postępy astronomii

Transkrypt

postępy astronomii

POSTĘPY
ASTRONOMII
C Z A S O P I S M O
POŚWIĘCONE
UPOWSZECHNIANIU
WIEDZY ASTRONOMI CZNEJ
PTA
TOM XX — ZESZYT 4,
19 7 2
WARSZAWA
•
PAŹDZIERNIK — G RU D ZIEŃ
1972
POLSKIE TOWARZYSTWO
ASTRONOMICZNE
POSTĘPY
ASTRONOMII
K W A R T A L N I K
TOM XX — ZESZYT 4
1972
WARSZAWA
•
P A Ź D Z I E R N I K — G R U D Z I E Ń 1972
KOLEGIUM REDAKCYJNE
Redaktor naczelny:
Stefan Piotrowski, Warszawa
Członkowie:
Józef Witkowski, Poznań
Włodzimierz Zonn, Warszawa
Sekretarz Redakcji:
Jerzy Stodółkiewicz, Warszawa
Adres Redakcji: Warszawa, Al. Ujazdowskie 4
Obserwatorium Astronomiczne UW
W Y D A W A N E Z ZASIŁKU
POLSKIEJ A K A D E M II NAUK
PHntod in Poland
Państwowe Wydawnictwo Naukowe
Oddział u) Łodzi 1972
W ydanie I. Nakład 500+120 egz.
Ark. uipd. 5,75. Ark. druk 6,00
Papier plśm. m gł. ki. II I , 80 g. 70x100.
Druk ukończono
uj
Podpisano do druku 9. X I. 1972 f.
listopadzie 1972 r. Zam . 505. D-2. Cena zł 10.—
Zakład Graficzny Wydawnictw Naukowych
Łódź, ul. Gdańska ,162
POSTĘPY ASTRONOMII
Tom XX (1972). Zeszyt 4
U K Ł A D Y P O D W Ó JN E T Y P U W U R SA E M A JO R IS (W UMa)
Część I
S - L A WO MI R R U C I N S K I
Obserwatorium Astronomiczne Uniwersytetu Warszawskiego
flBOtóHblE CMCTEMbI TMI1A W URSAE MAJORIS (W UMa)
HaCTb I
C.PyU HHbCKH
C o A e p *aHMe
C T aT bfl COflep)KMT KpaTKOe MCCJieflOBaHHe cJ)aKTOB HaÓJUOfleHMfi OTHOCHmMXCH
W UMa u npocMOTp nocjieamix npo6 nocTpoeHWH TeopeTHMecKOM
MOflejiu (Bena Hyjib hjim *©■ 3BOJiioi»ioHHoro) 9 thx cucTeM.
k 3Be3aaM Tuna
THE BINARY SYSTEMS OF W URSAE MAJORIS T YPE (W UMa)
Part I
S u m m ar y
The article briefly discusses the observational facts concerning W UMa
stars and contains a review of recent attempts to give a theoretical model
(zero age or evolutionary) of these systems.
Układy typu W UMa są jedną z nielicznych klas gwiazd, o których wiemy
jeszcze na tyle niew iele, że dyskusja trwa wokół zagadnienia, dlaczego gwiaz
dy te w ogóle istnieją. Z drugiej strony są to najliczniejsze (w sensie abso
lutnym) układy podwójne w przestrzeni: jeden
[275]
układ W UMa występuje prze-
276
S. R u c iń sk i
ciętnie w o bjętości 106 p c 3 (w okolicach Słońca), w której znajduje s ię ok.
2 • 103 karłów zbliżonego typu widmowego (F*C) i ja s n o ś c i ( K r a f t 1967).
W ostatnich latach notujemy znaczny wzrost z ainteresow ania tymi atrakcyjnymi,
zarówno obserw acyjnie jak i teoretycznie, obiektami. Artykuł poniższy pomy
ślany j e s t jako przegląd nowych prac i wyników dotyczących tych gwiazd.
W rozdz. 1 zestaw ion e z o s ta n ą fakty o bserw acyjne, z a ś w rozdz. 2 aktu
alne próby interpretacji teoretycznej i podania modelu układów W UMa.
Oba te rozdziały tworzą p ie r w s z ą c z ę ś ć artykułu. W c z ę śc i drugiej (rozdz. 3
i 4) o p isa n a zostanie sy tu a c ja w dziedzinie w y znaczania parametrów tych
układów na p odstaw ie obserw acji fotometrycznych i spektroskopowych. Zwra
camy uwagę, że zbliżone ujęcie tematyki rozdziału I zn a le ź ć można w II czę śc i
artykułu , , C iasne układy podwójne” ( S m a k 1968), który ukazał s ię przed czte
rema laty w „ P o s t ę p a c h A stronomii” .
1. FAKTY OBSERWACYJNE
Spośród wielu kryteriów wyróżniających układy typu W UMa spośród innych
zaćmieniowych gwiazd podwójnych można podać jedno, izolujące je w sposób,
jak s i ę wydaje, jed noznaczny. Układy W UMa to gwiazdy zaćmieniowe o okre
sach krótszych od około jednego dnia, które w ykazują ciągłe zmiany ja s n o śc i
(bez możliwości w yzn aczen ia kontaktów zaćmieniowych) oraz dodatnią zmianę
koloru (poczerwienienie) w obu minimach. W ten sposób z o s t a j ą wyłączone
z rozważań krótkookresowe układy podwójne o nieco zbliżonych krzywych
j a s n o ś c i (tzw. krótkookresowe P Lyr), w których składnik bardziej masywny
j e s t prawdopodobnie bliższy powierzchni R oche’a niż jego tow arzysz (układy
E B wg oznaczeń „O gólnego katalogu gwiazd zmiennych” ) oraz układy, w któ
rych składnik mniej masywny wypełnia powierzchnię R oche’a (tzw. krótkookre
sowe Algole; EA wg ozn aczeń „ K a ta lo g u ” ).
J a s n o ś c i składników w układach W UMa s ą bardzo podobne, co wynika
z podobnej głębokości zaćmień, natom iast k s z ta łt krzywych ja s n o ś c i i zmiany
kolorów w stro nę bardziej dodatnich w obu minimach św iad c z ą , że efekty
b lisk ośc i składników m uszą grać w ię k s z ą rolę niż ew entualna n iew ielk a róż
n ic a temperatur efektywnych, która objawiałaby s ię „ p o c z e rw ien ie n ie m ”
jednego minimum i „ p o n ie b ie s z c z e n ie m ” drugiego (rys. 1).
O kresy gwiazd typu W UMa zaw iera ją s i ę w stosunkowo wąskim z akresie
od ok. 0,25 do 0,60 dnia, z w ię k s z o ś c ią w z akresie 0,3 do 0,5 dnia (patrz
ze staw ie n ie E g g e n a 1961, 1967). P raw ie w szy stkie układy wykazują zmiany
okresu. Tylko bardzo n ie lic z n e , których krzywe ja s n o ś c i s ą je d noc z e śnie
bardzo regularne z brakiem asymetrii i zmian k s z ta łtu (np. V 566 Oph — Bi n n e n d i j k 1965, B o o k m y e r 1969) nie zm ien iają okresu. Obserwowane tempo
Układy podwójne typu W Ursae Majoris, I
277-
Rys. 1. Krzywe jasności w barwach B i V oraz krzywa koloru B-F dla prototypu rozwa
żanych układo'w, gwiazdy W UMa (wg R. B r e i n h o i - > t — Astroph. Space Sci., 10,
411 (1971))
zmian je s t bardzo d u że , (d log P /d t) = (0,3 -f 1,0) • 10"7 rok’ 1, w przy bliżeniu
odpow iadające
a
term icznej
s k a li
czasowej
dla
gw iazd o (podobnych masach,
diagramy O-C mają, na ogół k sz ta łt z grubsza paraboliczny (rys. 2), lecz
n iew ie lk ie
odchylenia od paraboli s ą prawdopodobnie realne i w skazują, że
m echanizm w y d łużający czy skracający okres nie d z ia ła w sposób jednostajny.
Praw ie
przy
identyczna ilo ś ć układów skraca okres i identyczna okres w ydłuża,
czym nie stwierdzono- dotychczas, aby w łasność ta korelowała z ja k ą
kolw iek
in n ą cech ą m orfologiczną układu. Warto zwrócić uwagę, że dla tak
ciasnych układów isto tn ą rolę w bilansie całkow itej energi odgrywa zapewne
em isja
fal graw itacyjnych, która może modyfikować ew olucję układu w sk ali
czasow ej
zb liżo n e j do sk a li ew olucji jądrowej karłów o podobnych masach
(Paczyński
1967).
278
S. Ruciński
3*
2
1
O
Rys. 2. Diagram O-C dla układu SW Lac (wg B. B o o k m y er — A .J ., 70, 415 (1965))
L o g P (dni )
Rys. 3. Zależność koloru B-V od logarytmu okresu (w dniach) dla układów typu W UMa
wg E g g e n a (1967). Kółkami wypełnionymi zaznaczone s ą układy z 6 W-B) ■$ 0,05;
kółkami pustymi — układy, dla których 6 (U-B)~2- 0,08
Dwie łatwo mierzalne wielkości: okres układu i jego kolor (bardzo słabo
zmienny z fazą — poczerwienienie w minimach jest niew ielkie, rzędu najwyżej
0,1 mag) wykazują pewien luźny związek, wykryty przez E g gen a (1967).
Zależność ta odgrywa dosyć znaczną rolę w testowaniu proponowanych modeli
Uktady podwójne typu V/ Ursae Majoris, I
279
układów W LIMa, głównie w tym sensie, iż pozwala wykluczyć te z nich, które
jej jawnie nie spełniają. Jednak, jak zobaczymy dalej, sens obserwacyjnego
rozrzutu układów w ramach nachylonego równoległo boku na rys. 3 nie jest
wyjaśniony, nie wiadomo w szczególności, czy ma on charakter ewolucyjny
oraz jaki byłby przebieg ewolucji we współrzędnych diagramu. Warto zwrócić
uwagę,
że niektóre
układy lewego og-aniczenia
zależności mają nadwyżki
ultrafioletowe 6 (U-B) > 0,08, podczas gdy układy prawego ograniczenia mają
te nadwyżki małe, mniejsze od 0,05. Nie wiadomo jednak, czy nadwyżki te
traktować należy jako indykator wieku układu, czy też raczej jako wynik zjawisk
powierzchniowych związanych z osobliwościami atmosferycznymi systemów.
A in, ( m a g . )
Rys. 4. Rozkład amplitud obserwowanych systemów typu W UMa wg L ucy’ego (A p.J.,
153, 877 (1968)). Jeden układ z n ajw iększą am plitudą 1,28 mag. powinien być zapewne
klasyfikowany jako gwiazda typu P Lyr. Strzałkami zaznaczono maksymalne amplitudy
krzywych teoretycznych liczonych dla modelu kontaktowego, gdy składniki w ypełniają
wewnętrzną (C = C,) lub zewnętrzną (C = Ca) w spólną powierzchnię równego potencjału
(por. równania (2) oraz II część artykułu)
Amplitudy zmian jasności zawierają się pomiędzy ok. 1,25 wielkości gwiaz
dowej w gómym ograniczeniu (co w połączeniu z podobną głębokością minimów
świadczy o silnych efektach bliskości, bowiem efekty zaćmieniowe sferycznych
gwiazd o jednakowych temperaturach powierzchniowych mogą dać 0,75 wielk.
gw.), a granicą wykrywalności w dolnym (rys. 4). Stosunkowo duża ilość ukła
dów posiada krzywe wskazujące na istnienie swego rodzaju „płaskiego dna”
w jednym z minimów, przy czym istnieją w tej klasie układy o stosunkowo nie-
280
S. Ruciński
wielkiej amplitudzie (rzędu 0,2 wielk. gw.), co w konwencjonalnej interpretacji
świadczyłoby o znacznej różnicy w rozmiarach składników układu. Porównywal
na
i w tym przypadku głębokość minimów sugeruje podobną jasność powierzch
niową (rys. 5). Oba te fakty w powiązaniu wskazują, że składniki układów
W UMa muszą mieć charakterystyki znacznie odbiegające od posiadanych przez
pojedyncze gwiazdy podobnych typów na ciągu głównym.
