Wyznaczniki, macierz odwrotna, r]wnania macierzowe

Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
Adam Kiersztyn
Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Paw÷
a II
Lublin 2013
Adam Kiersztyn (KUL)
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
marzec 2013
1 / 13
Wyznacznik macierzy 3x3
Jak juz· wspomnieliśmy tydzień temu wyznacznik macierzy kwadratowej
stopnia 3 moz·na obliczać za pomoca¾ metody Sarrusa.
a b c
d e f
g h k
Adam Kiersztyn (KUL)
= aek + bfg + cdh
ceg
afh
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
bdk
marzec 2013
2 / 13
Wyznacznik macierzy wyz·szych rzedów
¾
Wyznacznik macierzy wyz·szych rzedów
¾
za pomoca¾ rozwiniecia
¾ Laplace’a
moz·na sprowadzić do wyznacznika rzedu
¾ 3. Rozwiniecie
¾ Laplace’a zosta÷
o
zaprezentowane na poprzednim wyk÷
adzie, ale przytoczymy je jeszcze raz
w celu omówinia pewnych jego mody…kacji
k
det A =
∑ aij (
1)i +j Aij .
j =1
Nalez·y w tym miejscu zauwaz·yć, z·e obliczanie wyznacznika moz·e być dość
pracoch÷
onne. Dla przyk÷
adu obliczajac
¾ wyznancznik stopnia 4 musimy
obliczyć 4 wyznaczniki stopnia 3.
Adam Kiersztyn (KUL)
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
marzec 2013
3 / 13
Wyznacznik macierzy wyz·szych rzedów
¾
Natomiast obliczania wyznacznika stopnia 5 musimy obliczyć 5
wyznaczników stopnia 4, a co za tym idzie 20 wyznaczników stopnia 3.
W zwiazku
¾
z powyz·szym spostrzez·eniem przedstawimy teraz metode¾
zmniejszajac
¾ a¾ pracoch÷
onność. Metoda ta polega na zastosowaniu operacji
elementarnych w taki sposób aby zwiekszyć
¾
liczbe¾ elementów zerowych.
Najwygodzniej jest doprowadzić do sytuacji, w której wszystkie elementy w
wierszu (poza jednym) by÷
y równe zero.
Adam Kiersztyn (KUL)
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
marzec 2013
4 / 13
Operacje elementarne na wyznacznikach
Operacjami elementranymi sa:
¾
1
dodanie dwóch lub wiecej
¾ wierszy do siebie
2
pomnoz·enie wiersza przez pewna¾ sta÷
a¾ oraz dodanie otrzymanego
wiersza do innego
Powyz·sze w÷
asności zachowuja¾ swoja¾ prawdziwość równiez· dla kolumn.
Ponadto nalez·y pamietać,
¾
z·e zamiana dwóch wierszy lub kolumn miejscami
zmienia znak wyznacznika na przeciwny oraz pomnoz·enie pewnego wiersza
lub kolumny przez sta÷
a¾ powoduje pomnoz·enie wyznacznika przez ta¾ sta÷
a.
¾
Adam Kiersztyn (KUL)
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
marzec 2013
5 / 13
Przyk÷
ad rozwiniecia
¾ Laplace’a
1
1
1
2
2
2
3
5
1
1
3
2
= 1 ( 1 )1 +1
= 1 ( 1 )3 +1
1
3
2
4
0
5
1
2
4
Adam Kiersztyn (KUL)
w 2 w 1;w 3 +w 1;w 4 2w 1
=
2 4
4
1
0
2
4
=
11
k 3 +2k 1
=
2 11
0
5
1
1
0
0
0
2
4
0
4 4=
2
0
5
1
1
2
4
0
4
11
0
1
4
1
2
=
=
38
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
marzec 2013
6 / 13
Macierz odwrotna
Dla kaz·dej macierzy kwadratowej, której wyznacznik jest róz·ny od zera
moz·na wyznaczyć macierz odwrotna.
