Uwagi do unitaryzacji zmiennych w referencyjnym systemie

Transkrypt

PRZEGLĄD STATYSTYCZNY
R. LXI – ZESZYT 2 – 2014
JACEK SZANDUàA
UWAGI DO UNITARYZACJI ZMIENNYCH
W REFERENCYJNYM SYSTEMIE GRANICZNYM
1. WSTĉP
Jednym z podstawowych etapów wiĊkszoĞci badaĔ empirycznych jest zde¿niowanie badanego obiektu oraz zjawiska. Zjawiska obserwowane w obiektach moĪna
podzieliü na (Jajuga, 1993):
a) proste – gdy do wyczerpującego opisu zjawiska wystarczy jedna zmienna diagnostyczna,
b) záoĪone – gdy do wyczerpującego opisu naleĪy uĪyü wielu zmiennych diagnostycznych.
Zjawisko záoĪone moĪna zde¿niowaü jako abstrakcyjny twór obrazujący stan jakoĞciowy rzeczywistych obiektów, opisywany przez wiele (wiĊcej niĪ jedną) zmiennych
zwanych diagnostycznymi (Kukuáa, 2000). Przykáadem zjawiska záoĪonego moĪe byü
np. kondycja ¿nansowa przedsiĊbiorstwa, poziom Īycia spoáeczeĔstwa, stan pogody.
W zaleĪnoĞci od rodzaju oddziaáywania poszczególnych zmiennych diagnostycznych
na zjawisko záoĪone moĪna podzieliü je na stymulanty, destymulanty i nominanty. Do
stymulant zalicza siĊ te zmienne, których wzrost wartoĞci oznacza korzystny rozwój
zjawiska, natomiast spadek oznacza sytuacjĊ niekorzystną. Przeciwną interpretacjĊ
mają destymulanty, dla których wzrost wartoĞci oznacza sytuacjĊ niekorzystną dla
zjawiska, a spadek korzystną. Nominanty charakteryzują siĊ pewnym optymalnym
(nominalnym) poziomem, od którego jakiekolwiek odchylenia w górĊ czy w dóá traktowane są jako niekorzystnie wpáywające na okreĞlone zjawisko. NaleĪy zauwaĪyü,
Īe ze wzglĊdu na koniecznoĞü okreĞlenia wpáywu zmiennej na zjawisko záoĪone, ta
sama zmienna w poszczególnych przypadkach moĪe przyjąü róĪny charakter. Np.
poziom páac moĪe byü traktowany jako stymulanta dla osoby poszukującej pracy,
a jako destymulanta dla inwestora rozwaĪającego ulokowanie nowego zakáadu.
W celu uproszczenia opisu zjawiska záoĪonego czĊsto korzysta siĊ z zaproponowanej przez Hellwiga (1968) tzw. zmiennej syntetycznej. Zmienna syntetyczna
jest agregatem záoĪonym ze zmiennych diagnostycznych. Celem jej budowy jest na
ogóá przedstawienie za pomocą jednej wartoĞci stanu zjawiska záoĪonego. Koncepcja
zmiennej syntetycznej byáa wielokrotnie podejmowana, miĊdzy innymi w pracach
Bartosiewicz (1976), Strahl (1978), CieĞlak (1990), Maliny i Zeliasia (1997), Batóga
(2003) czy Kowalewskiego (2006). Alternatywne podejĞcia do analizy wielokryte-
148
Jacek Szanduáa
rialnej stanowią m. in. metody ELECTRE (Roy, 1968; Corrente, Greco, SáowiĔski,
2013), PROMETHEE (Brans, 1982; Behzadian i inni, 2010) czy MACBETH (Bana
e Costa, Vansnick, 1994).
WartoĞci zmiennych diagnostycznych czĊsto wyraĪone są w róĪnych jednostkach, co uniemoĪliwia ich bezpoĞrednią agregacjĊ (np. w zá, zá/szt, dni, niektóre są
pozbawione mian). Aby doprowadziü zmienne diagnostyczne do wzajemnej porównywalnoĞci korzysta siĊ z normalizacji. Proces normalizacji pozbawia zmienne mian,
pozwala równieĪ zamieniü destymulanty i nominanty w stymulanty oraz zrównaü ze
sobą zakresy zmiennoĞci poszczególnych zmiennych.
Artykuá stanowi polemikĊ z propozycją Strahl, Walesiaka (1997) dotyczącą normalizacji zmiennych w referencyjnym systemie granicznym. Jego celem jest wykazanie niekorzystnych implikacji stosowania wzorów na unitaryzacjĊ proponowanych
przez Strahl i Walesiaka. W literaturze przedmiotu brak jest dyskusji metodologicznej
nad tą propozycją. Inne prace poruszające tĊ problematykĊ stanowią jedynie odesáanie
do ich pracy (np. Piontek, 2004) bądĨ są egzempli¿kacją przedstawionej tam metody
(np. Wrzaszcz, 2012). Konsekwencją krytyki dotychczas stosowanego podejĞcia jest
rede¿nicja pojĊcia progu veta oraz wyprowadzenie nowych wzorów na unitaryzacjĊ
w sytuacji referencyjnego systemu granicznego. Przedstawione mody¿kacje są zilustrowane przykáadem empirycznym.
2. METODOLOGIA
2.1. NORMALIZACJA
Szereg procedur normalizacyjnych moĪna ująü w ogólny wzór (GrabiĔski, 1988):
x a ¬ p
,
x 'i k i

b ®
(1)
gdzie: x’i – i-ta znormalizowana wartoĞü zmiennej X; xi – i-ta wartoĞü zmiennej X; a,
b, p, k – parametry normalizacji.
NajczĊĞciej stosowaną procedurą normalizacyjną jest standaryzacja przebiegająca
wedáug wzoru:
x 'i xi x
,
s
(2)
gdzie: x – Ğrednia arytmetyczna zmiennej X, s – odchylenie standardowe zmiennej X.