Na podstawie kolorów i nachylenia widma ciągłego wnioskować można,
iż układy typu W UMa zawarte są wyłącznie w zakresie typów widmowych od
wczesnych F do wczesnych K . Na diagramie H-R odnajdujemy je blisko
ciągu
głównego. Koronnymi pi^ykładami s ą tu układy w gromadach otwartych, których
fotometria wielobarwna plasuje je na ogół znacznie poniżej punktu zagięcia cią
gu głównego gromady (np. TX Cne prawie 4 wielk. gw. poniżej punktu zagięcia
Preasepe; podobnie cztery układy w NGC 188). Ze względu na szybką rotację
składników i związane z tym rozmycie lin ii zawodzą zupełnie konwencjonalne
metody spektroskopowej oceny położenia układów na diagramie H-R i jedynym
sposobem wyznaczania jasności absolutnych są metody fotometryczne i wyko
rzystanie paralaks trygonometrycznych. Odległości układów s ą na ogół większe
od ok. 20—40 parseków, tak że ze zrozumiałych względów dokładna lokalizacja
układów pola na diagramie li-R nie jest możliwa.
Rozkład przestrzenny układów W UMa nie wykazuje większych różnic w sto
sunku do przeciętnych karłów typów F-G pośredniej I populacji. Nie s ą to więc
obiekty stare, ani też bardzo młode. Nie odkryto też dotąd żadnego układu
w gromadzie kulistej, ani też nie ma żadnych wskazówek przynależności cho
ciaż jednego układu do II populacji.
Obserwacje
spektroskopowe utrudnione s ą n isk ą jasnością obserwowaną
większości układów (najjaśniejsze m ają wielkość gwiazdową ok. 8; jeden jest
6 wielk.gw.), silnym rozmyciem rotacyjnym lin ii i krótkimi okresami, które dla
zachowania odpowiedniej rozdzielczości w czasie zmuszają do stosowania
dużych teleskopów. Na ogół pomiar amplitud prędkości radialnych jest trudny,
lecz możliwy, przy czym najłatw iej wyznaczalnym parametrem, do którego
można mieć zaufanie jest stosunek mas (q = 7 ^ /1 ^ < 1), czyli po prostu stosunek
amplitud
prędkości radialnych.
Zawiera się on dla obserwowanych układów
w granięach 0,3 < q < 0,9, przy czym o ile górne ograniczenie znane jest do
statecznie pewnie i możemy powiedzieć, że nie istnieją układy z q = 1 (dwie
identyczne gwiazdy), o tyle dolne ograniczenie może być po prostu efektem
selekcji, który odrzuca układy ze słabo świecącymi i zbyt mało masywnymi
składnikami wtórnymi. Biorąc rozsądne Wartości na kąt nachylenia orbit ukła
dów
(albo z rozwiązań
fotometrycznych, albo z oszacowań statystycznych)
otrzymujemy zakres sumy mas 0,8731e <33li -ł-331a < 2,8W10. Obserwacje spektro
skopowe wskazują też, że na ogół zaćmienie główne (głębsze) odpowiada
zakryciu gwiazdy o mniejszej masie, choć reguła ta nie jest zawsze spełniona
\
Układy podwójne typu WUrsae Majoris,
R y s. 5. Krzywa ja s n o ś c i i koloru gwiazdy A W UMa b ęd ącej skrajnym przypadkiem układu o całkow itych, le c z płytkich zaćm ieniach (wg
B. P a c z y ń s k i e g o — A .J ., 6 9 , 124(1964)). L in ią c ią g łą zaznaczon o rozw iązan ie S. M o c h n a c k i e g o (M .N .R .A .S., 156, 51 (1972))
oparte na modelu kontaktowym wspólnej powierzchni (patrz II c z ę ś ć artykułu)
to
CD
282
S. R u c i ń s k i
(np. wspomniana, regularnie zachowująca się V 566 Oph). Niekiedy daje się
ocenić nieco wcześniejszy typ widmowy składnika mniej masywnego; na ogół
jednak widma wskazują na typ widmowy niemal identyczny dla obu składników.
Widoczność linii obu składników oraz przybliżone rozwiązania orbit fotometrycznych prowadzą do ocen jasności składników zaskakująco bliskich sobie.
W obserwowanym zakresie stosunków mas (z zastrzeżeniem do selekcji od stro
ny małych q) zachodzi w obrębie układu (a więc podana zależność dotyczy
odpowiednich stosunków wielkości):
L~ rn a ;
a = 0,8 - 1,0
(1)
Znajduje się to w jawnej sprzeczności z zależnością dla ciągu głównego,
na którym w tym zakresie typów widmowych a = 4,5- 5,0. Fakt ten ma zasadni
cze znaczenie w znalezieniu prawidłowego opisu struktury wewnętrznej ukła
dów W UMa.
Tradycyjnie za S t r u v e m (1950) cytuje się, że linie składnika przybliżają
cego się do obserwatora są silniejsze niż składnika oddalającego się (nieza
leżnie który jest to składnik). Efekt ten wymaga dokładniejszego zbadania,
jednak jego obecność nie byłaby niczym zaskakującym w świetle znacznych
asymetrii w krzywych jasności oraz ze względu na pojawianie się w niektórych
fazach linii emisyjnych (Ca II), a nawet rozbłysków w widmie ciągłym za
skokiem Balmera raportowanych u niektórych układów W UMa (por. K u h i 1965).
Obserwuje się też, że suma natężeń linii w elongacjach jest wyraźnie mniejsza
niż w złączeniach; efekt ten nie ma oczywistej interpretacji na gruncie od
dzielnych,nawet silnie zniekształconych składników w układach.
2. MODELE BUDOWY WEWNĘTRZNEJ
I. MODEL L U C Y ’ EGO WIEKU Z E RO
Przy założeniu, że układy W UMa są nieodewoluowane, co jest konsekwen
cją obserwowanego rozkładu w przestrzeni i na diagramie H-R wytłumaczenie
istnienia układów podwójnych spełniających zależność (1) napotyka na znaczne
trudności. Ewolucja składnika bardziej masywnego też nie polepsza sytuacji,
bowiem zastanawiające pozostawałoby uderzające podobieństwo jasności po-#
wierzchniowych składników, ilość układów byłaby znacznie mniejsza (ze wzglę
du na krótszy czas życia gwiazd poza ciągiem głównym), wystąpiłyby też
kłopoty z uzgodnieniem ilości układów i tempem ewolucji gwiazd I populacji
obserwowanego zakresu mas z jednej strony, a ocenianym wiekiem Galaktyki
z drugiej. Wszystko zresztą wskazuje, że tego typu układy klasyfikowane
byłyby pod względem zmian jasności i kolorów jako ,,krótkookresowe układy
typu (3 Lyrae” .
Aby w yjaśnić istnie nie układów W UMa L u c y
283
(1968a) zaproponował, aby
uw ażać je za kontaktowe układy w ypełniające je d n ą ze wspólnych pow ierzchni
równego
ze
potencjału
składnika
byłaby
n ę trzn ą
z ob e cn o śc ią silnego
m asyw niejszego
do
mniej
transportu
konwektywnego energii
masywnego.
Wspólna pow ierzchnia
zawarta pomiędzy w ew nętrzną (przechodzącą przez punkt L J
(p rzech o dzącą
przez
L 2)
p ow ierzchnią
krytyczną.
w ramach tzw . modelu R oche’ a (dwa odbiegające
się
a zew
T raktując
punkty
układ
materialne) po
w ierzchnie takie m a ją opis:
(*» y> 2 ! q) —
^
1 + q r2
1+ q r 1
= C = const.,
2
( )
ri,2 = [(* - * i , 2 ) 2 +
1
2
+
= - _£_
1+ q '
=
d =
1
1+
(*
2
q
+ y 2)
,
c 2 (q) 4. C 4. Cx iq) ,
Xi i x2 s ą p o ło że nia m i punktów masowych (środków składników ) na o s i x,
zaś układ w spółrzędnych (ac, y, z) um ieszczony je s t w środku c ię żk o śc i układu
i obraca się razem z gw iazdam i (rys. 6).
Zasadniczym
zało żeniem L u c y ’e g o
je s t, iż
składniki
układu p o s ia d a ją
zgodnie z zakresem typów widmowych głębokie otoczki konwektywne; otoczki
te m u szą byc na tyle głębokie, aby mógł w y stąpić
energii z jednego sk ła d n ik a na drugi.
konwektywny transport
Wymienione za ło że n ia m ają n a stęp u jące im plikacje:
a) Zetkn ięcie
części
adiabatycznych
otoczek
do bardzo wydajnego transportu energii. L u c y
konwektywnych
prowadzi
z a k ła d a , że transport ten spowo
duje wyrównanie się entropii w obu otoczkach, albo in a c z e j, że w uproszczonym
zw iązku dla otoczek adiabatycznych:
P
= K I 2*5
s ta ła K je s t jednakow a dla obu składników .
(3)
284
S. Ruciński
Rys. 6. W modelu kontaktowym układ opisany jest jed ną w spólną powierzchnią zawartą
między wewnętrzną (C = C j), a zewnętrzną (C = Ca) krytyczną powierzchnią równego
potencjału w ograniczonym problemie trzech c ia ł (tzw. model Roche’a)
b) Silna zależność promieni gwiazd od entropii daje szansę skonstruowania
modelu układu, w którym promienie gwiazd będą spełniały warunek kontaktowości, podczas gdy jądra ,,nie będą wiedziały” o zmienionym zewnętrznym wa
runku brzegowym i będą produkować energię zgodnie z zależnością od masy
na ciągu głównym, tzn z a rzędu 4,5 do 5,0 w równaniu (1).
c) Energia produkowana w obu jądrach wypromieniowywana jest przez
wspólną otoczkę o stałej entropii. Dla zniekształconych gwiazd z otoczkami
konwektywnymi L u c y (1967) znalazł uprzednio analogon prawa von Zeipela,
który sugeruje bardzo słabą zależność temperatury efektywnej od grawitacji:
Tg ~ gP ;
p s 0,08.
(4)
Oznacza to, że temperatura na powierzchni wspólnej otoczki jest wszędzie'
prawie identyczna, zaś różnice jasności składników wynikają głównie z różnic
ich rozmiarów geometrycznych. Warto przy tym zwrócić uwagę na fakt, że sto
sunek powierzchni składników spełnia z grubsza warunek (1), tzn. że znaną
z obserwacji wartością a = 0,8 — 1,0. Dodamy tu jeszcze, że zależność (4)
spełniona jest zapewne tylko wówczas, gdy konwekcja pojawia się płytko, na
głębokościach optycznych, z których dociera do nas promieniowanie ( t = 0,6 —
1,0); w przeciwnym przypadku można się spodziewać, iż zależność temperatury
efektywnej od grawitacji przypominać będzie bardziej przypadek transportu
czysto promienistego (prawo von Zeipela) i że ogólnie 0,08^ (3^ 0,25.
Uktady podwójne typu W Ursae Majoris, I
285
Warunek spełnienia kontaktu (obie gwiazdy wypełniają wewnętrzną, krytycz
ną powierzchnię Roche’a) ma w przybliżeniu postać:
R~ m Y ;
y = 0,46 ,
(5)
gdzie promienie definiowane s ą przez sfery o identycznych objętościach co
powierzchnie Roche’a. (Warto dodać, że podobną, nieco „n a s iłę ” wprowadzoną
zależność można otrzymać również dla zewnętrznej, krytycznej powierzchni
Roche’a; wówczas y = 0,41). Zgodnie z L u cym oba składniki układu powinny
więc leżeć na prostej o nachyleniu y na zależności log R — logWl,a jednocześ
nie spełniać warunek identyczności entropii (lub inaczej stałej K, zgodnie
z punktami a) i b) powyżej). Na rys. 7 podane s ą zależności promieni gwiazd
Log M/M 0
Rys. 7, Z a le ż n o ś ć m asa — promień dla pojedynczych gw iazd o zadanej w artości entropii
w o to c z c e konwektywnej (linie ciąg łe sparam etryzow ane w a rto ś c ią log K). Warunek
kontaktowy (5) z az nac zon o l i n i ą przerywaną; cien ka lin ia c ią g ła (MS) podaje przybliżo
n ą z a le ż n o ś ć m as a — promień na ciągu głównym
od masy przy stałej entropii; krzywe sparametry zowane s ą wartością log K.
Układy W UMa powinny więc leżeć na przecięciu się jednej z krzywych o stałej
wartości K i prostej danej przez zależność (5).
