x(f

FUNKCJA ZŁOŻONA, FUNKCJA ODWROTNA.
1
1. Dane są funkcje określone wzorami: f ( x ) =
a) f o k o h b) h o k o f
x
, k (u ) = 1 + u 2 , h ( t ) = tg t . Znaleźć wzór funkcji złożonej:
c) k o h o f . Obliczyć wartości: d) f o h ( π3 )
oraz e) f o h o k
(
π
3
)
−1 .
2. Niech f ( x ) = x 2 + 4 x + 1 , g ( x ) = x 2 − 2 . Znaleźć wzór funkcji g o f ( x ) .
3. Niech h ( x ) = x 3 + x − 3 , f ( x ) = x + 2 . Wiadomo, że h = g o f , czyli h ( x ) = g (f ( x )) dla każdego x . Znaleźć
wzór funkcji g ( x ) .
4. Niech h = g o f . Jaką funkcją (rosnącą czy malejącą ) jest funkcja h, gdy: a) obie funkcje g i f są rosnące
b) obie funkcje g i f są malejące c) g jest rosnąca, f jest malejąca.
arctg( x3 )
x 
 x −1 
5. Określić dziedzinę funkcji: a) f ( x ) = arccos − 1 b) f ( x ) = arcsin
.
 c) f ( x ) =
log( x 2 + 2 x − 3)
2 
 x + 4
2
x +1
2x
6. Dla podanych funkcji znaleźć wzór odwrotnej: a) f ( x ) =
b) f (x) = 10 3 x +1 c) f ( x ) =
2x − 3
1 + 2x
2 ⋅ ex − 3
1

d) f ( x ) =
e) f ( x ) = 3 + ln(x + 2) f) f ( x ) = arccos  x + 1 g) f ( x ) = 12 sin( 2 x + π2 )
x
e
2

3
h) f ( x ) = 4ctg ( x + 1)
i) f ( x ) = arc tg x + 2 .
7. Obliczyć wartość: a)
(
)
1
1
2
arc cos
3 + arc tg − 3 − 3arc sin
2
2
2

3
 1
 − arc tg 1
b) 2arc cos −  + arc ctg −

 2
 3 
(

3
 1 
c) cos 3arc sin
+ arc cos −   d) tg arccos 1 + arctg(− 3 ) + 2 sin(2arctg(−1))
2
 2 

 15 
f) arc cos sin π  .
7 

GRANICA FUNKCJI, ASYMPTOTY, CIĄGŁOŚĆ.
x 2 − 25
x 3 − 3x 2 + 4
lim
b)
x →5 x 2 − 8x + 15
x→2 x 3 − x 2 − 4x + 4
x 3 − 2 x 2 − 3x
x +1 −1
2 x + 4 − 3x + 1
d) lim 4
e) lim
f) lim
+
x
→
0
x
→
∞
x →3 x − 18x + 81
x
x−2
1.Obliczyć granice:
sin 7 x + sin 3x
i) lim
x →0 sin 5x − sin 4 x
e x − e −x
x → 0 sin 4 x
n) lim
a) lim
1− x
j) lim arc sin
x →∞
1+ x
((
)
x −1
k) lim+ ln
x →1
x −1
)
 7 
e) arc tg tg π 
 8 
x 4 − 2x 2 − 8
x → −2 x 3 − 2 x 2 − 8x
sin 6 x
1 − cos 2 x
g) lim
h) lim
x →0
x→0 tg 2 x
x2
c) lim
 2x + 3 
l) lim

x →∞ 2 x + 1


x +1
2 3x − 2 7 x
m) lim
x →0
2x
)
o) lim 3 2 x − 3 x ⋅ ctg x .
x →0
1
2. Znaleźć wszystkie asymptoty funkcji: a) f ( x ) = 2
x +x
x3 −1
3
b) f ( x ) = 2
c) f ( x ) =
x −1
e − ex
3. Zbadać, czy istnieje taka wartość parametru p, taka, żeby dana funkcja była ciągła na swojej dziedzinie:
 2 x + 8 dla x ≤ 0
f (x) = 
2
( x − p) dla x > 0
 x −1

b) f ( x ) =  x − 1 dla x ≥ 0, x ≠ 1

p dla x = 1
1

arc tg
dla x ≠ 0
c) f ( x ) = 
x

p dla x = 0

−x
 arcctg 3− x dla x < 3

d) f ( x ) = 2p 2 − 3p + π dla x = 3
1

−
π + 2e ( x −3) 2 dla x > 3
a)
.