149
Uwagi do unitaryzacji zmiennych w referencyjnym systemie granicznym
Standaryzacja pozwala pozbyü siĊ jednostki zmiennej. Zmienna zestandaryzowana
ma zerową Ğrednią i jednostkową wariancjĊ. W wyniku badaĔ przeprowadzonych
przez T. GrabiĔskiego standaryzacja okazaáa siĊ jedną z lepszych metod normalizacji
z uwagi na „wysokie skorelowanie zmiennej syntetycznej ze zmiennymi pierwotnymi
oraz (...) niewielką odlegáoĞü taksonomiczną zmiennej syntetycznej od zmiennych pierwotnych” (GrabiĔski, 1989), co pozwala stwierdziü, Īe standaryzacja przenosi bez
znacznych znieksztaáceĔ zmiennoĞü zmiennych pierwotnych na zmiennoĞü zmiennej
syntetycznej
Budowa zmiennej syntetycznej na podstawie zmiennych standaryzowanych
wymaga, aby:
1. Wszystkie zmienne byáy stymulantami. W przypadku, gdy zmienne nie są stymulantami, naleĪy je przed standaryzacją przeksztaáciü na stymulanty.
2. Zmienne nie posiadaáy progów veta. Standaryzacja zmiennych posiadających
progi veta jest báĊdem, gdyĪ wartoĞci spoza progu czĊsto powinny byü traktowane
w ten sam sposób (np. jako jednakowo záe), podczas gdy standaryzacja zawsze
zachowuje zróĪnicowanie.
W przypadku wystĊpowania progów veta rozwiązaniem problemu normalizacji
moĪe byü unitaryzacja.
2.1. UNITARYZACJA
Strahl i Walesiak (1997) wyróĪniają nastĊpujące typy zmiennych mierzonych na
skali przedziaáowej i ilorazowej:
1. Stymulanty:
a) S1 – bez progu veta,
S
b) S2 – z progiem veta x0 2j .
2. Destymulanty:
a) D1 – bez progu veta,
D
b) D2 – z progiem veta x0 j2 ,
3. Nominanty:
N
a) N1 – z wartoĞcią nominalną x0 j1 ,
1
2
N
N
b) N2 – z zalecanym przedziaáem wartoĞci ograniczonym progami veta x0 j2 i x0 j2 ,
N
b) N3 – z okreĞloną wartoĞcią nominalną x0 j3 i dopuszczalnym przedziaáem wartoĞci
1
2
N
N
ograniczonym progami veta x0 j3 i x0 j3 .
PoniĪej przedstawione są wzory sáuĪące unitaryzacji poszczególnych typów
zmiennych zaproponowane w pracy Strahl, Walesiaka (1997).
150
Jacek Szanduáa
I. Stymulanty
1. j S1
zij
xij min{xij }
i
max{xij } min{xij }
(3)
,
i
i
zij [0,1],
gdzie: xij – wartoĞü j-tej zmiennej w i-tym obiekcie, zij – znormalizowana wartoĞü j-tej
zmiennej w i-tym obiekcie,
2. j S2
zij
xij min{xij }
i
GOD xij t x0S2j
°
max
{
x
}
min
{
x
}
° i
ij
ij
i
,
® x max{x }
ij
ij
S2
°
i
GOD xij x0 j
° max{x } min{x }
ij
ij
i
¯ i
(4)
zij [–1,1].
II. Destymulanty
1. j D1
zij
max{xij } xij
i
max{xij } min{xij }
i
,
(5)
i
zij [0,1],
2. j D2
zij
zij [–1,1].
max{xij } xij
i
GOD
°
{xij } min{xij }
° max
i
i
® min{x } x
ij
ij
°
i
GOD
° max{xij } min{xij }
i
¯ i
xij d x0Dj2
,
D2
0j
xij ! x
(6)
151
III. Nominanty
1. j N1
z ij
xij max{xij }
i
°
GOD
i
i
°°
1
GOD
®
° min{xij } xij
i
°
GOD
i
°¯ i
xij x0Nj1
xij
x0Nj1 ,
(7)
xij ! x0Nj1
zij [–1,1].
2. j N2
z ij
xij max{xij }
i
GOD
°
{xij } min{xij }
° max
i
i
°
1
GOD
®
° min{xij } xij
i
°
GOD
i
¯ i
1
xij x0Nj2
1
2
x0Nj2 d xij d x0Nj2 ,
(8)
2
xij ! x0Nj2
zij [–1,1].
3. j N3
zij
zij [–1,1].
xij max{xij }
i
°
{xij } min{xij }
° max
i
i
° x min{x }
ij
ij
i
°
i
°° i
®
1
° max{x } x
ij
ij
°
i
° i
x
xij
min
{
}
ij
°
i
° max{x } min{x }
ij
ij
°¯ i
i
1
GOD
xij x0Nj3
GOD
x0Nj3 d xij x0Nj3
GOD
1
xij
x0Nj3
,
2
GOD
x0Nj3 xij d x0Nj3
GOD
xij ! x0Nj3
2
(9)
152
Jacek Szanduáa
D]PLHQQDW\SX61
E]PLHQQDW\SX62
1
1
A S2
0
xmin
x S02
xmax
x 0D2
xmax
B S2
0
xmin
xmax
-1
G]PLHQQDW\SX'2
F]PLHQQDW\SX'1
1
1
A D2
xmin
0
B D2
0
xmin
xmax
H]PLHQQDW\SX11
-1
I]PLHQQDW\SX12
1
1
xmin
0
x 0N1
xmax
AN
xmin
0
1
2
x 0N
x 0N
2
2
1
AN
BN
BN
-1
1
-1
2
2
J]PLHQQDW\SX13
1
A N3
B N3
D N3 C N3
0
1
2
N
N
xmin x 0 3 x 0 3
x 0N
3
3
xmax
EN
FN3 3
-1
Rysunki 1a-g. Unitaryzacja z wykorzystaniem wzorów Strahl, Walesiaka (1997)
ħródáo: opracowanie wáasne.
xmax
153
Rysunki 1a – 1g przedstawiają przebieg unitaryzacji przy wykorzystaniu wzorów
3 – 9. Wzory proponowane przez Strahl i Walesiaka dla zmiennych typu S1 i D1 nie
budzą zastrzeĪeĔ. Przeksztaácenie jest ciągáe. Odcinek [xmin, xmax] w sposób liniowy
zamieniany jest na odcinek [0, 1]. W przypadku zmiennych typu S2 i D2, przy progu
veta pojawia siĊ nieciągáoĞü. Przekroczenie progu powoduje skokowe obniĪenie wartoĞci zmiennej normalizowanej o 1. Wynika to bezpoĞrednio ze wzorów, gdyĪ:
xij max{xij }
xij min{xij }
max{xij } min{xij }
max{xij } min{xij }
min{xij } xij
max{xij } xij
max{xij } min{xij }
max{xij } min{xij }
i
i
i
i
i
i
i
i
i
max{xij } min{xij }
, a BS2 wynosi
i
1 Z kolei na rysunku 1d punkt AD2 osiąga wartoĞü
i
i
min{xij } x0Dj2
i
max{xij } min{xij }
i
(11)
x0S2j min{xij }
i
max{xij } min{xij }
1,
i
i
Punkt AS2 na rysunku 1b osiąga wartoĞü
x0S2j min{xij }
(10)
i
i
i
1 ,
i
, a BD2 =
min{xij } x0Dj2
i
max{xij } min{xij }
i
1 Najprawdopodobniej intencją
i
Strahl i Walesiaka byáo swego rodzaju „ukaranie” zmiennej po przekroczeniu progu
veta. W tym miejscu rodzą siĊ jednak wątpliwoĞci co do:
a) wielkoĞci kary – dlaczego odejmowana jest staáa o wartoĞci 1?
b) przebiegu zmiennej znormalizowanej po przekroczeniu progu veta.