286
S. Rucińslci
Mimo, że rozw ażania sw oje L u c y prowadzi znacznie d a l e j, a ż do skonstruo
w ania konkretnych m odeli, podstaw ow e ich charakterystyki w ynikają z interpre
ta c ji rys. 7. A więc z a g i ę c i e s i ę krzywych s t a ł e j entropii (konieczne w tym
celu aby były dwa, a nie jedno p r z e c ię c ie z z a l e ż n o ś c i ą (5)) wynika z p r z e j ś c i a
z cyklu CNO (w o b s z a r z e w iększych mas) do cyklu pp. R ó ż n ic a w typie gene
ra c ji energii wprowadza tu je d y n ą n ieh om olog iczn ość modeli; obie gwiazdy
traktowane s ą jako obiekty wieku zero. Z a k r e s ist n ie n ia układów W UMa pod
względem ich typu widmowego wynikałby n ato m iast z dwu ograniczeń na s t a ł ą
K. Od strony małych K , in a c z e j — coraz c ień szy c h o to c ze k , dochodzimy do
momentu, gdy konwektywny transport energii nie j e s t możliwy ze w zględu na
zbyt mały kontakt między składnikam i. Od strony dużych K n a to m ia st (in a cz ej
— gwiazdy coraz bardziej w c a ł o ś c i konwektywne, a więc i coraz bardziej
podobne do s ie b ie ) za ch o d zi jedno p r z e c ię c i e krzywych s t a ł e j w artości K i z a
l e ż n o ś c i (5). O graniczenie d aje tu warunek K 2Ul R 3 = const, słu sz n y d la gwiazd
całk ow icie konwektywnych.
Małe w arto śc i K o d p o w ia d a ją w c z e ś n ie js z y m typom widmowym, s t ą d ogra
n ic z e n ie od wysokich temperatur ( L u c y o c e n i a , że log K > —4,2). Gwiazdy
układu ró ż n ią s i ę w ó w c z as n ajb ard z ie j (op isan e s ą modelami n ajb ard zie j niehomologicznymi); jedna z nich generuje e n e rg ię w cyklu CNO, druga w cyklu pp.
Stosunki
m as q powinny być w ięc n a jm n ie jsz e d la układów w c z e ś n i e js z y c h
typów widmowych. P o w ię k sz e n ie s t a ł e j K prowadzi, ja k to ju ż mówiliśmy, do
„ u p o d o b n ie n ia ” s i ę gwiazd z jed n oczesn ym p r z e jś c ie m do p ó ź n ie jsz y c h typów
widmowych. O g ran icz en ie n arzu c a q = 1,0, in a c z e j dwie identyczne gwiazdy.
Przypominam y, że mimo d o p u sz c z a n ia p rzez model L u c y ’ ego ro z w ią zan ia o je d
nakowych g w iazd ach , s y t u a c j i takiej nie obserw uje s i ę .
W podanej in terpretacji r y s. 7 zawarta j e s t też inna s ł a b o ś ć modelu: układy
m ogą is t n ie ć tylko w bardzo wąskim za k re sie temperatur efektywnych wyzna
czonym p rz e z fakt, że skład n ik główny musi je d n o c z e ś n ie p o s i a d a ć głęb ok ą
o to c z k ę konwektywną i generować energię w cyklu CNO. T ego rodzaju warunki
s p e ł n i a j ą jed yn ie gwiazdy z w ą sk ie g o za k re su temperatur efektywnych i m as.
W przybliżeniu : l,3MTe < 3 3 l< l , 5 32Ia , 7000° < Tg < 8000°.
Po
tym omówieniu pomysłu L u c y ’ e g o
podamy w sk ró c ie metodę, j a k ą
p o słu ż y ł s i ę w p o lic ze n iu konkretnych m odeli. Otóż traktował on oba składniki
ja k o sfery (a więc bez wchodzenia w geometrię typu równań (2)) z konwencjo
nalnymi warunkami w centrum:
3n|. = 0,
L. = 0
i na powierzchni (zgodnie z punktem a)):
dla r. = 0
(6)
Układy podwójne typu WUrsae Majoris, l
= K I?’5 ,
T. + O
dla r. -> 1
287
(7)
(gdzie r. je s t względnym promieniem każdej z gwiazd), wraz z dodatkowymi
warunkami zgodnymi z założeniam i modelu:
R 2/ R 1 = ( j y a i j ) 0 . 46
(8)
K 1 = K 2 = X (log re , l o g g ) .
(9)
(patrz zale żn o ść (5));
W równaniach (6) i (7) w skaźnik i = 1, 2 numeruje składniki układu. Tempe
ratura efektywna układu Tg i p rzysp ieszen ie graw itacyjne g na powierzchni
liczon e były z uproszczonych związków, które brały pod uw agę, że energia
promieniowana j e s t przez ca łą pow ierzchnię o jednakowej w przybliżeniu
temperaturze:
Ll +
L2 = 4 ™
T * ( R * + R 2) t
oraz, że sta ła K zależy tylko od warunków powierzchniowych (ze względu na
płytkie pojaw ienie s ię konwekcji) i nie je s t zbyt czuła na zmiany graw itacji:
l o g g = [lo g (G33lj//?^) + lo g (C33l2//?22) ] / 2 .
T ak i układ warunków pozw ala skonstruow ać rodzinę modeli sparametryzowan ą jed n ą w ielk ością, np. m a są składnika m asyw niejszego 7flt. Z otrzymanych
z modeli w artości R lt R 2, L , + L 2 , q n ajłatw iej w ykorzystać w porównaniu
z obserw acjam i w zględnie pewne obserw acyjne w artości stosunku mas q lub
utworzyć w ielkości pochodne: kolor B-V na podstaw ie temperatury efektywnej
oraz okres obiegu P na podstaw ie promieni i stosunku m as, przy wykorzystaniu
prawa K eplera i uproszczonej formuły interpolacyjnej:
R\
log —
p =
= -0 ,4 2 1 -
0,2 1 2 log q ,
2 t x A * / 2 G ' l / 2 (Wij + m 2y 1/2
( 10)
( 11)
288
S. R u c iń sk i
R y s. 8. P o ło ż e n ie ciągów m odeli L u c y ’ego
(1968a) A i B (lin ie c ią g le) o raz m odeli
B ierm anna i T hom asa (1972) (lin ia przery
w ana) na z a le ż n o śc i (B -V ) — log P.
R ów noległobok w yznacza przybliżony za
k re s w ystępow ania obserw ow anych ukła
dów typu W UMa. S trzałki w zdłuż ciągu
m odeli B -T p o zw alają o c en ić ro zrzu t wy
w ołany zm ianą sto su n k u m as; ja k w idać
c ią g je s t p ra k ty c z n ie je d n o z n a c z n ie sparam etryzow any p rz e z je d n ą z m as sk ład
ników . G w iazdka
o z n a c z a p o ło ż en ie
układu TX Cne
LOG P
1,0
</>
g 0,8
0
10,6
O
•* -
0.U
LO G P
R ys. 9. Z ale ż n o ść sto su n e k mas - o k re s m odeli L u c y ’ego (1968a). W ypełnionymi kół
kami zazn aczo n o k ilk a układów z dobrze znanymi stosunkam i m as
P oło żen ie modeli L ucy’ego na diagramie Eggena (B-F) - log P i zależność
q — log P podają rys. 8 i 9. Kropką zaznaczono początek każdej sekwencji
z q = 1,0; ciągi kończą s ię , gdy log K< - 4 ,2 . Sekwencja A odpowiada sytuacji
z normalnym składem chemicznym, ciąg B natomiast policzono dla 50-krotnie
sztu czn ie podwyższonej wydajności cyklu CNO. W ten sposób L u c y chciał
zorientować s ię , jaka byłaby ewentualna zmiana w wynikach modeli, je ż e li
zaistniałaby k onieczność rewizji w yjściowych danych fizycznych, np. danych
co do współczynnika n ieprzezroczystości itp. Jak jednak wykazali M o s s
Układy podwójne typu W Ursae Majoris, /
289
i W h e l a n (1970) założenie poczynione przy liczeniu ciągów B powoduje w rze
czywistości przejście od cyklu CNO do pp w niższych temperaturach, a więc
tam, gdzie otoczki konwektywne są głębsze, co w sposób oczywisty ułatwia
skonstruowanie modelu. Na dodatek tak znaczny wzrost wydajności cyklu CNO
jest nie do pogodzenia z ocenianą niedokładnością znajomości tej wydajności.
P rzelicźając wydajności cyklu na obfitość masową określających go pierwiast
ków
otrzymuje się przejście od ocenianego obecnie zakresu 0,005 <
0,015 z górną, dopuszczalną granicą rzędu 0,022 do liczby całkowicie nie do
przyjęcia
= 0,367!
Mimo innych drobnych niedostatków, które będą jeszcze dalej omawiane,
model w postaci przedstawionej przez Lucy’ego spełnił zasadniczy warunek:
pozw olił on na skonstruowanie układu niejednakowych, różniących się masami
gwiazd wieku zero w kontakcie. Kontakt ten jest na dodatek koniecznym warun
kiem istnienia modelu, zaś zakres obserwowanych typów widmowych gwiazd
typu W UMa jest bezpośrednią konsekwencją odpowiednich własności otoczek
konwektywnych, które tylko w pewnym zakresie temperatur efektywnych mogą
służyć jako wygodna droga transportu energii ze składnika bardziej masywnego
do mniej masywnego.
II. M O D Y FIK A C JE MODELU L U C Y ’ EGO
Model przedstawiony przez L u c y ’ e g o dosyć szybko podjęto jako roboczą
hipotezę do dalszych ulepszeń i modyfikacji. W szczególności M o s s
i Whe
l a n (1972) powtórzyli obliczenia L u c y ’ e g o , stosując zamiast aproksymacji
wielomianowej współczynników nieprzezroczystości i generacji energii ściślej
sze dane tablicowe. Stosowali oni technikę konstruowania modeli, którą zwą
explicite względem ilości energii A L przenoszonej z jednego składnika na
drugi (w przeciwieństwie do metody „im p licite ” — założne K ” Lucy’ ego,
w której wartość A L była wynikiem modelu). Sprowadza się ona do skonstruo
wania dwu sferycznych gwiazd, składnika głównego (p) i wtórnego (s) z cztere
ma warunkami brzegowymi (dwa w centrum i dwa na powierzchni) przy spełnie
niu warunków stałości entropii w otoczce, warunku kontaktowości i transportu
A L ilości energii między składnikami w ten sposób, że ilość energii produko
wana w jądrze L n je st zmniejszana (dla składnika głównego) lub zwiększana
(dla
składnika wtórnego) o A L
kontaktowości M o s s
i Whelan
w adiabatycznej otoczce gwiazdy. Warunek
zapisują w postaci uwzględniającej zmodyfi
kowaną o siłę odśrodkową wartość grawitacji:
g' = m
W
,
(12)
gdzie 6 = 0,92 (dla wewnętrznego kontaktu) lub 5 = 0,82 (jeżeli dopuścić mo
żliw ość otoczki zewnętrznej, tzn. przechodzącej przez punkt L 2 Lagrange ’a;
2 — Postępy Astronomii z. 4
290
5. Kuciński
przypadek zwany przez autorów ,,ponad-kontaktem” ). Zespół warunków, z któ
rych dwa pierwsze odnoszą się do oddzielnych gwiazd, zaś trzy ostatnie opi*
s u ją dopasowanie składników do wspólnej otoczki jest następujący:
FU>e , T e . ^ . R ) p - 0 t
F V c > Tc> Ln ’ R h
= 0 ’
(13)
K.p —K.S
•
9
A L pn = - A L.S J,
Sp =
*
Rozw iązania tego układu autorzy dokonują przez skonstruowanie dużej
ilo ści modeli pojedynczych gwiazd o różnych masach i z różnymi wartościami
AL
w otoczce, a następnie przez wybór za pomocą warunków kontaktowości
par
parametrem.
tworzących modelowe układy W UMa; jedna z mas jest tu wolnym
Wyniki sugerują możliwość skonstruowania takich modeli wieku zero jedynie
dla składu chemicznego skrajnej I populacji (X < 0,60, Z > 0,042); dyskusja
innych swobodnych parametrów modeli (np. parametru wydajności konwekcji
1/H) wykazuje słab ą od nich zależność w przesądzeniu, czy model w ogóle
można skonstruować, czy nie. Jedynie dopuszczenie silniejszego kontaktu
(5 < 0,92 w równaniu (12)) wpływa na wyraźne skrócenie okresu i zmalenie
stosunku mas. Zawsze jednak stosunki mas są dosyć duże i każdy z ciągów
par (Wlp , 331^) dopuszcza rozwiązanie OTL = M s , zawsze też q > 0,5, w niezgo
dzie z obserwowanym zakresem stosunków mas (patrz rozdz. 1). Modele wieku
zero nie sięgają w szczególności do regionu gwiazdy ciągu głównego TX Cne
na zależnościach (B-V) lo g P lub q — log P.
