5_Estymacja_cw

Estymacjaparametró w1
1 Estymacja punktowa: średniej, odchylenia standardowego i frakcji
µ - średnia populacji
– ℎ
̅ – średnia z próby jest estymatorem średniej populacji
=
=
!
=
=√
̂=
)
√
√
- standardowy błąd estymacji średniej
- standardowy błąd estymacji średniej
"
∑
−
#" &'"
! – estymator
!
– estymator wariancji populacji
odchylenia standardowego populacji
– frakcja elementów wyróżnionych w próbie jest estymatorem frakcji w populacji
̂ =*
+, "#+,
– standardowy błąd estymacji frakcji
Zad.1.1
Waga 11 wylosowanych pasażerów autobusowej komunikacji miejskiej (w kg) była następująca:
55,74,53,60,58,45,50,66,61,67,48. Z wcześniejszych badań wynika, że odchylenie standardowe wagi
pasażerów jest względnie stabilne i wynosi 8 kg. Należy podać punktową ocenę średniej wagi pasażera i błąd standardowy oceny.
Rozwiązanie
1
Opracowanie na podst. R. Górska, P. Milczarski, J. Podgorski: Elementy statystyki matematycznej z przykładami. Vizja, Warszawa 2010.
1
Zad.1.2
Dla właściwego zaprogramowania procesu produkcyjnego niezbędna jest informacja o zróżnicowaniu
czasu wykonywania pewnej operacji technologicznej. Czas (w sekundach) wykonywania tej operacji
dla 6 wylosowanych pracowników był następujący: 55, 43, 34, 48, 53, 37. Na podstawie tych danych
oszacuj punktowo wariancję i odchylenie standardowe czasu wykonywania operacji, czyli parametr σ2
i σ populacji.
Rozwiązanie
Zad.1.3
W reprezentatywnym badaniu warunków życia młodzieży w pewnym dużym mieście stwierdzono, że
wśród ogółu 150 zbadanych młodych osób 96 miało w domu komputer osobisty. Określ punktowo na
podstawie wyników tej próby frakcję młodych osób posiadających w domu komputer osobisty
w populacji.
Rozwiązanie
2
Zadania samodzielne
Zad. 1.A
Spośród jednorocznych strusi hodowlanych na pewnej fermie wybrano losowo 8 strusi. Ich waga
(w kg) była następująca: 72, 62, 81, 76, 75, 66, 78, 74. Oszacuj punktowo średnią wagę jednorocznych
trusi hodowlanych na tej fermie. Podaj błąd standardowy tej oceny, jeśli z wcześniejszych badań wiadomo, że odchylenie standardowe wagi rocznych strusi wynosi 6 kg.
Zad. 1.B
Spośród prac egzaminacyjnych studentów 1 roku wylosowano 50 prac, dla których suma liczby zdobytych punktów wynosiła 2250, a suma kwadratów odchyleń zdobytych punktów od średniej
16 832,50. Oszacuj dla ogółu prac średnią liczbę punktów i odchylenie standardowe liczby punktów
oraz odchylenie standardowe średnich 50-elementowych prób.
Zad. 1.C
Dla 100 losowo wybranych noworodków płci męskiej urodzonych w klinice położniczej, średnia waga
wynosiła 3650 g, a odchylenie standardowe 550 g. oceń dokładność punktowej estymacji średniej
wagi noworodków płci męskiej w oparciu o tę próbę.
Zad. 1.D
Na podstawie kartotek ADM wylosowano 50 lokatorów, spośród których 15 zalegało z opłatami za
czynsz. Oszacuj punktowo frakcję lokatorów mieszkań lokatorskich, których mieszkańcy zalegają
z opłatą czynszu. Podaj ocenę odchylenia standardowego frakcji w próbie 50-elementowej.
3
2 Estymacja przedziałowa
2.1 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym ze znanym odchyleniem standardowym
Przedział ufności:
/
0
-. −
/
0
√
<2<
+
/
0
√
4
– odczytujemy z tablic t-Studenta
Zad.2.1.1
Waga 11 wylosowanych pasażerów autobusowej komunikacji miejskiej (w kg) była następująca:
55,74,53,60,58,45,50,66,61,67,48. Z wcześniejszych badań wynika, że odchylenie standardowe wagi
pasażerów jest względnie stabilne i wynosi 8 kg. Należy wyznaczyć przedział ufności dla średniej µ
przy poziomie ufności 0,95 i 0,99. Zakładamy, że rozkład wagi w populacji jest normalny.
Rozwiązanie
1. Poziom ufności 0,95
Próba:
Średnia z próby
Ocena estymacji
średniej
1-α=
α/2=
u0,025=
55 74 53
60 58 45 50 66 61 67 48
1,96
Dolna granica
przedziału ufności
Górna granica
przedziału ufności
Interpretacja:
4
2. Poziom ufności 0,99
Próba:
Średnia z próby
Ocena estymacji średniej
1-α=
α/2=
u0,005=
55
74 53 60 58 45 50 66 61 67 48
2,58
Dolna granica
przedziału ufności
Górna granica
przedziału ufności
Interpretacja:.