W procedurze zaproponowanej przez Strahl i Walesiaka dla zmiennych typu S2
i D2 przekroczenie progu veta o dowolnie maáą wartoĞü karane jest zmniejszeniem
wartoĞci zmiennej znormalizowanej o jeden. JeĪeli przyjąü, Īe przekroczenie progu
veta jest dyskwali¿kujące – tak naleĪy interpretowaü odjĊcie staáej – to jaki sens ma
jeszcze dodatkowe róĪnicowanie wartoĞci zdyskwali¿kowanej zmiennej? RóĪnicowanie wartoĞci wynika z liniowej zaleĪnoĞci miĊdzy zmiennymi przed i po unitaryzacji
S
S
w przedziaáach [ xmin , x0 2 ) – w przypadku S2 – oraz ( x0 2 , xmax ] – w przypadku D2. Czy
wykres zmiennej znormalizowanej po przekroczeniu progu veta nie powinien byü
páaski?
154
Jacek Szanduáa
Wzory dla nominant budzą jeszcze wiĊcej wątpliwoĞci. W przypadku zmienx0Nj1 max{xij }
i
nej typu N1 wartoĞü punktu AN1 (patrz rys. 1e) wynosi
max{xij } min{xij }
N1
0j
,
i
i
min{xij } x
i
a B N1=
Odchylenie od wartoĞci nominalnej jest wiĊc „karane”
max{xij } min{xij }
i
i
w tym przypadku o wiĊcej niĪ 1, dodatkowo w róĪny sposób w zaleĪnoĞci od tego
czy wartoĞü zmiennej jest wiĊksza, czy mniejsza od wartoĞci nominalnej.
Podobnie rzecz wygląda w przypadku zmiennych typu N2. WartoĞü punktu AN2
1
x0Nj2 max{xij }
i
(patrz rys. 1f) wynosi
max{xij } min{xij }
2
, a BN 2 =
i
i
min{xij } x0Nj2
i
max{xij } min{xij }
Ponownie
i
i
odchylenie od przedziaáu nominalnego „karane” jest o wiĊcej niĪ 1 i ponownie
w róĪny sposób w zaleĪnoĞci od tego, z której strony nastĊpuje wyjĞcie poza przedziaá
nominalny.
W przypadku zmiennych typu N3 (nominant z okreĞlonym przedziaáem dopuszczalnym ograniczonym progami veta) – patrz rys. 1g – pojawiają siĊ aĪ trzy punkty
nieciągáoĞci: dla wartoĞci nominalnej i obu progów veta. W otoczeniu wartoĞci nominalnej x0N3 pojawia siĊ skok w wartoĞci zmiennej normalizowanej, dla którego autor
nie widzi uzasadnienia. Co prawda wartoĞü zmiennej przed normalizacją nie jest na
optymalnym poziomie, ale jednak w przedziale dopuszczalnym. Zmiany wartoĞci
zmiennej znormalizowanej powinny byü ciągáe. Do tego „kara” nakáadana na zmienną
znormalizowaną zaleĪy tu od tego czy róĪnica wartoĞci zmiennej przed normalizacją
od wartoĞci nominalnej jest:
a) dodatnia – wówczas wielkoĞü skoku w punkcie nieciągáoĞci (wielkoĞü „kary”)
wynosi 1 AN3
x0Nj3 min{xij }
i
max{xij } min{xij }
, nastĊpnie zmiany są liniowe aĪ do osią-
i
i
N 32
0j
gniĊcia progu veta x ,
b) ujemna – w takim przypadku „kara” wynosi 1 BN3
1
max{xij } x0Nj3
i
max{xij } min{xij }
i
, po
i
N
czym zmiany są liniowe aĪ do progu veta x0 j3 .
Po przekroczeniu progu veta, zmienna znormalizowana jest dodatkowo skokowo
zmniejszana o jeden, po czym – przy coraz wiĊkszym oddalaniu siĊ od progów veta
– przebieg wykresu ponownie jest liniowy.
155
W dalszej czĊĞci przedstawione zostaną nowe propozycje unitaryzacji zmiennych
w referencyjnym systemie granicznym, pozbawione niedogodnoĞci zawartych we
wzorach Strahl i Walesiaka.
3. CHARAKTERYSTYKA PROGÓW VETA
Aby dokonaü mody¿kacji wzorów dla unitaryzacji w referencyjnym systemie
granicznym, kluczową kwestią jest wyjaĞnienie, czym jest próg veta. Zdaniem autora
moĪna rozróĪniü nastĊpujące warianty progów veta:
1. Przekroczenie progu veta oznacza, Īe obiekt nie speánia minimalnych wymagaĔ.
W tej sytuacji zmiennej syntetycznej – bĊdącej wypadkową zmiennych znormalizowanych – naleĪy przypisaü minimalną wartoĞü (np. 0) bez wzglĊdu na to,
jakie wartoĞci mają inne zmienne opisujące obiekt. Na przykáad: uczeĔ otrzymuje
ocenĊ niedostateczną z jednego przedmiotu i musi powtarzaü caáy rok, potencjalny
kredytobiorca spóĨnia siĊ ze spáatą dáugu okreĞlonej wielkoĞci (zostaá wpisany
do rejestru dáuĪników), co powoduje dyskwali¿kacjĊ jego wniosku kredytowego.
Inne przykáady to np. dostawy towarów szybko psujących siĊ. JeĪeli po 3 dniach
100% towaru ulega zepsuciu, to potencjalny dostawca powinien zostaü zdyskwali¿kowany, jeĪeli nie jest w stanie zagwarantowaü szybszego terminu dostawy.