Posługując się tym samym co wyżej formalizmem W h e l a n (1972) rozpa
trzył możliwość włączenia dodatkowego źródła A L w otoczce składnika wtór
nego w płytkich, superadiabatycznych częściach strefy konwektywnej. O ile
założenie dowolnej A L w części adiabatycznej nie wpływa formalnie na
strukturę modelu, o tyle podobne postępowanie w warstwach superadiabatycz
nych wymaga ju ż wyraźnego określenia rozkładń dodatkowego źródła energii
(lub ewentualnie ścieku w przypadku składnika głównego) z głębokością; poja
wia się tu więc pewna dowolność. Można jednak tą drogą uzyskać temperatury
efektywne składników wtórnych wyższe aż do ok. 500° (podczas, gdy obserwo-
Układy podwójne typu w Ursae Majoris, I
291
wane różnice wynoszą średnio ok. 200°) od temperatur składników głównych.
J e s t to w tej ehwili jedyny teoretyczny sposób wyjaśnienia tego faktu obserwa
cyjnego; przypominamy, że w oryginalnym modehi Lucy’ ego temperatury powierz
chniowe składników s ą identyczne.
Na zakończenie omawiania układów kontaktowych wieku zero wspomnimy
o próbie B i e r m a n n a i T h o m a s a (1971) skonstruowania modeli b e z zało
żenia równości entropii w otoczkach. Wprzeciwieństwie do poprzednich modeli
z jednym wolnym parametrem mogą oni umieścić w układzie kontaktowym dwie
dowolne masy
i T^s , przy czym dopasowanie następuje przez odpowiedni
dobór A L. Wten sposób mogą oni skonstruować układ z praktycznie dowolnym
stosunkiem mas, zaś wszystkie dotychczas omawiane modele wieku zero byłyby
pewnym podzbiorem ich modeli.
Występująca różnica entropii powoduje transport energii ze składnika
o większej masie (mniejszej stałej K) do składnika o mniejszej masie (większe
K). Zgodnie z autorami pracy transport konwektywny nie je st na tyle wydajny,
by całkowicie wyrównać entropie i przypuszczenie to je st o tyle słuszne, iż
praktycznie nie znamy sposobu konwektywnego transportu energii w obszarze
przewężenia pomiędzy gwiazdami, gdzie np. potencjał ma osobliw ości. War
tości stałej entropii dla każdego ze składników z osobna pozwalają autorom
oszacow ać ilość energii możliwej do przetransportowania z jednego składnika
na drugi, gdy różnica ta je st jedynym powodem transportu. Ilość ta, zależnie
od tego na jakiej głębokości odbywa s ię wyn iana energii, zawiera się w typo
wym przypadku w granicach 10'* do 106 jasn o ści Słońca; stwierdzenie, iż w za
kresie tym m ieści się wartość A L (rzędu jasn o ści Słońca) je st absolutnie nie
do przyjęcia i wskazuje na ile niefizyczne mogą być te rozwiązania. Dodamy
tu je sz c z e , że o ile nie ma sensu dyskutowanie wyników na zależności q —log P
(możliwe s ą w szystkie q i P), o tyle na diagramie Eggena układy tworzą wąs
ki ciąg, wzdłuż którego zmienia się masa składnika głównego, zaś jego nie
wielkie poszerzenie powodują różne wartości stosunku mas. Warto zwrócić uwa
gę, że ciąg ten dochodzi do regionu TX Cne (a nawet poniżej), zaś jego loka
lizacja z grubsza odpowiada położeniu środka pasa zajmowanego przez obser
wowane układy WUMa (rys. 8).
Nie je st w tej chwili sprawą jasn ą, na ile k lasa modeli podana przez
B i e r m a n n a i T h o m a s a je s t za duża. Konieczne byłoby przede wszystkim
zrozumienie zależności A L od A K, a to wiąże się z teorią transportu konwek
tywnego między gwiazdami. Można przypuszczać, iż istnieje wyraźny warunek
na A K-, który pozwoliłby wyodrębnić możliwe z punktu widzenia układów kon
taktowych pary (® ,,< ^ s ); wydaje się jednocześnie, iż założenie L u c y ’ e g o
A K = 0 daje szan se lepszego zrozumienia podstawowych zależności w tych
układach. Dodamy tu, że temperatury powierzchniowe składników głównych
w modelach z A K * 0 s ą wyższe niż składników wtórnych, co je s t w zgodzie
292
S. Ruciński
z r ó ż n ic ą w entropiach, le c z nie ma pokrycia w obserw acjach sugerujących
sytuację akurat przeciw ną,
III. MODELE EWOLUCYJNE
N a m o żliw o ść wpływu ew olucji na strukturę modeli w skazyw ał ju ż w kon
tekście
swego modelu L u c y
przykład
(1970)
w
(1968) sugerując, że może ona powodować na
obserwowany rozrzut na
w skazał
bardzo
na
w ąskich
fakt,
za le żn o śc i
że L u c y
p rze d zia ła c h
(fi-F)
— log P.
Hazlehurst
móg£ skonstruować swoje modele tylko
stosunku mas 0,8 < q <
1,0 i sumy mas
2 , 3 5 ^ 0 <OT-j + ^ 2 < 2 , 6 5 ^ 0 , podczas gdy obserwowane układy m ają na ogół
stosunki mas m niejsze (patrz rozdz. 1), zaś suma mas u mniej w ięcej połowy
układów je s t m n ie jsza od 2 2K0 (z zastrzeżeniem do niezbyt dokładnie znanego
nachylenia orbity; można jednak p rzypuszczać, że nachylenia w yznaczone kon
wencjonalnym i
metodami s ą system atycznie
za m ałe, co
raczej
podw yższa
sumy mas). W tak mało masywnych gw iazdach na ciągu głównym reakcje CNO
nie m ają praktycznie żadnego wkładu do produkcji energii, znika w ięc powód
niehom ologiczności
m odeli,
którą
u L u c y ’ego
w każdym ze składników . H a z l e h u r s t
dawały
różne
typy reakcji
tw ierdzi w ięc, że w układach małej
masy ró żn ic ę w strukturze składników powoduje pewne niew ie lk ie zaawansowa
nie
ew olucyjne
sk ładn ika
bardziej
masywnego.
Bardzo
uproszczona a n a liza
w skazuje, iż ew olucja pow inna odbywać się mniej w ięcej rownolegle do obser
wowanego nachylenia lu źn e j za le żn o ś c i (b-V) - log P na diagramie Eggena,
przy
czym układy najbardziej zaawansowane ew olucyjnie powinny znajdow ać
s ię w lewym dolnym rogu za le żn o śc i (krótkie okresy, układy czerwone). Wśród
uproszczeń
stały
autora zn a lazło się jednak za ło że n ie , iż stosunek mas pozostaje
z czasem , tak że wynik H a z l e h u r s t a
w skazanie
należy traktować jedynie jako
drogi dalszych prób. Dodamy tutaj, że choć sposobem tym moż
na formalnie w ytłum aczyć położe nie gw iazd takich ja k TX Cne na Należności
koloru od okresu, to jednak przyn ależn ość tej w łaśnie gwiazdy do ciągu wieku
zero w Preasepe w skazuje, że h ipoteza ew olucyjna napotyka tu na poważne
trudności.
Je d y n ą na ra zie , kom pletną p ró b ą p o lic z e n ia ew olucji układów ft UMa je st
praca M o s s a (1971), R ozw aża on ew olucję układu podw ójnego, w którym prze
pływ
po
masy ze sk ła d n ik a głównego (pierwotnie m asyw niejszego) do wtórnego
w ypełnieniu
pow ierzchni
R oche’ a
tego
pierwszego
na
skutek ew olucji
zostaje zahamowany przez fakt, że składnik wtórny rów nież dochodzi do swej
pow ierzchni R oche’ a na skutek akrecji m aterii. Tego typu ew olucja nie była
dawniej
rozw ażana, bowiem dla uproszczenia wybierano zaw sze taki zestaw
warunków początkow ych, aby po odzy skaniu równowagi termicznej
przepływu
masy obie gwiazdy były
albo w jej wnętrzu. M o s s
w trakcie
albo na krytycznej pow ierzchni R oche’ a,
konstruuje swe modele ew olucyjne w następujący
U kłady podw ójne typu W Ursae M ajoris,
/
293
sposób. Wybierane są dwie masy z zakresu sumy 1,37
< 2,25’?il0
o danym początkowym stosunku qQ < 1. Okres obiegu dobierany jest w ten
sposób, aby na skutek ewolucji składnik masywniejszy osiągał powierzchnię
Hoche’a, gdy w jego centrum zawartość X c wodoru była mniejsza od 0,5 (dla
kilku policzonych modeli 0,27 < A’c < 0,41). Jednocześnie zakładano na ogół
okres dłuższy od 0,44 dnia, bowiem statystyka krótkookresowych układów
podwojnych klasyfikowanych jako (3 Lyr (składnik masywniejszy bardziej znie
kształcony) wskazuje
krótki,
aby
wany)
powiększyło
powierzchni
na
ostre
ucięcie
koło
przeniesienie masy na składnik
jego rozmiary
Roche’ a.
F aza
co
osiągnięcia
tej
wartości,
wtórny
najmniej
do
równowagi
lecz
(w ogóle
na
tyle
nie ewoluo
rozmiarów krytycznej
termicznej
układu nie
była śledzona, lecz poszukiwano od razu konfiguracji kontaktowej (w sen
sie modelu Lucy’ego) z odewoluowanym jądrem wewnątrz składnika bardziej
masywnego. Model kontaktowy obliczano przez iterację względem stosunku
mas q i stałej entropii K. Następnie odbywała się ewolucja układu kontakto
wego, lecz w dalszym ciągu przy założeniu, że zmienia się skład chemiczny
jądra składnika masywniejszego. Na każdym kroku czasowym dokonywana była
iteracja w q i K, przez co układ miał możliwość zmiany stosunku mas. Zgodnie
z tym co było dyskutowane poprzednio, coraz większe odstępstwa od homologiczności składników (tym razem na skutek ewolucji) wymagały coraz bardziej
różniących się mas; ogólną tendencją było więc malenie stosunku mas.
Warto od razu wymienić czynniki, które eliminowały wg M o s s a układ
z dalszych obliczeń. Zdarzało się więc niekiedy, że rozmiary gwiazd były więk
sze n iż dopuszczalne przez zewnętrzną, wspólną powierzchnię Roche’ a. Choć
systemy takie, dzięki utracie całkowitej masy i momentu pędu, mogłyby być
interesującym wytłumaczeniem niskiego położenia układów W UMa w stosunku
do punktu zagięcia ciągu głównego gromad otwartych, to jednak teoretyczne
potraktowanie takiej ewolucji wymagałoby szczegółowych założeń co do tempa
utraty masy i momentu pędu przez okolice punktu L2. Tego typu ewolucja
wydaje się jednak m ożliw ością bardzo interesującą i godną dalszych rozważań.
Obliczenia ulegały przerwaniu również wówczas, gdy log K < -4,0 (otoczka
konwektywna za cienka), lub gdy potencjał C > C,, tzn. gdy kontakt ulegał
przerwaniu i układ stawał się rozdzielony. Sprawdzano też, czy dolne ograni
czenie strefy konwektywnej jest poniżej (głębiej) od powierzchni C»; w prze
ciwnym razie następowałby kontakt przez wewnętrzne części promieniste. Wy
daje się, że założenie to, dodatkowo ograniczające klasę modeli, ma jednak
charakter nieco dyskusyjny.
Zasadnicze rezultaty modeli M o s s a
sprowadzają się do tego, że układy
w fazie kontaktowej zn ajd ują się w obszarze na diagramie Eggena zajmowa
nym przez obserwowane systemy W UMa. Ewolucja odbywa się od lewej ku
prawej części luźnej zależności koloru od okresu, przy czym na brzegach
pasa obserwowanych układów ewolucja jest wyraźnie w olniejsza, co pozwo-
294
S. Ruciński
lito by wytłumaczyć grupowanie się układów w dwa w przybliżeniu równolegle
leżące ciągi. W dolnej części zależności znajdują się układy małej masy,
których ewolucja jest praktycznie stacjonarna (suma mas 1,37 <WI0). Warto
zwrócić uwagę, że kierunek ewolucji nie jest w zasadzie zgodny z interpreta
cją 6 (U-B) (patrz rozdz. 1) jako efektu wieku. Na początku fazy kontaktowej
stosunek mas jest większy niż w układzie rozdzielonym przed kontaktem,
tzn. ewolucja w termicznej skali czasowej , .upodabnia” gwiazdy do siebie.