Porównanie obu poziomów ufności
Poziom ufności Przedział ufności
0,95
0,99
Szerokość przedziału
Interpretacja:
5
2.2 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym z nieznanym
odchyleniem standardowym
Przedział ufności:
/
,
0
#"
-. −
/
,
0
#" √
<2<
+
/
,
0
#" √
4
– odczytujemy z tablic t-Studenta
Zad.2.2.1
Waga karpi (w kg) dostarczonych przez pewnego hodowcę ma rozkład normalny N(µ, σ), gdzie zarówno średnia µ i odchylenie σ nie są znane. W celu oszacowania średniej µ wylosowano niezależnie
próbę 9 karpi, otrzymując:
1,5 2,0 2,3 2,1 1,8 1,9 1,7 2,2 1,6
Wyznacz przedział ufności dla średniej µ na poziomie ufności 1-α=0,95.
Rozwiązanie
Próba:
Średnia:
Wariancja
Odchylenie stand
1-α
α/2=
t0,025;8=
Dolna granica
przedziału ufności
Górna granica
przedziału ufności
1,5 2,0 2,3 2,1 1,8 1,9 1,7 2,2 1,6
1,5
2,0
2,3
2,1
1,8
1,9
(xi-xś)2
0,16
0,01
0,16
0,04
0,01
0,00
1,7
0,04
2,2
1,6
17,1
0,09
0,09
0,60
xi
2,306
suma
6
2.3 Przedział ufności dla średniej, gdy populacja ma nieznany rozkład
Przedział ufności:
/
0
-. −
/
0
<2<
√
+
/
0
√
4
– odczytujemy z tablic t-Studenta
Zad.2.3.1
W celu oszacowania średniej wartości jednorazowej wypłaty w bankomacie analityk finansowy zebrał
dane o wysokości losowo wybranych 150 wypłat, uzyskując średnią wypłatę 330 zło i odchylenie
standardowe wypłat 130 zł. Wyznacz na poziomi ufności 1-α=0,95 przedział ufności dla średniej ogółu
wypłat w bankomacie.
Rozwiązanie
n
Średnia z próby:
odchylenie stand.
1-α
uα/2
Standardowy błąd
estymacji średniej
Dolna granica
przedziału ufności
Górna granica
przedziału ufności
150
330
130
0,95
1,96
2.4 Przedział ufności dla frakcji elementów wyróżnianych w populacji
Przedział ufności:
/
0
-6 −
/
0
*
+, "#+,
<2<
+
/
0
*
+, "#+,
7
– odczytujemy z tablic t-Studenta
Zad.2.4.1
Frakcja wiejskich rodzin utrzymujących się głównie z rolnictwa nie jest znana. W celu oszacowania tej
frakcji wylosowano próbę 200 rodzin i stwierdzono, że jest w niej 136 rodzin utrzymujących się głównie z rolnictwa. Podaj ocenę frakcji wiejskich rodzin utrzymujących się głównie z rolnictwa i standardowy błąd oceny. Wyznacz przedział ufności dla tej frakcji przy poziomie ufności 0,95.
Rozwiązanie
n
200
Ocena punktowa interesującej frakcji
uα/2
1,96
Standardowy błąd oceny
Dolna granica przedziału ufności
Górna granica przedziału ufności
7
Zadania samodzielne
Zad. 2.A
Wytrzymałość na zerwanie 10 wylosowanych próbek wyprodukowanej taśmy była następująca:
42, 45, 50, 46, 40, 44, 48, 52, 45, 47.
Wyznacz przedział ufności dla średniej wytrzymałości na zerwanie wyprodukowanej taśmy zakładając
normalny rozkład wytrzymałości na zerwanie losowo pobranych próbek taśmy, przyjmując poziom
ufności 0,99.
Rozwiązanie
Próba
Średnia:
Wariancja
Odchylenie stand
1-α
α/2=
t0,005;8=
Dolna granica
przedziału ufności
Górna granica
przedziału ufności
42
45 50 46 40 44 48 52 45
xi
42
45
50
46
40
44
3,355
(xi-x ś)2
14,2716
0,60494
17,8272
0,04938
33,3827
3,16049
48 4,93827
Suma
52 38,716
45 0,60494
412 113,556
Zad. 2.B
Na podstawie losowej próby 120 rachunków za obiad zapłaconych przez gości pewnej restauracji
stwierdzono, że w 63 przypadkach zamówione zostało wino do obiadu. Oszacuj, przyjmując współczynnik ufności 0,9 frakcję gości restauracji zamawiających wino do obiadu.
n
Ocena punktowa
interesującej frakcji
Standardowy błąd
oceny
1-α
α/2
uα/2
Dolna granica przedziału ufności
Górna granica przedziału ufności
120
1,645
8
3 Zagadnienie minimalnej liczebności próby
3.1 Minimalna liczebność próby przy estymacji średniej
8∝ 0 0
= 0:0 - minimalna liczebność próby
/ – odczytujemy z tablic t-Studenta
Zad.3.1.1
0
Wiedząc, że waga pasażerów autobusów ma rozkład N(µ,8). Jak liczna powinna być próba, by przy
poziomie ufności 0,95 maksymalny błąd średniej wagi (połowa przedziału ufności) nie przekraczała
2,5 kg?
Rozwiązanie
3.2 Minimalna liczebność próby przy estymacji frakcji elementów wyróżnionych
=
8∝ 0
0
- minimalna liczebność próby
/ – odczytujemy z tablic t-Studenta
0
;:0
Zad.3.2.1
Zakładamy, że chcemy wyznaczyć przedział ufności na poziomie ufności 0,95 dla frakcji ubezpieczonych na życie dorosłych mieszkańców pewnego miasta. Ile osób należy wylosować do badania, aby
maksymalny błąd szacunku frakcji nie przekroczył 0,05.
Rozwiązanie
9