Podobnie rzecz siĊ ma, gdy dostarczymy dokumenty na przetarg po terminie.
Zmienne, dla których wystĊpują progi veta w wariancie pierwszym, mogą byü
przydatne do wstĊpnej ¿ltracji i odrzucenia zbyt sáabych obiektów bez koniecznoĞci normalizowania pozostaáych zmiennych opisujących obiekt.
2. Przekroczenie progu veta nie pociąga dodatkowych konsekwencji. Tu moĪna
rozwaĪyü jeszcze dwie sytuacje:
a) przekroczenie progu veta nie przynosi dodatkowych korzyĞci – na przykáad
oceniając przydatnoĞü poszczególnych marek samochodów moĪna ustaliü próg
veta dla prĊdkoĞci maksymalnej pojazdu. To czy auto jest w stanie rozwinąü
prĊdkoĞü maksymalną 160 czy 250 km/h nie ma znaczenia, jeĪeli uĪytkownik nie zamierza przekraczaü 140km/h (próg veta). Podobne wáaĞciwoĞci ma
wspóáczynnik bieĪącej páynnoĞci ¿nansowej. WiĊkszoĞü ¿nansistów zgadza
siĊ, Īe powinien on przekraczaü wartoĞü 1,2 (zobacz np. SierpiĔska, Jachna,
2004). MoĪna przyjąü, Īe, gdy wskaĨnik bieĪącej páynnoĞci ¿nansowej jest
wyĪszy niĪ ta (lub inna wyznaczająca próg veta) wartoĞü, nie ma to juĪ znaczenia – bieĪąca páynnoĞü nie jest zagroĪona. W opisywanej sytuacji przekroczenie progu veta oznacza wkroczenie w obszar optymalnych wartoĞci.
MoĪna wiĊc stwierdziü, Īe taki próg veta okreĞla nominantĊ z jednostronnie
otwartym przedziaáem nominalnym.
b) Przekroczenie progu veta nie powoduje dodatkowych strat. W takiej sytuacji
próg veta wyznacza wartoĞü maksymalnej straty – zmiennej znormalizowanej
naleĪy przypisaü moĪliwie najniĪszą wartoĞü (np. 0). Przekroczenie progu
veta nie oznacza jednak caákowitej dyskwali¿kacji obiektu. Przykáadem
156
Jacek Szanduáa
moĪe byü np. ocena miejsca wypoczynku letniego. Niech wĞród zmiennych
wpáywających na wybór miejsca wypoczynku bĊdzie temperatura wody
w morzu (jeziorze, rzece), a próg veta wynosi 20qC. Temperatura akwenu
poniĪej progu veta oznacza, Īe nie popáywamy. Nie oznacza to jednak, Īe
taka lokalizacja musi zostaü de¿nitywnie wykluczona ze zbioru potencjalnych
miejsc wypoczynku. Jedynie w wymiarze okreĞlającym moĪliwoĞci páywania
zostanie jej przyznana minimalna wartoĞü.
3. Przekroczenie progu veta oznacza znaczne pogorszenie atrakcyjnoĞci obiektu. Na
przykáad: dla osoby odĞnieĪającej chodnik gruboĞü pokrywy ĞnieĪnej jest destymulantą. Przyjmijmy, Īe do gruboĞci pokrywy ĞnieĪnej wynoszącej 10 cm problem
uprzątania Ğniegu jest wprost proporcjonalny do jej gruboĞci, a po przekroczeniu
tej wartoĞci – ze wzglĊdu np. na zbijanie siĊ Ğniegu – zaleĪnoĞü jest funkcją
kwadratową. Podobnie ma siĊ sprawa z budową wysokoĞciowców. Budynki do
3-piĊter jest stosunkowo áatwo postawiü. WyĪszy budynek trzeba np. wyposaĪyü
w windĊ. Im jest on wyĪszy tym wind powinno byü wiĊcej i ich prĊdkoĞü jazdy
powinna byü szybsza. NaleĪy teĪ wykorzystaü inne technologie budowy np. ze
wzglĊdu na ciĊĪar budowli a czasami nawet aerodynamikĊ. Tego typu progi veta
okreĞlają równieĪ nominantĊ z zalecanym przedziaáem wartoĞci. W zalecanym
przedziale przeksztaácenie unitaryzacyjne jest funkcją staáą z wartoĞcią równą
jeden. WyjĞcie poza zalecany przedziaá – przekroczenie progu veta – oznacza
pogorszenie atrakcyjnoĞci obiektu. Funkcja staáa zmienia siĊ w np. funkcjĊ liniową
rosnącą lub malejącą – w zaleĪnoĞci od tego, który próg (dolny czy górny) zostaá
przekroczony.
Opisane powyĪej warianty progów veta dla poszczególnych zmiennych mogą
wystąpiü samodzielnie lub áącznie. MoĪliwoĞü ta w kombinacji z trzema dostĊpnymi
typami zmiennych (stymulanta, destymulanta, nominata), powoduje, Īe kaĪda sytuacja
wymaga odrĊbnego opisu za pomocą osobnych wzorów. Autor postuluje, aby w kaĪdej sytuacji speánione byáy nastĊpujące warunki:
1. CiągáoĞü przeksztaácenia unitaryzacyjnego.
2. Przeksztaácenie przedziaáu [xmin, xmax] na przedziaá [0, 1].
3. WartoĞciom najlepszym/optymalnym przypisuje siĊ wartoĞü 1, a najgorszym wartoĞü 0.
Przykáad przeksztaácenia speániającego powyĪsze postulaty dla nominanty
z 3 wariantami progów veta przedstawia rys. 2.
Jak widaü na rys. 2, przeksztaácenia dla progu veta w wariancie 1. oraz 2. w wersji b nie róĪnią siĊ od siebie dla pojedynczej zmiennej. Próg veta w wariancie 3.
wymaga okreĞlenia wartoĞci zmiennej znormalizowanej dla progu veta (punkt B)
oraz przebiegu funkcji normalizacyjnej po przekroczeniu progu veta. Z tego wzglĊdu
poniĪej przedstawione zostaną tylko wzory na unitaryzacjĊ zmiennych w przypadku
wystĊpowania progów veta w wariancie 2.