Potem następuje stopniowe zmniejszanie się stosunku mas, wzrost jasności
całkowitej, malenie koloru B-V i wydłużanie się okresu aż do momentu przer
wania kontaktu (rys. 10). Ewolucja po przerwaniu kontaktu nie była śledzona.
LOG P ( d n i )
Rys. 10. Zależność (B-V) — log P dla kilku ewolucyjnych modeli Mossa (1971). L in ią
przerywaną zaznaczono przebieg ewolucji w termicznej skali czasowej, zaraz po o siąg
nięciu wspólnej powierzchni kontaktowej. Ewolucję układów kontaktowych w skali
nuklearnej reprezentują lin ie ciągłe. Układ oznaczony kropką (praktycznie stacjonarny
na wykresie) ma całko w itą masę 1,37
295
Zasadniczą słabością modeli Mo s s a jest stosunkowo krótkie trwanie fazy
kontaktowej w stosunku do trwania poprzedzającej ją fazy ewolucji składników
rozdzielonych; dla typowego układu zilustrowanego na rys. 11 stosunek czasów
Rys. 11. Zmiany okresu obiegu P (w dniach), koloru B-V, stosunku mas q, całkowitej
jasności L j oraz potencjału C dla ewolucyjnego układu Mossa (1971) z początkowymi
parametramimp = 1.37JX, , 9q = 0,4, X q = 0,38, P Q = 0,53 dnia
życia w fazie kontaktowej
=
(t )
do fazy ewolucji rozdzielonej
(tj)
jest w przy
bliżeniu
2/3. Statystyka krótkookresowych gwiazd zaćmieniowych
wskazuje natomiast, że stosunek ilości systemów W UMa do ilości krótkookre
sowych gwiazd typu pLyr (a tak byłyby klasyfikowane systemy „przedkontaktow ej", rozdzielonej fazy u Mo s s a ) jest z dokładnością do efektów selekcji
E W / E B = 2. Mechanizm M o s s a może wyjaśnić istnienie części, a nie całości
układów W UMa. Inna sprawa, że nie została przeprowadzona analiza stabilności
jego modeli, ani też nie zostały rozważone losy układu z chwilą przerwania
296
S. Ruciński
kontaktu. Biorąc pod uwagę zmiany okresów obserwowane u prawie wszystkich
systemów W UMa narzuca się tu zagadnienie, czy nie możemy mieć w rzeczy
wistości do czynienia ze zjawiskami cyklicznymi, których ewolucja policzona
przez M o s s a mogłaby być tylko jednym z fragmentów. Krótka, termiczna skala
czasowa zmian okresów mogłaby przy tym wskazywać, że większość układów
może być niestabilna termicznie.
Powyższy rozdział można podsumować stwierdzeniem, że nie istnieje już
problem skonstruowania modeli układów kontaktowych o składnikach z nierówny
mi masami. Większość zależności obserwacyjnych można już modelami tymi
zreprodukować, a ich zasadniczą cechą jest niehomologiczność składników wpro
wadzona przez różnice w typie generacji energii lub przez ewolucję różnicową.
Otwarte zagadnienia stanowią: istnienie czerwonych układów o krótkich okre
sach, ewolucyjne implikacje dużych zmian okresu u większości układów, natura
mechanizmu transportu energii pomiędzy gwiazdami, problemy ewolucji (w skali
nuklearnej) z utratą masy i momentu pędu, wreszcie nieistnienie układów ze
stosunkiem mas równym jedności.
.W następnej części artykułu ómowione zostaną problemy interpretacji krzy
wych jasności i widm układów W Lirsae Majoris.
LITERATURA
B i e r m a n n , P. , T h o m a s , H .C ., 1972, Astron. Astroph., 16, 60.
B i nn en d i j k, L ., 1965, A .J., 70, 209.
B o o k m y e r , a , 1965, A .J., 70, 415.
B o o k m y e r , B., 1969, A .J., 74, 1197.
B r e i n h o r s t , R ., 1971, Astroph. Space Sci«, 10, 411.
E g g e n , O .J ., 1961, Roy. Obs. B ull., No. 31*
E g g e n , O .J ., 1967, Mem. Roy. Astr. Soc., 70, 111.
H a z l e h u r s t , J ., 1970, M .N .R .A .S., 149, 129.
K r a ft, R .P ., 1967, P .A .S .P ., 79, 395.
K u h i , L ,V „ 1965, P .A .S .P ., 76, 530.
L u c y , L .B ., 1967, Z .f.A p ., 65, 89.
L u c y , L .B ., 1968a, A p .J., 151, 1123.
L u c y , L .B ., 1968b, A p .J., 153, 877.
M o c h n a c k i , S.W., 1972, M.N.R. A.S., 156, 51,
M o s s , D .L ., 1971, M.N.R. A.S., 153, 41.
M o s s , D .L ., W h e l a n , J .A .J ., 1970, M .N .R .A .S., 149, 147,
P a c z y ń s k i , B., 1964, A .J., 69, 124.
P a c z y ń s k i , B., 1967, Acta Astr., 17, 287,
S m a k , J ., 1968, Post. Astr., 16, 3.
S t r u v e , O ., 1950, Stellar Evolution (Princeton: Princeton Univ. Press).
W h e l a n , J .A .J ., 1972, M .N .R .A .S ., 156, 115.
POSTĘPY ASTRONOMII
P R O B L E M S T A BI L N O Ś C I G R O M A D G A L A K T Y K
MARIA
KARPOWICZ
Obserw atorium A stronom iczne U niw ersytetu W arszaw skiego
nPOBJIEMA CTABMJIbHOCTM CKOfUIElMM TAJIAKTMK
M. K a p n o B H q
Co a e p *aHHe
B
cTaTbe
npeacTaBjieHa
npo6jieMa
cTa6njibHOcra
CKonjieHHM
raJiaKTMK
u pa3Hbie npo6bi ee pemeHus npeanpHHHMaeMbie r TeneHMH nocjieamix 18 JieT.
rnnoTe3a 3KcnaHcnn,
ZlBa 0CH0BHbix noflxofla k pememiio s to k npoÓJieMbc
paBHO KaK w npeflnojioxceuMe o cymecTBOBaHMi yKpbiTotó,
HeBMflMMOM,
b CKonjieHHM HarajiKHBaiOTCfl Ha 3HamiTejibHbie TpyflHOCTM npn
Ha6jlK)fleHMM M B TBOpeTMMeCKOM OTHOIIieHHM.
Maccw
npoBefleHMf
THE PROBLEM O F THE STABILITY O F CLUSTERS O F GALAXIES
I
Summary
A number of attempts mńde during the last eighteen years at solution of
the problem of the stability of clusters of galaxies are considered. Two
important approaches to it, the hypothesis of expansion and the assumption
of the presence of invisible intergalactic matter, are shown to involve serious*
difficulties of an observational and theoretical nature.
Hipotezę niestabilności gromad galaktyk wysunął w roku 1954 A m b a r c u mian
(1954) przypuszczając, iż
niektóre
gromady i
grupy są niestabilne,
ekspandują, ponieważ m ają całkowitą energią mechaniczną dodatnią. Wskutek
tego galaktyki w grupie lub gromadzie oddalają się od siebie, układ ulega
dezintegracji i należy przypuszczać, iż w ciągu 107—199 lat przestanie istnieć.
Podanie granicy wieku dla gromad ustala jednocześnie skalę czasu w kosmolo*
gii i czas ewolucji galaktyk.
[ 297] ,
298
M. Karpowicz
Ambarcumian
nej
nie próbuje wyjaśnić źródła nadmiaru energii mechanicz
lub przyczyny olbrzymich eksplozji, które dostarczyłyby wystarczającą
ilość energii potrzebnej dla ucieczki galaktyk na zewnątrz z prędkością średnią
ok. 100 km/s.
Przyczyną wysunięcia hipotezy niestabilności gromad galaktyk był stwier
dzony fakt niezgodności wyznaczonych indywidualnie mas galaktyk ze średnimi
masami, jakie wynikają z
twierdzenia o wiriale, je ś li zastosować go do dys
persji prędkości galaktyk w gromadach, przyjętych za stabilne. Niezgodność tę
można wyjaśnić nadwyżką energii kinetycznej nad potencjalną, czyli ruchem
galaktyk na zewnątrz gromady, lub też istnieniem ekstra-masy niewidocznej:
jako rozproszonej materii między galaktycznej lub ewentualnie w postaci licz
nych obiektów o małej jasności. Ta druga możliw ość pociąga za sobą wniosek,
iż ponad 90% materii we Wszechświecie jest niedostępna obserwacji i przyjęcie
tej możliwości oznaczałoby m a łą wartość wniosków uzyskanych przez kosmolo
gię, gdyż oparte byłyby na obserwacjach zaledwie kilku procent materii.
Jedenaście lat temu odbyło się w Santa Barbara w Kalifornii sympozjum
( N e y m a n 1961) dotyczące stabilności lub niestabilności układów galaktyk.
Wygłoszono tam szereg referatów i przedyskutowano obszernie zagadnienie
z rozmaitych punktów widzenia. W" konferencji brali udział wybitni astrono
mowie amerykańscy i europejscy, pracujący w dziedzinie astronomii pozagalaktycznej.
Rozpatrzmy obecnie twierdzenie o wiriale zastosowane do układu samograwitującego
n
punktów masowych ( L i m b e r
1961). Ustanawia ono zależność
pomiędzy energią kinetyczną T i potencjalną Q układu. Druga
pochodna po
czasie momentu bezwładności układu względem jego środka ciężkości wyraża
się wzorem:
2
l i i
2
d t2
= 2T + Q = 7- + (T+Q) = T + E .
Wyrażenie T + Q = E nosi nazwę c a ł k o w i t e j e n e r g i i m e c h a n i c z n e j
u k ł a d u . Dla układów zachowawczych E = const, (może być większe, równe
lub mniejsze od zera):
1 dÎ
1) gdy E > 0, w t e d y ----- =
2 dt
1
----- Z m . r > 0 'i po dostatecznie długim
dt
t
czasie -r~ Sm r 2 > 0, a więc układ jest niestacjonarny i niestabilny; moment
dt i
ii
bezwładności wzrasta wraz z czasem nieograniczenie;
2) je śli £ < 0 to wtedy, ponieważ T > 0, może być T + E = 0 i układ może
być stacjonarny i stabilny.
Problem stabilności gromad galaktyk
299
Warunkiem koniecznym, ale nie dostatecznym, stabilności układu jest więc
ujemna wartość energii całkowitej: E < 0.
Je ś li w jakimś układzie zachowane jest twierdzenie o wiriale, tzn.:
2T + Q
=
0 ,
wtedy możemy wyznaczyć masę całkowitą układu jako sumę mas poszczegól
nych członków, jeśli znany je st średni kwadrat prędkości względem środka
masy, promień układu i względny rozkład przestrzenny składników. Stąd można
wyznaczyć masy poszczególnych członków.
Stosowanie twierdzenia o wiriale do gromad galaktyk jest pewną idealizacją,
bo w rzeczywistości:
a) galaktyki w gromadzie nie s ą punktami masowymi nawet w tym stopniu
przybliżenia, w jakim można uważać gwiazdy w gromadach gwiazdowych;
b) odległości pomiędzy galaktykami s ą na ogół tego samego rzędu co i roz
miary galaktyk;
c) nie jest jasne, czy całkowita energia mechaniczna gromady pozostaje
stała; może się ona zmieniać wskutek innych oddziaływań, n iż grawitacyjne
oraz wskutek procesów wewnątrz indywidualnych galaktyk;
d) m ożliwie, iż istnieje jakiś ośrodek wewnątrz gromady w postaci materii
rozproszonej lub w formie gwiazd między galaktycznych.
W przypadku stabilności — twierdzenie o wiriale można przedstawić w posta-
<
gdzie <
g
> -
C
l gg
c ( ^ )
y*
> oznacza średni kwadrat prędkości punktu masowego. Średnia
wartość <
> otrzymana została przez ważenie prędkości punktów masowych
proporcjonalnie do ich mas i przez uśrednianie w interwale czasu branego pod
uwagę; Wig i R oznaczają, masę, całkowitą galaktyk członków gromady oraz
promień zewnętrzny gromady odpowiednio zdefiniowany; C q q oznacza pewną
s ta lą bezwymiarową, określoną zgodnie z wartością braną na R . Stała ta cha
rakteryzuje średni rozkład przestrzenny masy w. układzie w postaci galaktyk.
