Badania operacyjne

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z
przedmiotu:
Badania operacyjne
Temat ćwiczenia:
Problemy przydziału
Opracował:
Dr inż. Artur Berliński
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki
Szczecin 2011
>22<
Problemy przydziału
Problem przydziału oznacza odpowiednią alokację szeroko pojętych zasobów. Najczęściej
chodzi o przydział zadań produkcyjnych do poszczególnych miejsc pracy, optymalny przez
wzgląd na jedno z kryteriów, jak np. minimalizacja kosztów lub czasu wykonania zadań
planowych czy też maksymalizacja efektów – ilości lub wartości wyprodukowanych dóbr.
Zadanie optymalnego przydziału – problem najkorzystniejszego skojarzenia n środków z m
celami, przy czym każdy środek może być użyty tylko jeden raz.
Założenia klasycznego zadania przydziału:
¾ n - liczba środków (miejsc produkcyjnych)
¾ m - liczba celów (wyrobów, zadań)
¾ xij - zmienne decyzyjne; xij =1 jeżeli i-ty cel jest realizowany przez j-ty środek; xij =0 jeżeli
i-ty cel nie jest realizowany przez j-ty środek; [i=1,2,…,m; j=1,2,…,n;]
¾ cij - parametr problemu; korzyść związana z realizacją i-tego celu przez j-ty środek
[i=1,2,…,m; j=1,2,…,n;]
Zadanie przydziału – model decyzyjny (n > m), nadwyżka środków nad celami
>23<
Zadanie przydziału – model decyzyjny (n < m), nadwyżka celów nad środkami
Problem przydziału można także rozpatrywać w sposób ilościowy. Parametrami modelu będą
wówczas następujące wielkości:
¾ i – indeks celu, wyrobu lub czynności
¾ j – indeks środków lub miejsca produkcji
¾ m – ilość wyrobów (czynności) do wykonywania.
¾ n – ilość miejsc produkcyjnych (stanowisk, maszyn, zakładów, fabryk).
¾ Ci ( i = 1, 2,..., m) – założona wielkość produkcji j-tego wyrobu.
¾ Bj ( j = 1, 2,..., n) – dopuszczalny czas pracy i-tego miejsca.
Zadanie przydziału – ilości czasu pracy
Funkcja celu (minimalizacja łącznego czasu pracy wszystkich miejsc przy produkcji wszystkich
wyrobów):
m
n
U ( x) = ∑∑ xij
i =1 j =1
Ograniczenia:
n
∑x
j =1
ij
m
∑a
i =1
ij
≤ Bi
i=1...n (bilans czasu pracy stanowisk)
xij ≥ C j
j=1…m (bilans wielkości produkcji)
Parametr:
¾ aij – wydajność i-tego miejsca przy wykonywaniu j-tego wyrobu ( np. szt./min. ).
Zmienna decyzyjna:
¾ xij –czas pracy i-tego miejsca przy wykonywaniu j-tego wyrobu
>24<
Zadanie przydziału - liczby zadań
Funkcja celu:
m
n
U ( x) = ∑∑ aij xij , (minimalizacja łącznego czasu pracy wszystkich
i =1 j =1
miejsc przy produkcji wszystkich wyrobów)
lub
m
n
U ( x) = ∑∑ xij , (maksymalizacja łącznej produkcji)
i =1 j =1
Ograniczenia:
n
∑a
j =1
ij
m
∑x
i =1
ij
xij ≤ Bi
≥ Cj
i=1...n (bilans czasu pracy stanowisk)
j=1…m (bilans wielkości produkcji)
aij – czas pracy i-tego miejsca przy wykonywaniu j-tego wyrobu (np. min.).
>25<
xij - ilość j-tego wyrobu jaką należy wytworzyć na i-tym miejscu –(zmienna decyzyjna).
Problemy do rozwiązania w ramach ćwiczeń laboratoryjnych
Zadanie 1
Przedsiębiorstwo zatrudnia dwoje pracowników, którym muszą zostać przydzielone
zadania. Czas wykonania każdego zadania (w godz.) przez pracowników przedstawia tabela.