157
1
B
0
xmin
xA
xB
xC
xD
xE
xmax
Rysunek 2. Przykáadowe przeksztaácenie unitaryzacyjne nominanty z 3 wariantami progów veta
Legenda: xmin – wartoĞü minimalna zmiennej, xA – próg veta: wariant 1, xB – próg veta: wariant 3,
xC – dolna wartoĞü zalecanego przedziaáu wartoĞci, xD – górna wartoĞü zalecanego przedziaáu
wartoĞci, xE – próg veta: wariant 2, xmax – wartoĞü maksymalna zmiennej, B – wartoĞü zmiennej
znormalizowanej dla progu veta w wariancie 3.
4. PROPOZYCJA UNITARYZACJI W REFERENCYJNYM SYSTEMIE GRANICZNYM
Ze wzglĊdu na wystĊpowanie róĪnic w poniĪszej propozycji unitaryzacji w stosunku do propozycji Strahl i Walesiaka wprowadzone zostają nastĊpujące oznaczenia:
1. Stymulanty:
a) S0 – bez progu veta.
b) Sa – z progiem veta w wariancie 2a x0S j .
a
S
c) Sb – z progiem veta w wariancie 2b x0 j .
b
d) Sa,b – z progami veta w wariantach 2a – x0S j oraz 2b – x0S j .
a
b
2. Destymulanty:
a) D0 – bez progu veta.
b) Da – z progiem veta x0Dj w wariancie 2a.
a
c) Db – z progiem veta x0Dj w wariancie 2b.
b
d) Da,b – z progami veta w wariantach 2a – x0Dj oraz 2b – x0Dj .
a
b
3. Nominanty:
a) N0 – z zalecanym przedziaáem wartoĞci ograniczonym wartoĞciami x0Nj i x0Nj przy
D
czym: x0Nj d x0Nj .
D
G
G
158
Jacek Szanduáa
W przypadku, gdy granice przedziaáu są równe, mamy do czynienia z nominantą
o ustalonej wartoĞci nominalnej.
N
b) Nb1 – z zalecanym przedziaáem jak dla N0 oraz z progiem veta x0 j w wariancie
N
N
2b, przy czym x0 j < x0 j .
b1
b1
D
N
c) Nb2 – z zalecanym przedziaáem jak dla N0 oraz z progiem veta x0 j w wariancie
b2
2b, przy czym x0Nj > x0Nj .
b2
G
d) Nb1-b2 – z zalecanym przedziaáem jak dla N0 oraz z progami veta w wariantach 2b:
N
N
x 0 jb1 x 0 jD
.
Dla tak zde¿niowanych typów zmiennych proponuje siĊ nastĊpujące przeksztaácenia
unitaryzacyjne:
I Stymulanty
1. j S0
z ij
xij min{xij }
i
max{xij } min{xij }
(12)
,
i
i
2. j Sa
zij
xij min{xij }
i
GOD
° Sa
x
min
{xij }
® 0j
i
°
1
GOD
¯
xij x0Saj
,
(13)
,
(14)
xij x0Sbj , x0Saj ,
(15)
xij t x0Saj
3. j Sb
zij

0
°
Sb
® xij x0 j
° max{x } x Sb
0j
ij
¯ i
zij

0
°
S
° xij x0 bj
® Sa
Sb
° x0 j x0 j
°
1
¯
GOD
xij x0Sbj
GOD
xij t x0Sbj
4. j Sa,b
GOD
GOD
GOD
xij x0Sbj
>
xij ! x0Saj
@
159
II. Destymulanty
1. j D0
zij
max{xij } xij
i
max{xij } min{xij }
,
(16)
i
i
2. j Da

1
° max{x } x
ij
ij
® i
° max{x } x Da
ij
0j
¯ i
zij
GOD
xij d x0Dja
GOD
xij ! x0Dja
,
(17)
3. j Db
z ij
x Db x ij
0j
°
GOD
° Db
® x 0 j PLQ{x ij }
i
°
0
GOD
¯°
D
x ij x 0 jb
(18)
D
x ij t x 0 jb
4. j Da,b
zij

1
° Db
° x0 j xij
® Db
Da
° x0 j x0 j
°
0
¯
GOD
GOD
GOD
xij x0Dja
>
@
xij x0Dja , x0Djb ,
(19)
xij ! x0Djb
III. Nominanty
1. j N0
z ij
xij min{xij }
° ND i
{xij }
° x0 j min
i
°
1
®
° max{xij } xij
° i
° max{xij } x0NjG
¯ i
GOD
xij x0NjD
GOD
xij x0NjD , x0NjG ,
GOD
xij ! x0NjG
>
@
(20)
160
Jacek Szanduáa
2. j Nb1
zij

0
°
N b1
° xij x0 j
°° x0NjD x0Njb1
®
1
°
max
{
x
° i
ij } xij
°
{xij } x0NjG
°¯ max
i
GOD
xij d x0Njb1
GOD
xij x0Njb1 , x0NjD
GOD
xij
>x
ND
0j
, x0NjG
GOD
xij ! x0NjG
GOD
xij x0NjD
GOD
xij x0NjD , x0NjG
@,
(21)
3. j Nb2
zij
xij min{xij }
i
° ND
x
min
{xij }
° 0j
i
°°
1
®
Nb 2
° x0 j xij
° x Nb 2 x NG
0j
° 0j
0
°¯
GOD
xij
>
x
NG
0j
,x
Nb 2
0j
@,
(22)
xij ! x0NjG
GOD
4. j Nb1–b2
zij
xij x0Njb1
° ND
N b1
° x0 j x0 j
°°
1
® Nb 2
° x0 j xij
° x0Njb 2 x0NjG
°
0
¯°
>x
x
GOD
xij x0Njb1 , x0NjD
GOD
xij
GOD
GOD
xij
ND
0j
, x0NjG
NG
0j
Nb 2
0j
,x
@
,
(23)
xij x0Njb1 xij ! x0Njb 2
Dysponując znormalizowanymi wartoĞciami zmiennych diagnostycznych, moĪna
wyznaczyü wartoĞü zmiennej syntetycznej:
m
si
¦w z
j ij
,
(24)
j 1
gdzie: si – wartoĞü zmiennej syntetycznej i-tego obiektu, wj – waga j-tej zmiennej
diagnostycznej.