W celu zastosowania twierdzenia o wiriale do gromady konieczne jest
otrzymanie z obserwacji prędkości przestrzennych i odległości galaktyk w gro
madzie. We wszystkich prawie przypadkach otrzymuje się składowe radialne
prędkości i składowe odległości prostopadłe do promienia widzenia. Pozostałe
składowe prędkości i odległości oceniane są przy założeniu pewnej symetrii.
W przypadku gromad o wielkiej liczbie członków uśrednianie jest zwykle wys
tarczające, aby średnie współczynniki kierunkowe można było wyznaczyć z do
stateczną dokładnos'cią. Gorzej sprawa przedstawia się w przypadku gromad
o mniejszej liczebności członków.
300
M. Karpowicz
S tosując twierdzenie o wiriale przebadano kilka gromad w celu przekonania
s ię o ich stabiln ości. Otrzymane wyniki dla grupy otaczających galaktykę M81
oraz dla Grupy L o kaln ej, do której naTeży n a sz a Galaktyka i M31 budzą s z c z e
gólne zainteresowanie z powodu blisko ści galaktyk obu grup tak, iż masy więk
szych i ja śn ie jszy ch można ocenić na podstawie ruchów wewnątrz nich rozmai
tych obiektów. N a sz a Galaktyka j e s t jedną z dwóch masywnych członków Grupy
Lokalnej.Wyznaczenie współczynników kierunkowych odległości innych galaktyk
tej grupy j e s t w tym przypadku d o ść pewne.
Grupę M81 przebadał A m b a r c u m i a n w roku 1959. Wynik, jaki otrzymał, iż
suma mas członków gromady je s t n iew ystarczająca, aby utrzymać j ą w stanie
stabilności,potw ierdza, jego hipotezę o niestabilności gromad. Całkowita ener
gia mechaniczna j e s t dodatnia i grupa prawdopodobnie ekspanduje.
D la Grupy Lokalnej wyznaczono masy kilku członków — masy pozostałych
oceniono na podstawie stosunku: f = M /L masy do ja s n o ś c i. Grupa Lokalna
zawiera dwa potężne składniki, o których była mowa: n a s z ą Galaktykę i M31,
obie z masami znacznie przekraczającymi masy pozostałych członków gromady.
H u m a s o n i W a h l q u i s t (1955) w ykazali, iż wartość numeryczna < V 2 > za
leży od przyjętej prędkości Galaktyki względem środka układu — ta z kolei od
dokładności wyznaczenia ruchu Słońca w Galaktyce. Przyjęli oni wówczas war
to ść na prędkość Słońca:
= 216 km /s, przy której Grupa Lokalna nie j e s t
stabilna. Zw iększając jednak nieznacznie V Q można byłoby otrzymać jej stabil
n o ść. A zatem wyników dla Grupy Lokalnej nie należy traktować jako o sta tecz
nych.
Sposób wyznaczania masy z twierdzenia o wiriale stosowany był przez
kilku astronomów do znanej gromady Coma, w której wiadome s ą prędkości ra
dialne dla ok. 50 galaktyk. Aby gromada była stabilna średnie masy n a jja ś n ie j
szych członków powinny być rzędu ok. 10ł2 M0. Gromada p osiad a rozkład sfe
ryczny galaktyk i fakt ten sugeruje, iż je s t stabilna. Powinna jednak zawierać
dużą ilo ść materii między galaktycznej oraz znaczną liczbę być może galaktyk
karłowatych: od 50 do 90% masy. D y sp e rsja prędkości galaktyk o jednakowej
ja s n o ś c i dla tej gromady j e s t s t a ła , przy tym - g a la k t y k i ja s n e koncentrują s ię
ku środkowi, sła b e z a ś p o s ia d a ją inny rozkład przestrzenny. Gromady o podob
nej strukturze obserwuje s i ę na rozmaitych odległościach . Według wszelkiego
prawdopodobieństwa osiągn ęły stan stacjonarny i należy uważać je za stabilne.
J e ś l i idzie o inne gromady, to wnioski nie s ą tak pewne ze względu na
fakt, iż znamy niewiele prędkości radialnych ich członków-galaktyk.
W ostatnim d z ie sięc io lec iu przebadano wiele grup i gromad galaktyk. U znacz
nej ich liczby całkowita energia mechaniczna j e s t dodatnia, wydawałoby s ię
iż s ą zatem niestabilne. Jednakże takie wnioskowanie natrafia na poważne
wątpliwości, a mianowicie:
Problem sta b iln o ś c i gromad g a la ktyk
301
1) nie posiadamy niezależny ch danych obserw acyjnych dotyczących poło
żeń i prędkości ucieczki p o szczeg ólny ch galaktyk-członków, aby zdecydować
z c a łą pew nością, iż dana galaktyka należy do grupy, czy też gromady;
2) j e ś l i z obliczeń wynika, iż układ j e s t nie sta b iln y , możemy podejrzew ać
j e s z c z e o b ecn ość niewidocznej materii w ilo śc i do statecznej do jego ustabilizowania;
3) j e ś li mamy do czynienia z dużymi gromadami — is tn ie je nieb e z p ie cz e ń
stwo pom ieszania dwóch lub więcej układów znajdujących s ię w tym samym polu,
le ż ą c y c h jeden za drugim, i uw ażania ich za je d n ą fiz yc z ną gromadę. Tak np,
niektórzy astronomowie s ą d z ą , iż znana gromada w Virgo nie stanow i jednego
układu, le c z sk ła d a s i ę z kilku oddzielnych grup galaktyk;
4) być może, z rozmaitych względów, nie powinno stoso w ać się metod
w yznaczan ia mas bliskich galaktyk do galaktyk w grupach dalekich;
5) przyjęcie n ie sta b iln o ś c i gromad galaktyk jako reguły p o ciąga za sobą
usta le n ie ska li c z a s u dla nich, który otrzymuje s i ę zbyt krótki, bo zaledwie
107—109 la t, p o d c z a s gdy przeciętny wiek gwiazd, gromad k ulistych, czy też
galaktyk oceniany j e s t jako znacznie dłuższy;
6) otrzymywany krótki cz a s trw ania gromad sugeruje, iż powinno być wiele
galaktyk eliptycznych w ogólnym polu, z tych bowiem sk ła d a ją s i ę głównie
gromady. Tymczasem wśród nie z rz e szon yc h obserwuje s ię przeważnie galaktyki
sp ira ln e , natom iast prawie nie ma w polu galaktyk eliptycznych;
7) wśród galaktyk pola powinno istn ie ć wiele z dużymi prędkościam i, gdyż
takie n a jsz y b c ie j o p u s z c z a ją gromady, o bserw acje jednak nie po tw ierd zają tego
wniosku.
Możliwym wyjaśnieniem w ystępowania niektórych układów z całkowitą
e nerg ią m e c h a n ic zn ą dodatn ią j e s t p rz y p u sz c zen ie , iż j e s t spowodowane wie
lokrotnymi zderzeniami i wychwyceniami pomiędzy galaktykami pola. Takie wy
ja ś n ie n ie pociąga jednak za s o b ą przyjęcie skali c z a su znacznie w iększej
niż c z a s ewolucji galaktyk. Tworzenie s ię zatem grup i gromad na drodze wy
chwytu j e s t niezmiernie mało prawdopodobne.
Być może ro z sz e rz a n ie s i ę i rozpad gromad zachodzi jedynie lokalnie, jak
to p r z y p u s z c z a ją niektórzy zwolennicy e k s p a n s ji. W teoriach kosmologicznych
przyjmuje s i ę niekiedy, iż gromady galaktyk u c z e s tn ic z ą w ogólnym rozszerzan iu
s i ę W szechświata, same jednak nie ekspandują.
P rz y p u s z c z a ln y rozpad gpup i gromad prowadzi do poważnych konsekwencji,
na które zwrócili uwagę A m b a r c u m i a n i Bu r b i d g e ’o w i e. Chodzi o to mia
nowicie, iż składniki galaktyk wielokrotnych i gromady musiały uformować się
razem, w jakim ś jednym p ro c e sie . Tylko n ieznaczny ułamek układów o małej
licz b ie członków mógł utworzyć s ię na skutek wychwytu po dc z a s spotkań
potrójnych. Niektórzy astronomowie uw ażają za możliwe tworzenie się galaktyk
grupowo, wskutek podziału jakiegoś supergęstego jądra. I s tn ie ją na to pewne
302
M. K a rp o w icz
argumenty, np.: u pewnej liczby radiogalaktyk obserwuje się podział jądra.
Przypuszczalnie obserwowane, łączące galaktyki włókna lub mosty powstają
również na skutek rozszczepienia się jąder galaktyk.
Grupowe powstawanie galaktyk wydaje się wysoce prawdopodobne. Częste
przypadki występowania fizycznych par galaktyk nie skłaniają do przypuszcze
nia, iż utworzyły się wskutek przypadkowych spotkań.
Wiele grup, które prawdopodobnie nie s ą stabilne, składają się z galaktyk
eliptycznych, uważanych za formacje bardzo stare, natomiast długie włókna,
przebiegające niekiedy pomiędzy galaktykami w gromadach w skazują raczej na
ich młodość i niestabilność. Stajemy zatem wobec alternatywy:
a) wszystkie działające na siebie galaktyki, również eliptyczne w układach
ekspandujących, s ą młode, lub
b) wszystkie układy s ą stabilne pomimo mechanicznych względów.
W tym miejscu dochodzimy do nowego pomysłu, mianowicie, iż środkowe
partie galaktyk posiadają pewne właściwości dotąd nieznane. Prawdopodobnie
w jądrach dzielących się galaktyk w yzw alają się, w wyniku procesów o niezna
nej naturze, olbrzymie ilo ści energii, konieczne do odepchnięcia wyrzuconych
części z d u żą prędkością. Istnienie s ił odpychających można zauważyć w nie
których spiralach z poprzeczką, np.: NGC6872 i IC4970.
Sprzeczności wynikające w związku z problemem stabilności gromad ga
laktyk wyraźnie występują w pomadach super zwartych. Można by ich uniknąć
przypuszczając, iż:
1) siły
działające pomiędzy galaktykami na odległościach przewyższają
cych 10 kps nie s ą jedynie siłam i grawitacyjnymi. Je śli byłyby tylko takimi —
dla członków gromad superzwartych powinno otrzymać się stosunki M/L bliskie
jak dla członków układów podwójnych. Tymczasem) np. U /L dla dwóch gromad
zwartych:
V 166 i V 288 wypadają odpowiednio: 350 i 100, podczas gdy dla
układów podwójnych — przeciętnie U/ L = 5 ( v a n d e n B e r g 1961);
2) znaczna część masy gromad galaktyk występuje w postaci nieświecącej
materii międzygalaktycznej. Ponieważ jednak objętość gromad superzwartych
stanowi 10'4 objętości normalnych gromad, mało prawdopodobne wydaje się
przypuszczenie istnienia w nich
wielkiej
ilości materii niewidocznej, której
wpływ objawiałby się w tak dużych stosunkach masy do jasności, jakie się
otrzymuje;
3) gromady galaktyk ekspandują, posiadając całkowitą energię mechanicz
ną dodatnią i do nich nie stosuje się twierdzenie o wiriale. Ta możliwość
natrafia również na trudności, o których była wyżej mowa.
Przypuszczenie 1) zasługuje na specjalną uwagę. Pogląd, iż na odległo
ściach,
z jakimi ma się do czynienia w przypadku gromad galaktyk, mogą
działać
inne
siły
oprócz
grawitacji
Mianowicie w „A tlasie Palomarskim”
znajduje
potwierdzenie obserwacyjne.
wykryto ponad 200 wzajemnie działa-
303
jących n a siebie układów: galaktyk podwójnych i wielokrotnych z zauważal
n ą deformacją, z mostami lub pogrążonych w jakiejś jednej mgławicy gazowej.
Niektóre z galaktyk wzajemnie się przenikają. Istn ie ją pary o jednakowej pręd
kości radialnej, które nie wykazują śladów wzajemnego oddziaływania przycią
gającego, jak gdyby malało ono wraz z w yższą potęgą odległości niż w prawie
grawitacji. Na fakt ten zwrócił uwagę Z w i c k y jeszcze w roku 1957 ( Z w i c k y
1957).