¾ Macierza¾ odwrotna¾ do macierzy
kwadratowej A jest macierz A 1 spe÷
niajaca
¾ poniz·sze równanie
A A
1
=A
1
A = I,
gdzie I oznacza macierz jednostkowa.
¾ Macierz odwrotna¾ do macierzy A
moz·na wyznaczać m. in. za pomoca¾ nastepuj
¾ acego
¾
wzoru
1
DT ,
det A
gdzie D jest macierza¾ dope÷
nień algebraicznych.
A
Adam Kiersztyn (KUL)
1
=
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
marzec 2013
7 / 13
Dzia÷
ania na macierzach a wartość wyznacznika
Jeśli det A = a, det B = b, det A 1 = c i macierze sa¾ tego samego stopnia
to zachodza¾ nastepuj
¾ ace
¾ równości
det (A + B ) = a + b
det (A B ) = a b
det C = c =
1
,
a
stad
¾
det A det A
Adam Kiersztyn (KUL)
1
= det A A
1
= det I = 1
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
marzec 2013
8 / 13
Przyk÷
ad wyznaczania macierzy odwrotnej
Niech
2
3
1 2 3
A=4 3 2 1 5
2 1 2
×atwo sprawdzamy, z·e det A = 8 zatem istnieje macierz odrotna.
Wyznaczmy elementy macierzy D
2 1
d11 = ( 1)1 +1
= 3;
1 2
3 1
d12 = ( 1)1 +2
= 4;
2 2
3 2
d13 = ( 1)1 +3
= 1
2 1
itd
Adam Kiersztyn (KUL)
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
marzec 2013
9 / 13
Przyk÷
ad wyznaczania macierzy odwrotnej c.d.
Ostatecznie stwierdzamy, z·e macierz D jest
2
3
4
4
D=4 1
4 8
stad
¾
DT
i ostatecznie
A
1
=
Adam Kiersztyn (KUL)
2
3
14
4
8
1
2
3
4
4
=
1
1
4
3
1
4
3
równa
3
1
3 5
4
3
4
8 5
4
3 2
4
8 5=4
4
1
2
1
8
3
8
1
8
1
2
1
2
3
8
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
3
1 5
1
2
marzec 2013
10 / 13
Równania macierzowe
Macierz odwrotna odgrywa bardzo zanczac
¾ a¾ role¾ w rozwiazywaniu
¾
równań
macierzonych. Mnoz·enie przez macierz odwrotna¾ jest odpowienikiem
dzielenia w ciele liczb rzeczywistych. Nalez·y jednak pamietać,
¾
z·e iloczyn
macierzy nie jest przemienny i dlatego istotna jest kolejność wystepowania
¾
macierzy w zapisie uk÷
adu równań.
Za÷
óz·my, z·e chcemy rozwiazać
¾
równanie
AXB + C = D
gdzie A, B, C , D sa¾ nieosobliwymi macierzami kwadratowymi tego samego
stopnia. W celu wyznaczenia niewiadomej macierzy X musimy postepować
¾
w nastepuj
¾ acy
¾ sposób:
Adam Kiersztyn (KUL)
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
marzec 2013
11 / 13
Równania macierzowe c.d.
Najpierw przenosimy macierz C na druga¾ strone,
¾ czyli odejmujemy macierz
C stronami. Otrzmyujemy wówczas
AXB = D
C
nastepnie
¾
mnoz·ymy oba rówania z lewej strony przez A
strony przez B 1 i otrzymujmemy
A
1
AXBB
1
=A
1
(D
C) B
1
oraz z prawej
1
stad
¾ wykorzystujac
¾ poznana¾ wcześniej w÷
asność otrzymujemy
1
IXI = A
(D
1
C) B
Ostatecznie wykorzystujemy fakt, z·e macierz jednostkowa jest elementem
neutralnym mnoz·enia i mamy
X =A
Adam Kiersztyn (KUL)
1
(D
C) B
1
.
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
marzec 2013
12 / 13
Dziekuj
¾ e¾ za uwage¾ i z·ycze¾ spokojnych Świat.
¾
Adam Kiersztyn (KUL)
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
marzec 2013
13 / 13