161
D]PLHQQDW\SX60
E]PLHQQDW\SX6a
3c) zmLHQQDW\SX6b
1
1
1
0
x max
x min
0
x S0a xmax
xmin
0
S
x max
x min x 0 b
G]PLHQQDW\SX6a,b
H]PLHQQDW\SX'0
I]PLHQQDW\SX'a
1
1
1
0
S
x S0a x max
x min x 0 b
0
x min
x max
0
x min x 0Da
x max
J]PLHQQDW\SX'b
K]PLHQQDW\SX'a,b
L]PLHQQDW\SX10
1
1
1
0
x min
D
x 0 b x max
0
D
x 0 b x max
x min x 0Da
0
x min
N
x 0N D x 0 G
M]PLHQQDW\SX1b1
N]PLHQQDW\SX1b2
O]PLHQQDW\SX1b1-b2
1
1
1
0
N
x min x 0 b1 x 0N D x 0N G
x max
0
N
N
x min x 0 D x 0 G
N
x 0 b2 x max
0
x max
x min x 0N b1 x 0N D x 0N G x 0N b2 x max
Rysunki 3a-l. Unitaryzacja z wykorzystaniem wzorów 12 – 23
Wykorzystanie wag przy konstrukcji zmiennej syntetycznej pozwala na uwzglĊdnienie preferencji w stosunku do zmiennych diagnostycznych. WiĊksza waga oznacza
wiĊkszy transfer informacji zawartej w zmiennej diagnostycznej postrzeganej jako
bardziej istotnej dla oceny zjawiska. Problem doboru wag wj wykracza poza zakres
artykuáu i nie bĊdzie tu szerzej omawiany. NajczĊĞciej stosowany jest system wag
162
Jacek Szanduáa
jednakowych, równych 1/m. Mogą teĪ byü ustalane na podstawie opinii ekspertów,
lub metod statystycznych (zobacz np. Borys, 1984; Abrahamowicz, Zając, 1986;
Milligan, 1989).
5. PRZYKàAD EMPIRYCZNY
W celu zilustrowania praktycznego zastosowania proponowanych przeksztaáceĔ
i porównania wyników z wczeĞniejszymi propozycjami, wykorzystany zostanie przykáad uĪyty w pracy Strahl i Walesiaka. Na podstawie 7 zmiennych diagnostycznych
dla 14 banków w Polsce wyznaczone zostaną wartoĞci zmiennych syntetycznych.
WartoĞci te posáuĪą konstrukcji rankingu banków. Zestawienie danych prezentuje
tabela 1. W badaniu uwzglĊdnione zostaáy nastĊpujące zmienne:
X1 – udziaá naleĪnoĞci nieregularnych w kredytach (destymulanta D0),
X2 – rentownoĞü netto (Sb, próg veta: x0,2 = 0),
X3 – stopa zwrotu z kapitaáu (Sb, próg veta: x0,3 = 10),
X4 – zwrot na aktywach (Sb, próg veta: x0,3 = 1),
X5 – wspóáczynnik wypáacalnoĞci (Sb, próg veta: x0,5 = 8),
X6 – páynnoĞü banku (Sa, próg veta: x0,6 = 90),
X7 – fundusze podstawowe banku (Sb, próg veta: x0 = 0).
Tabela 1.
WartoĞci zmiennych charakteryzujące wybrane banki
Lp.
Nazwa banku
Zmienna
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
1
Bank Przemysáowo Handlowy SA
24,2
27,9
72,8
5,4
15,1
89,0
291,7
2
Bank ĝląski SA
47,3
20,2
97,2
4,6
14,8
69,0
295,7
3
Bank Zachodni SA
33,3
24,1
55,5
4,6
19,1
90,0
207,1
4
Powszechny Bank Kredytowy SA
29,4
16,7
75,6
3,2
20,6
70,0
195,6
5
Powszechny Bank Gospodarczy SA
6,8
16,5
73,2
1,8
18,0
70,0
121,1
6
Wielkopolski Bank Kredytowy SA
25,1
11,5
77,0
2,5
10,6
102,0
82,4
7
Pomorski Bank Kredytowy SA
35,2
12,8
41,9
2,8
15,5
64,7
156,0
8
Bank Depozytowo-Kredytowy SA
30,4
18,3
44,3
3,8
23,7
73,4
158,9
9
Bank GdaĔski SA
27,9
16,1
48,9
4,1
34,1
68,3
228,8
10
Polski Bank Inwestycyjny SA
0,4
2,0
13,3
0,4
13,6
73,0
105,9
11
PKO BP
15,9
2,8
19,2
0,7
9,5
66,3
668,6
12
PEKAO SA
68,6
2,0
6,7
0,2
14,2
64,0
617,4
13
BISE SA
24,5
3,1
2,1
0,6
85,1
171,0
21,9
14
Invest Bank SA
4,4
1,9
10,2
0,7
8,6
126,0
21,5
ħródáo: Gazeta Bankowa nr 26 z dnia 25.06.1995 r. cyt. za: Strahl, Walesiak 1997.
163
Zmiennej X1 moĪna by takĪe nadaü próg veta w wariancie 1. Zrezygnowano jednak z tego ze wzglĊdu na trudnoĞü w ustaleniu wartoĞci takiego progu veta. Zmienna
X6 czĊsto traktowana jest jak nominanta (porównaj np. SierpiĔska, Jachna, 2004)
– tak byáo u Strahl i Walesiaka. Autor jest jednak zdania, Īe nadmierna páynnoĞü nie
jest czynnikiem zagraĪającym dziaáalnoĞci banku i dlatego zmienna ta potraktowana
zostanie jako stymulanta z progiem veta w wariancie 2a.
Tabela 2 zawiera znormalizowane wartoĞci poszczególnych zmiennych oraz ranking banków uzyskany przez Strahl i Walesiaka oraz dla proponowanego tu sposobu
unitaryzacji. Wynika z niej, Īe poszczególne metody daáy nieco odmienne rezultaty
uporządkowania banków (kolumny R1 i R2), choü róĪnica w uzyskanych rangach dla
Tabela 2.