W blisko położonych względem siebie układach można zauważyć wzajemne
oddziaływanie w następującej postaci:
1) części galaktyk zwrócone do siebie s ą mniej jasne;
2)
3)
4)
5)
spiralna struktura jest zdeformowana lub nie występuje zupełnie;
obserwuje się połączenia pomiędzy galaktykami, mosty;
występują niekiedy anomalne występy, ogony, włókna lub tp.,
galaktyki typu symetrycznego bywają zdeformowane, asymetryczne.
Jasność i rozmiary ogonów i włókien u niektórych galaktyk s ą tego samego
rzędu co jasność i wielkość samych galaktyk. Dobrze znany jest most o dłu
gości ok. 70 kps i grubości 2 kps. Podobne włókna lub mosty łą c z ą niekiedy
ramiona spiralne galaktyk grupy i posiadają podobny skład.
Od czasu konferencji w Santa Barbara zainteresowanie problemem stabil
ności gromad galaktyk nie słabnie i kilku astronomów, pracujących w dziedzi
nie
astronomii pozagalaktycznej, ogłosiło ciekawe prrice dotyczące tego za
gadnienia.
W początkach
Zwicky
lub
lat
sześćdziesiątych
de
Vaucouleurs
i niezależnie
zaproponowali pewien test, który mógłby zdecydować, czy gromada
grupa
galaktyk,
posiadająca
całkowitą energię dodatnią
rzeczywiście
rozszerza się, czy też posiada „niew idoczną masę” , lub może d z ia ła ją w niej
jakieś nieznane siły. W przypadku ekspansji powinno obserwować się w iększą
dyspersję prędkości radialnej w centrum gromady n iż w jej zewnętrznych regio
nach, je śli gromada ekspanduje w czasie wystarczająco dużym, aby galaktyka
przeszła średnice gromady.
VI związku z tym testem N o e rd l i n g e r (1971) rozpatrywał rozmaite możliwe
ruchy galaktyk w gromadzie i czy test mógłby rozstrzygnąć z jakiego rodzaju
ruchem mamy do czynienia w rzeczywistości. Stosowalność testu zależy od
historii
gromady i przyczyny rozpadu. Autor rozpatruje trzy możliwe modele
ekspansji:
1) galaktyki początkowo poruszały s ię w gromadzie w małym regionie, wolno
i w sposób przypadkowy. Następnie zadziałały jakieś siły, które przyspieszyły
ich ruch i spowodowały, iż zaczęły wybiegać radialnie na zewnątrz;
2) galaktyki w układzie zwartym posiadały na początku ruch szybki i przy
padkowy; zostały następnie uwolnione na skutek utraty masy wewnątrz gromady,
zmiany grawitacji lub innej przyczyny;
304
M. Karpowicz
3) galaktyki nigdy nie tworzyły fizycznego układu; oglądam y natom iast de
zintegrację przypadkowego ze jś c ia s ię poruszających się w sposób przypadkowy
galaktyk.
Jed ynie w przypadku 1) test de
Vaucouleursa
i
Z w i c k y ’ego
pow i
nien być spełniony, poniew aż na granicy gromady galaktyki nie p o s ia d a ją sk ła
dowej ra dialnej. W przypadkach natom iast 2) i 3) trzy składowe prędkości są
zmiennymi n ie za le żn y m i, a zatem pomiędzy dy sp ersją prędkości i o d le g ło ścią
od środka gromady nie powinno być korelacji.
Ja k dotąd znany je s t jedyny przypadek grupy galaktyk w Sculptor, w którym
spełniony je s t test de V a u c o u 1 e u r s a-Z w i c k y’ e go i prawdopodobnie grupa
rozszerza s ię . Je d nak że , jako jedyny — wynik ten może być statystycznie mało
znaczący
i na jego podstaw ie n ie można wypowiadać ogólnego tw ierdzenia,
dotyczącego ek sp an sji gromad, tym bardziej iż wyniki negatywne nie zawsze
s ą ogłaszane.
Z w i c k y (1962) przeprow adził analo giczne badania b lisk ie j gromady, ozna
czonej w jego katalogu symbolem Cl 0123—0138 i w nioskuje, iż ta gromada nie
ekspanduje. W przeciwnym przypadku nie powinno obserwować się koncentracji
galaktyk
ku środkowi i oprócz tego sym boliczne prędkości ucieczki powinny
d ąży ć do zera na peryferiach gromady.
Zgodnie z badaniami Z w i c k y ’ e g o
i Itumasona
(1964) rów nież gromada
dokoła \GC541, która zawiera ok. 500 galaktyk w polu 4 stopni kwadratowych,
galaktyk o jas n o śc ia c h 13,4 < m < 19,0 — nie wykazuje ek sp an sji.
P raca W o o l f a (1967) dotyczy p oszukiw ania brakującej masy w gromadach.
Autor p rzypuszcza, iż m oże to być wodór w postaci gazu zarówno molekularne
go, jak atomowego lub też zjonizow anego.
O bserw acje w d z ie d z in ie fal radiowych, w dłu g o śc i fa li 21 cm odkryły s ła b ą
absorpcję w gromadzie Virgo w skazując na obecność pewnej ilos'ci neutralnego
wodoru, jednak n ie d o s ta te c z n ą d la u sta b ilizo w a n ia gromady.
In n i astronom owie, np. O o r t
teria
może
zaw ierać
się
i P a a 1, p rz y p u sz c z a ją , iż niew idoczna ma
w w ypełniającym
o mniej w ięcej stałej g ęstości.
M etagalaktyką gazie neutrinowym
B rakująca masa może przyjmować rozm aite po
stac i, a w ięc np.: a) zjonizow anego i neutralnego wodoru, b) gw iazd, c) słabych
galaktyk. Ułamek ukrytej masy pow inien w zrastać wraz ze wzrostem promienia
gromady.
Iłok temu ukazała się ciekawa praca zbiorowa ( S p i n r a d
i in. 1971),w któ
rej autorzy s y g n a liz u ją odkrycie w podczerw ieni olbrzym iej, masywnej galaktyki
eliptycznej
w o dleg ło ści ok. 1 Mps, porównywalnej z n a s z ą G alaktyką i ga
lak ty k ą M31. Je s t ona prawdopodobnie członkiem Grupy L o k a ln e j.
N a zakończenie warto w spom nieć prace R o d a i in. (1970), w której autorzy
badali
stosunek mas
(gdzie
M yp
oznacza m asę
gromady otrzym aną
305
z twierdzenia o wiriale, M — masę, jako sumę mas indywidualnych galaktyk)
dla bliskich grup galaktyk.
Stosunek ten wykazuje wyraźną korelację z promieniem gromady R i dyspersją
prędkości V :
H ± T ^ V 1’5
M
M
Na podstawie tych badań autorzy dochodzą do następujących wniosTców:
1) jeśli grupy przebadane są stabilne, wtedy ułamek „masy ukrytej” wzrasta
wraz ze wzrostem promienia i dyspersją prędkości, przy tym „masa ukryta”
może znajdować się w niezwykłym stanie fizycznym;
2) jeśli przyjąć, iż gr. ;iy są niestabilne, wtedy musiały rozpocząć ekspan
sję w rozmaitych epokach i niezależnie od wieku Wszechświata;
3) hipoteza siły działającej, innej niż grawitacja mogłaby wyjaśnić korela
cję
(Myj/M, R), ale nie wyjaśnia związku {Myp/M, V).
Wyjaśnienie obecności obu korelacji mogłoby sugerować istnienie bardziej
ogólnych praw nowej dynamiki.
Do chwili obecnej podejmowane są próby rozwiązania problemu stabilności
czy też niestabilności gromad i prace dotyczące bezpośrednio lub pośrednio
tego zagadnienia ukazują się w dalszym ciągu w podstawowych czasopismach
astronomicznych. Wydaje się, iż główna przyczyna trudności i niepowodzeń
leży w zbyt skąpym materiale obserwacyjnym, zwłaszcza w małej ilości znanych
prędkości radialnych galaktyk w gromadach. Nadzieja rozwiązania zagadnienia
wiąże się zatem z ich skompletowaniem, jak również z większym nagromadze
niem obserwacji materii międzygalaktycznej w podczerwieni i w zakresie fal
radiowych.
LITERATURA
A m b a r c u m i a n , V .A ., 1955, I.A .U . Symposium No. 5, 4.
H u m a s o n , M .L ., W a h 1 q u i s t, H. D ., 1955, A .J . 60, 254.
L i m b e r , D .N ., 1961, A .J . 66, 572.
N e y m a n , J . , P a g e , T», S c o t t , E ., 1961, A .J . 66, 533.
N o e r d l i n g e r , P .D ., 1971, A p .J . 163, 437.
R o o d , H .J ., R o t h m a n , V .C .A ., T u r n r o s e , B .E ., 1970, A p .J. 162, 411.
S p i n r a d , H. and a l., 1971, A p .J .
163, 125.
v a n d e n B e r g , S ., 1961, A .J . 66, 566.
V o r o n t s o v-V e l y a m i n o v , B ., 1961, A .J ., 66, 551.
Z w i c k y , F ., 1962, I.A .U . Symposium No. 15, 347.
Z w i c k y , F. , H u m a s o n , M .L ., 1964, A p .J . 139 , 269.
'
■
'
■
■
____
__________
POSTĘPY ASTRONOMII
Tom XX (1972)* Zeszyt 4
A ST R O FI ZY KA RELATYWI STYCZNA I
P O L E GRAWITACYJNE
MAREK DEMIAŃSKI
Instytut Fizyki Teoretycznej Uniwersytetu Warszawskiego
PEJ1HTMBWCTCKAH ACTPO$W3MKA. I
M. Ae MSHb CKM
C o n e p *aHMe
B cTaTbe flaHO onMcaHwe BHeuiHero rpaBHTamioHHoro nojiH pejiHTHBHCTCKMX
a c T p o 4 > H 3 im e c K M x
06b e K T 0B .
THE RELATIVISTICAL ASTROPHYSIC. I
Summary
A description of the external gravitational field of the relativistic astrophysical objects is given.
Od momentu powstania ogólnej teorii względności zdawano sobie sprawę
z tego, że powinna być ona podstawą rozważań kosmologicznych. Przez długi
okres czasu było to jedyne — poza przewidzianymi efektami przesunięcia prąż
ków widmowych ku czerwieni, ruchem peryhelium Merkurego i zakrzywieniem
promieni świetlnych w polu grawitacyjnym — zastosowanie ogólnej teorii względ
ności, mogące
mieć jakiś związek z obserwacjami astronomicznymi. W latach
sześćdziesiątych rozwinęła się nowa dziedzina wyrosła na pograniczu fizyki
i astrofizyki — astrofizyka relatywistyczna. Zajmuje się ona badaniem wpływu
efektów relatywistycznych na procesy zachodzące w gwiazdach i galaktykach
oraz zmianami, jakie one wywołują na drodze ewolucyjnej tych obiektów. Ogra
li 307]
M. Demiański
308
niczymy s ię tu do om ów ienia wpływu pola grawitacyjnego na procesy zachodzą
ce w otoczeniu gw iazd lub galaktyk, w szczególności w ich ostatnich etapach
ew olucji.
Najprostszym i najw ażniejszy m przykładem je s t statyczne pole graw itacyj
ne sferycznie symetrycznej nierotującej gwiazdy. W teorii Newtona pole grawi
tacyjne opisujem y ża pomocą potencjału V, który sp ełnia dobrze znane równanie
Poissona:
= 4u Gp
gdzie
(1)
p opisuje rozkład materii a G je s t s ta łą graw itacyjną (G = 6,67 10 .
. g"1 . cms . s 'J). D la statycznego, sferycznie symetrycznego ograniczonego roz
kładu materii p o tencjał grawitacyjny ma postać:
<P(r) = - -G ml r)-
(2)
r
gdzie m(r) = 4 tr / p (r') r ' 2 dr'. Jako warunek brzegowy przyjęliśm y ograniczenie,
o
że- po tencjał znika w niesko ńczon ości przynajm niej ja k 1 /r, W teorii Newtona
pole
graw itacyjne
nie
wpływa
ani
na
w łasności
geometryczne przestrzeni,
która pozostaje nadal euklidesow a, ani też nie zm ienia biegu zegarów w yznacza
jących czas absolutny.
Szczególna
teoria w zględności istotnie zm ieniła nasze wyobrażenia o prze
strzeni i czasie odrzucając p ojęcie absolutnego czasu i absolutnej przestrzeni,
a
na
ich
m iejsce
w prow adzając
pojęcie
czasoprzestrzeni.
