150 −15 − 2
750
≈ −0,2226666.. ,
1
= 0,0004
4 ⋅ 625
x 3 x 4 5e Θ x + Θxe Θ x 5
7. Wzór: x ⋅ e = x + x +
+
+
x ;
2
6
24
x
2x
= 0 ].
x2 x3
x4
1
6. Wzór: ln(1 − x ) = − x −
−
−
; ln( 45 ) ≈ − 15 − 501 − 375
=
2
3 4(Θx − 1) 4
∆=
( 1, + ∞ )
_
maleje
1
0
max
(0 , 1 )
+
rośnie
1
3
1
3
⋅ e ≈ 13 + 19 +
1
27⋅2
+ 811⋅6 =
226
486
≈ 0,465020576 ;