WartoĞci znormalizowane oraz ranking banków
Zmienna po unitaryzacji
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
Z6
Z7
Miara
syntetyczna si
Bank Przemysáowo
Handlowy SA
0,65
1,00
0,72
1,00
0,09
0,96
0,44
0,69
1
3
2
Bank ĝląski SA
0,31
0,72
1,00
0,82
0,09
0,19
0,44
0,51
3
4
3
Bank Zachodni SA
0,52
0,86
0,52
0,82
0,14
1,00
0,31
0,60
2
1
4
Powszechny Bank
Kredytowy SA
0,57
0,60
0,75
0,50
0,16
0,23
0,29
0,44
6
6
5
Powszechny Bank
Gospodarczy SA
0,91
0,59
0,72
0,18
0,13
0,23
0,18
0,42
8
7
6
Wielkopolski Bank
Kredytowy SA
0,64
0,41
0,77
0,34
0,03
1,00
0,12
0,47
4
2
7
Pomorski Bank
Kredytowy SA
0,49
0,46
0,37
0,41
0,10
0,03
0,23
0,30
11
9
8
Bank DepozytowoKredytowy SA
0,56
0,66
0,39
0,64
0,20
0,36
0,24
0,44
7
8
9
Bank GdaĔski SA
0,60
0,58
0,45
0,70
0,34
0,17
0,34
0,45
5
5
10
Polski Bank
Inwestycyjny SA
1,00
0,07
0,04
0,00
0,07
0,35
0,16
0,24
13
11
11
PKO BP
0,77
0,10
0,11
0,00
0,02
0,09
1,00
0,30
10
12
12
PEKAO SA
0,00
0,07
0,00
0,00
0,08
0,00
0,92
0,15
14
14
13
BISE SA
0,65
0,11
0,00
0,00
1,00
1,00
0,03
0,40
9
13
14
Invest Bank SA
0,94
0,07
0,00
0,00
0,01
1,00
0,03
0,29
12
10
Lp.
Nazwa banku
1
R1
R2
R1 – ranking banków wedáug proponowanej metody, R2 – ranking banków uzyskany przez Strahl i Walesiaka (1997).
164
Jacek Szanduáa
Tabela 2.
obu propozycji na ogóá nie przekracza 2. Wyjątkiem jest BISE SA, który zająá 9-te
miejsce wedáug nowej propozycji, a 13 w badaniu Strahl i Walesiaka. RóĪnica ta
wynika gáównie z odmiennego potraktowania zmiennej X6 w obu badaniach i przypisaniu zmiennej znormalizowanej Z6 wartoĞci maksymalnej w tym badaniu oraz
wartoĞci minimalnej w pracy Strahl i Walesiaka.
Zamieszczony przykáad ma jedynie charakter ilustratywny. Same róĪnice
w porządkowaniu obiektów wedáug poszczególnych metod nie pozwalają na stwierdzenie, która z nich jest lepsza. Takie rozstrzygniĊcie byáoby moĪliwe w przypadku
istnienia jakiegoĞ uporządkowania wzorcowego, do którego moĪna by odnieĞü uzyskane wyniki. W tym przypadku istotniejsze jest wczeĞniejsze zaakceptowanie wáasnoĞci metod. Zgáoszone wczeĞniej niedogodnoĞci metody Strahl i Walesiaka – m.in.
brak ciągáoĞci przeksztaácenia unitaryzacyjnego – skáaniają autora do preferowania
uporządkowania banków uzyskanego wedáug wáasnej propozycji.
6. PODSUMOWANIE
Budowa zmiennej syntetycznej wymaga przeprowadzenia normalizacji zmiennych.
W przypadku wystĊpowania progów veta uzasadnioną procedurą normalizacyjną jest
unitaryzacja. Kluczową kwestią wymagającą okreĞlenia jest ocena wpáywu przekroczenia progu veta przez zmienną diagnostyczną na zjawisko záoĪone. WyróĪniü moĪna
nastĊpujące warianty progów veta:
2. Przekroczenie progu veta nie pociąga dodatkowych konsekwencji.
3. Przekroczenie progu veta oznacza znaczne pogorszenie atrakcyjnoĞci obiektu.
Sposób unitaryzacji musi uwzglĊdniaü typ progu veta oraz rodzaj zmiennej
(stymulanta, destymulanta, nominata), z którymi badacz ma do czynienia. Ponadto
poszczególne progi veta mogą pojawiü siĊ pojedynczo lub w kombinacji. Zaproponowane powyĪej wzory na unitaryzacjĊ zmiennych w przypadku wystĊpowania progów
veta w wariancie 2, w przeciwieĔstwie do przedstawionych przez Strahl i Walesiaka
(1997), speániają postulaty:
a) ciągáoĞci przeksztaácenia,
b) przeksztaácenia przedziaáu [xmin, xmax] na przedziaá [0, 1],
c) przypisania wartoĞciom optymalnym liczby 1, a wartoĞciom ocenianym najgorzej – 0.
DziĊki temu unika siĊ gwaátownych skoków w wartoĞci zmiennej diagnostycznej
po unitarazycji w otoczeniu progu veta. Co za tym idzie, ewentualne maáe róĪnice
w wartoĞciach przed normalizacją nie są przekáadane na duĪe róĪnice po jej przeprowadzeniu – róĪnice te nie są znieksztaácane.
Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocáawiu
165
LITERATURA
Abrahamowicz M., Zając K., (1986), Metoda waĪenia zmiennych w taksonomii numerycznej i procedurach porządkowania liniowego, Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocáawiu, nr 328,
5–17.
Bana e Costa C. A., Vansnick J. C., (1994), MACBETH – An Interactive Path Towards the Construction of Cardinal Value Functions, International Transactions in Operational Research, 1 (4),
489–500.
Batóg J., (2003), Klasy¿kacja obiektów w przypadku agregacji danych, Zeszyty Naukowe Uniwersytetu
SzczeciĔskiego, nr 365 (Metody iloĞciowe w ekonomii), 14, 35–44.
Behzadian M., Kazemzadeh R. B., Albadvi A., Aghdasi M., (2010), PROMETHEE: A Comprehensive
Literature Review on Methodologies and Applications, European Journal of Operational Research,
200 (1), 198–215.
Borys T., (1984), Kategoria jakoĞci w statystycznej analizie porównawczej, Prace Naukowe Akademii
Ekonomicznej we Wrocáawiu, nr 284.
Brans J. P., (1982), L’ingénierie de la décision. Elaboration d’instruments d’aide à la décision. Méthode
PROMETHEE, w: Nadeau R., Landry M., (red.), L’aide a la Décision: Nature, Instruments et
Perspectives d’avenir, Presses de l’Université Laval, Québec, 183–214.
CieĞlak M., (1990), Zagadnienie „ruchomego celu” w wielowymiarowej analizie porównawczej, Przegląd Statystyczny, 37 (1–2), 25–35.
GrabiĔski T., (1988), Metody statystycznej analizy porównawczej, w: ZeliaĞ A., (red.), Metody statystyki
miĊdzynarodowej, PWE, Warszawa, 235–260.