Zad
Pracownicy
ania
P1
P2
Z1
0,8
0,6
Z2
2,0
1,5
Z3
0,7
0,6
Z4
0,4
0,2
Z4
0,2
0,4
Z6
0,3
0,5
Każdy pracownik może wykonywać tylko trzy zadania. Każde zadanie musi być
wykonywane przez tylko jednego pracownika. Należy ułożyć LZD, którego rozwiązaniem
będzie takie przyporządkowanie zadań pracownikom, aby zminimalizować łączny czas pracy.
Zadanie 2
Trzy rodzaje koparek mogą wykonywać 4 rodzaje prac. Przedsiębiorstwo dysponuje
dziesięcioma koparkami typu A, czterema typu B oraz piętnastoma typu C. Zapotrzebowanie
na koparki przy pracach I rodzaju wynosi 5 koparek, przy pracach II rodzaju – 8, III rodzaju
10 i przy pracach IV rodzaju – 6 koparek dowolnego typu. Dzienna wydajność koparek
m3/dzień) podana została w tabeli.
Dokonać (posługując się algorytmem transportowym) przydziału koparek do poszczególnych
typów prac tak, aby zmaksymalizować wielkość wykonanego w ciągu dnia wykopu.
Zadanie 3
Firma realizujące kompleksową budowę siłowni wiatrowych realizuje jednocześnie 6
podobnych przedsięwzięć inwestycyjnych, z których każdy jest realizowany w 4 etapach:
budowa dróg dojazdowych i fundamentów, montaż masztów i gondoli, przyłączenie do sieci
elektroenergetycznej oraz testowanie i uruchomienie. Etapy te są realizowane przez 4
wyspecjalizowane zespoły: A, B, C, D. Możliwości realizacji zleceń są jednak ograniczone ze
względu na istniejące zasoby. Poszczególne przedsięwzięcia różnią się korzyściami
(zyskiem), jakie przynoszą firmie oraz pracochłonnością. Dane o poszczególnych
przedsięwzięciach (w jednostkach pieniężnych oraz jednostkach czasu) zawarto w tabeli.
>26<
Każda z realizowanych inwestycji powinna być realizowana i zakończona w tym samym
okresie czasu. Pewne przedsięwzięcia są ze sobą powiązane następującymi
uwarunkowaniami:
a) realizacja inwestycji 2 uniemożliwia realizację inwestycji 5,
b) realizacja inwestycji 1 wymaga realizacji inwestycji 6,
c) jednoczesna realizacja inwestycji 3, 4, 5 jest niemożliwa.
Opracować model decyzyjny przy założeniu, że należy znaleźć optymalny plan realizacji
inwestycji pozwalający na maksymalizację zysku przedsiębiorstwa. Rozwiązanie znaleźć za
pomocą programu WinQSB. Przyjąć xi=1 – realizacja i-tego przedsięwzięcia, xi=0 –
odrzucenie realizacji i-tego przedsięwzięcia (binarne zmienne decyzyjne).
Zadanie 4
Określić optymalny przydział 5 robotników do wykonywania czterech prac, mając dana w
tabeli poniżej liczbę braków, jaka wytwarzają w ciągu tygodnia (znak – oznacza, ze robotnik
nie ma kwalifikacji do wykonywania danej pracy).
Zadanie 5
Asortyment trzech wyrobów można wykonywać na trzech stanowiskach roboczych. Znając
jednostkowe zużycie czasu pracy maszyn, jednostkowe koszty produkcji oraz ceny wyrobów.
Ustalić przydział produkcji poszczególnym stanowiskom tak, aby zysk ze sprzedaży wyrobów
był możliwie najwyższy, przy założeniu że: dopuszczalny czas pracy każdej maszyny wynosi
480 minut oraz każdego wyrobu Należy wyprodukować co najmniej 20 szt.
Maszyny
M1
M2
M3
Zużycie czasu pracy [min]
W1
W2
W3
12
8
16
14
10
15
15
12
18
Ceny wyrobów [zł/szt]
>27<
Jednostkowy koszt produkcji [zł/szt]
W1
W2
W3
21
24
13
20
27
11
19
26
14
25
32
17