GrabiĔski T., (1989), Funkcje i mierniki odlegáoĞci, w: ZeliaĞ A., (red.), Metody taksonomii numerycznej
w modelowaniu zjawisk spoáeczno-gospodarczych, PWN, Warszawa, 19–35.
Hellwig Z., (1968), Zastosowanie metody taksonomicznej do typologicznego podziaáu krajów ze wzglĊdu
na poziom ich rozwoju oraz zasady i strukturĊ wykwali¿kowanych kadr, Przegląd Statystyczny,
5 (4), 307–326.
Jajuga K., (1993), Statystyczna analiza wielowymiarowa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.
Kowalewski G., (2006), Jeszcze o nominantach w metodach porządkowania liniowego zbioru obiektów,
Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocáawiu, nr 1126, (Taksonomia 13, Klasy¿kacja
i analiza danych – teoria i zastosowania), 519–528.
Kukuáa K., (2000), Metoda unitaryzacji zerowanej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.
Malina A., ZeliaĞ A., (1997), O budowie taksonomicznej miary jakoĞci Īycia, w: Jajuga K., Walesiak M.,
(red.), Klasy¿kacja i analiza danych: teoria i zastosowania, Taksonomia, zeszyt 4, Wydawnictwo
AE we Wrocáawiu, Wrocáaw, 238–262.
Milligan G. W., (1989), A Validation Study of a Variable Weighting Algorithm for Cluster Analysis,
Journal of Classi¿cation, 1, 53–71.
Piontek K., (2004), Metodologia, w: Ronka-Chmielowiec W., (red.), Zastosowanie metod ekonometryczno-statystycznych w zarzadzaniu ¿nansami zakáadów ubezpieczeĔ, Wydawnictwo AE we Wrocáawiu, Wrocáaw.
Roy B., (1968), Classement et choix en présence de points de vue multiples (la méthode ELECTRE), La
Revue d’Informatique et de Recherche Opérationelle, 2 (8), 57–75.
SierpiĔska M., Jachna T., (2004), Ocena przedsiĊbiorstwa wedáug standardów Ğwiatowych, Wydawnictwo
Naukowe PWN, Warszawa.
Strahl D., (1978), Propozycja konstrukcji miary syntetycznej, Przegląd Statystyczny, 25 (2), 205–215.
Strahl D., Walesiak M., (1997), Normalizacja zmiennych w skali przedziaáowej i ilorazowej w referencyjnym systemie granicznym, Przegląd Statystyczny, 44 (1), 69–77.
Wrzaszcz W., (2012), Czynniki ksztaátujące zrównowaĪenie gospodarstw rolnych, Journal of Agribusiness and Rural Development, 2 (24), 285–296.
166
Jacek Szanduáa
UWAGI DO UNITARYZACJI ZMIENNYCH W REFERENCYJNYM SYSTEMIE
GRANICZNYM
Streszczenie
Artykuá stanowi polemikĊ z propozycją Strahl i Walesiaka (1997) dotyczącą unitaryzacji zmiennych
w referencyjnym systemie granicznym. Wykazane zostaáy niekorzystne implikacje stosowania wzorów na
unitaryzacjĊ proponowanych przez Strahl i Walesiaka. Aby dokonaü mody¿kacji wzorów dla unitaryzacji
w referencyjnym systemie granicznym, kluczową kwestią jest wyjaĞnienie, czym jest próg veta. Zdaniem
autora moĪna rozróĪniü nastĊpujące warianty progów veta:
2. Przekroczenie progu veta nie pociąga dodatkowych konsekwencji. Tu moĪna rozwaĪyü jeszcze dwie
sytuacje:
a) przekroczenie progu veta nie przynosi dodatkowych korzyĞci,
b) przekroczenie progu veta nie powoduje dodatkowych strat.
3. Przekroczenie progu veta oznacza znaczne pogorszenie atrakcyjnoĞci obiektu.
Wskazane wyĪej warianty progów veta mogą wystąpiü samodzielnie lub áącznie. MoĪliwoĞü ta
w kombinacji z trzema dostĊpnymi typami zmiennych (stymulanta, destymulanta, nominata), powoduje,
Īe kaĪda sytuacja wymaga odrĊbnego opisu za pomocą osobnych wzorów. Autor postuluje, aby w kaĪdej
sytuacji speánione byáy nastĊpujące warunki:
1. CiągáoĞü przeksztaácenia unitaryzacyjnego.
2. Przeksztaácenie przedziaáu [xmin, xmax] na przedziaá [0, 1].
3. WartoĞciom najlepszym/optymalnym przypisuje siĊ wartoĞü 1, a najgorszym wartoĞü 0.
Dla wymienionych wyĪej warunków autor proponuje nowe wzory w sytuacji wystĊpowania progów
veta. Propozycja jest zilustrowana przykáadem empirycznym.
Sáowa kluczowe: wielowymiarowa analiza porównawcza, normalizacja, unitaryzacja, próg veta
NOTES TO UNITARISATION VARIABLES IN THE BORDER REFERENCE SYSTEM
Abstract
The article is a polemic with the proposal of Strahl and Walesiak (1997) concerning unitarisation
variables in the border reference system. Shown are adverse implications of the unitarisation model
proposed by Strahl and Walesiak. To be able to modify formulas for unitarisation in the border reference
system, the key issue is to clarify what is the veto threshold. According to the author, one can distinguish
the following variants of the veto thresholds:
1. The veto threshold means that the object does not meet the minimum requirements.
2. The veto threshold does not implicate additional consequences. Here you can consider two situations:
a) transgression of the veto threshold does not bring additional bene¿ts,
b) transgression of the veto threshold does not cause additional losses.
3. Transgression of the veto threshold means a signi¿cant deterioration in the attractiveness of the
object.
The above variants of veto thresholds may occur alone or together. This possibility, in combination
with the three possible types of variables (a stimulant, destimulant, nominant) causes that each situation
167
requires a separate description with the use particular formulas. The author postulates that in each situation following conditions should be met:
1. Continuity of unitarisation transformation.
2. Transformation of the interval [xmin, xmax] to the interval [0, 1].
3. Best / optimal values are assigned a value of 1, and the worst values of 0.
For the above terms the author proposes new models in the case of presence of veto thresholds. The
proposal is illustrated by an empirical example.
Keywords: multidimensional comparative analysis, normalization, veto threshold