Czasoprzestrzeń
w szczególnej teorii w zględności je s t to czterowymiarowa przestrzeń pseudoeuklidesow a, w której kwadrat odleg ło ści pomiędzy sąsiednim i punktami (zda
rzeniam i) wyznaczony je s t przez element liniow y:
ds^
dt^ - dx^ - dy^ - dt\
(3)
gdzie x, y i z s ą w spółrzędnym i w trójwymiarowej przestrzeni euklidesow ej,
t je s t w spółrzędną czasow ą a c je s t p rę d k o śc ią św ia tła .
W ogólnej teorii w zg lędności przyjmuje s ię , że pole graw itacyjne zm ienia
geometryczne w łasności czasoprzestrzeni. Tylko w ów czas, gdy nie występuje
pole grawitacyjne można w całej przestrzeni wprowadzić tak układ w spółrzęd
nych,
aby kwadrat o d le g ło ści pom iędzy dwoma sąsiednim i punktami w yrażał
s ię prostą z a le ż n o ś c ią (3). J e ż e li występuje pole graw itacyjne układ taki nie
is tn ie je , choć w otoczeniu każdego punktu można wybrać w spółrzędne tak, aby
kwadrat odleg ło ści redukował s ię do postaci (3). O gólnie element liniow y zapi
sujemy w postaci:
A s tr o fiz y k a re la ty w is ty c zna. I
309
d$2 = Sap d x a d x t
(4)
(a, (3 i w szystkie w skaźniki greckie przyjmują w artości 0,1 ,2 ,3, sumujemy po
powtarzających s i ę w skaźnikach, np. u a v a = u q v ° + Uj t>^ +
v ? + u ^ v ^),
gdzie g a p (xp)= gpa (*P) s ą składowymi tensora metrycznego, które wyznaczamy
z równania pola.
Pole grawitacyjne n a zewnątrz sferycznie symetrycznego rozkładu materii
j e s t opisyw ane przez element liniowy:
ds2= X^~t )
c2rft2-
4
-
r 2( <i e 2 + s i n 2 0 ^ 2),
(5)
2 OM
gdzie r5 = -----(patrz np. L a n d a u , L i f s z i c ) . To rozw iązanie równań Einn
CL
s te in a S c h w a r z s c h i l d otrzymał po raz pierwszy w roku 1916.
Aby dokładniej zbadać różnice pomiędzy w łasnościam i pola grawitacyjnego
w teorii Newtona i ogólnej teorii w zględności zbadajmy ruch c z ą ste k próbnych
w c z a so p rz estrz en i Schw arzschilda. Równanie ruchu c z ąste k próbnych znajdu
jemy rozw iązując równanie H amiltona-Jacobiego:
g ° n a s,p =
Równanie
(6)
roz pisa ne
jawnie
dla
™2 c 2 .
metryki
( 6)
Schw arzschilda przyjmuje
p ostać:
1
l_ / d _ S \ 2
i _ JL c 2 V < /
r
J a k w każdym polu centralnie symetrycznym ruch będzie się odbywał w jed
nej p ła s z c z y ź n ie ; przyjmujemy, że pokrywa się ona z p ła s z c z y z n ą 0 - t t /2. Rów
nanie Hamiltona-Jacobiego rozwiązywać będziemy metodą se pa ra c ji zakład ając,
że funkcja tw orząca daje s i ę z a p is a ć jako:
S = -
E t + J V . + S r (r) ,
(8)
M. Demiański
310
gdzie E je s t energią cz ąstk i a J momentem pędu względem centrum. Na funkcję
S r (r) otrzymujemy równanie:
1 3r 7c
“ 2 “2
-
stąd:
Tor cząstki określamy przyrównując do sta łe j pochodną funkcji tworzącej
S względem wartości momentu pędu J l ^ j~ - const J, skąd:
*
Jdr
(i d
Całka ta sprowadza s ię do całek eliptycznych i w ogólnym przypadku nie
wyraża s i ę przez funkcje elementarne.
Ruch, czyli zależno ść współrzędnej radialnej od c z a su t, znajdujemy
SS
/
'
z równości ~rir = const. Otrzymujemy w ten sp osób równanie, które zap isan e
óE
w postaci różniczkowej sprowadza s i ę do:
1
dr
1 - — cdi
r
,2
mc
E
//£
Y
\\m c ^ J
1
J 2
r
J 2 rg ~
m2c2 r2
W podobny sp o só b na <P otrzymujemy równanie:
Równań tych nie można rozwiązać przy pomocy funkcji elementarnych.
Jako ściow e informacje o ruchu można uzyskać znajdując krzywe potencjalne.
Astro fizyka relatywistyczna. I
311
Dla porównania rozważmy na początek analogiczne zagadnienie
Newtona. Ruch dany jest wówczas dobrze znanym wyrażeniem:
1
dr
— =—
dt
/
2 GM
V 2 E +f
J
w teorii
T
(14)
r
, r ,
77
GM
J2
r otencjał efektywny Vej ----- +---- - przy r -» 0 rośnie nieskończenie,
2mr 2
przy r -» oo dąży do zera od strony ujemnych wartości, a przy r =
minimum równe ( K f ) min “
G 2M2'
/
2 GMr
osiąga
2/2
Def
Rys.
1, P o te n c ja ł efektywny c z ą s tk i o różnym od zera momencie pęd u w p o lu grawi
tacyjnym
Gdy E > 0 tor cząstki będzie nieograniczony, a przy E < 0 będziemy mieli
stan związany i ruch cząstki będzie ruchem ograniczonym. Wówczas gdy / = 0
obraz' ruchu ulegnie zmianie.
M. Demiański
312
Rys. 2. Potencjał efektywny c ząstk i poruszającej się w polu grawitacyjnym z zero
wym momentem pędu
Potencjał efektywny jest cały czas ujemny, gdy r -* 0 dąży do minus nie
skończoności, a gdy r -» oo maleje do zera od strony wartości ujemnych i w ob
szarze r t (O, o o ) nie posiada ekstremów.
Cząstki
próbne poruszające się z / = O i z dodatnią energią oddalać się
będą do nieskończoności, a ruch cząstek z E < O będzie ograniczony; spadać
będą one na ciało centralne.
Możemy łatwo obliczyć efektywny przekrój czynny na spadanie
cząstek
o masie m na powierzchnię ciała sferycznego o masie M i promieniu R , które
przyciągają się zgodnie z prawem Newtona. Warunkiem złapania cząstki przez
ciało centralne jest spełnienie nierówności rmjn < R , gdzie rmin jest naj
m niejszą odległością cząstki od środka centrum s ił. N ajw iększą m ożliwą
wartość parametru zderzenia, przy której następuje jeszcze wychwyt, znajdu
jemy z warunku Vef (R) = E , skąd na przekrój czynny otrzymujemy wyrażenie:
+
(15)
gdzie vx jest prędkością cząstki w nieskończoności. Przy , v
efektywny
przekrój czynny dąży, jak można się było tego spodziewać, do geometrycz
nej powierzchni przekroju poprzecznego kuli.
.
Astrofizyka relatyw istyczna, I
313
P rz ejd z iem y do d y s k u s ji przypadku re la ty w isty c z n e g o . Przyrównując do
ze ra w yrażenie pod pierw iastkiem w równaniu (12) otrzymamy z a l e ż n o ś ć :
/
r
I2
I 2r
E (r) =1 mc 2 l / l — - + -----— _______ £_ _
\
r
m ^c2r 2 m ^ c2r^
Krzywe p o ten c jaln e dla różnych w a rto śc i /
(16)
p rzed staw ion e s ą na r y s . 3.
R y s . 3. Z a le ż n o ść potencjału efektywnego od o d le g ło śc i dla różnych wartości momentu
pędu c z ą s t e k poru szających s i ę w polu Schwarzschilda
Porów nując otrzymane krzywe p o ten c jaln e z krzywymi potencjalnymi a n a lo *
g ic z n e g o z a g a d n ie n ia w teorii Newtona widzimy dwie z a s a d n i c z e ró ż n ic e.
P o p ie rw sz e w newtonowskim przypadku p o te n c jał d ą ż y ł do n ie sk o ń c z o n o śc i,
gdy r -* 0, w przypadku relatyw istycznym dąży do minus n ie sk o ń c z o n o śc i,
gdy r -» Tg. P o drugie k a ż d a krzywa p o ten c jaln a c z ą s t k i o J > 2 m c r g p o sia d a
dw a punkty ekstrem alne maksimum i minimum, p o d c z a s gdy w newtonowskim
przypadku w ystęp ow ało tylko minimum.
M. Demiański
314
Rozważmy ogólną charakterystykę ruchów cząstek próbnych. Jeżeli cząE
stka porusza się z e n e rg ią-- -< 1, wówczas jej trajektoria jest ograniczona
mc*
i gdy / < 2 mc rg spada ona na centrum siły , a gdy / > 2 mc
ruch odbywa
się w obszarze r ograniczonym od dołu przez r m;n * 0 i od góry przez rmax £ oo.
E
ma x , /
,
i - i
i
/
f
Gdy 1 < --- < --- ^— , gdzie £ raax, / odpowiada maksymalnej wartości ę
m c2
mc
przy zadanej wartości / , cząstka z nieskończoności zb liża się do centrum
siły
na
odległość
minimalną i oddala się następnie
od nieskończoności,
analogicznie jak w przypadku ruchu hiperbolicznego w teorii Newtona.
C ząstka poruszająca się z energią w iększą niż £ max j (przy ustalo n y m /)
zb liżając się z nieskończoności osiąga powierzchnię r = r g i nie oddala się
do nieskończoności. Zostaje ona złapana grawitacyjnie. Przenika ona po
wierzchnię r = rg radialnie, gdyż jak wynika ze wzoru (13) <P-* 0, gdy r -» r g.
Powierzchnię r = rg nazywać będziemy horyzontem Schwarzschilda. Ruchy
tego rodzaju nie występują w teorii Newtona. Zauważmy, że dla cząstki po
ruszającej się, z energią niewiele m niejszą o d ? max,/
w pobliżu rmin
może
być dowolnie małe. Oznacza to, że przy zmianie radialnej współrzędnej r o dr
współrzędna kątowa
może zmienić się o bardzo dużą wartość. Zatem w po
b liżu r mjn cząstka musi wykonać wiele obrotów wokół centrum zanim oddali
się do nieskończoności. W granicy, gdy £ -» £ min, / tor cz£lstki będzie naw ijał
się, na okręg o promieniu równym rmax, j • Charakter ruchu w tym przypadku
jest zasadniczo różny od ruchu w przypadku klasycznym.
O
wiele dokładniej można przeanalizować ruchy radialne cząstek prób-
/i V
r
nych. Kładąc w wyrażeniu (12) / = 0 orazl—-— ] = 1 ~ J L otrzymujemy:
mc^J
To
(17)
gdzie r0 jest położeniem, w którym cząstka spoczywała w chwili początko
wej. Dla dużych rQ i r
nowską:
formuła ta przechodzi w znaną postać newto
A s t r o f i z y k a re l a t y w i s t y c z na . I
315
Wzór (17) o k re śla za le ż n o ść prędkości cz ą stk i próbnej mierzonej przeż
dalekiego obserwatora od położenia. Daleki obserw ator stw ierdza, że prędkość
cz ą stk i maleje do zera w miarę zb liż a nia s ię jej do horyzontu Schw arzschilda,
tzn. gdy r - rg .
Ja k to samo zjawisko będzie widział obserwator spoczyw ający w punkcie,
w którym znajduje s i ę w danej chwili c z ą stk a ? Aby odpow iedzieć n a to pytanie
wprowadzimy lokalnie układ współrzędnych tak, aby element liniowy w otocze
niu punktu, w którym znajduje s ię cz ą stk a w danej chwili zredukował s ię do
■postaci elementu liniowego p łaskiej przestrzen i Minkowskiego. L o k a ln ą współ
rz ę d n ą c z a so w ą i r a d ia ln ą oznaczamy p rz e z t i R s ą one powiązane ze współ
rzędnymi t i r związkami:
dr--
dti dR =
-----—
&
.
(19)
P ręd kość cz ą stk i względem spoczyw ającego obserw atora, którego właśnie
mija j e s t równa:
dR
dt~
*■
dr
I - I*
dt
(20)
O bserw ator ten powie, że c z ą s tk a sp a d a ją c a swobodnie z odle g ło śc i r0
od centrum porusza s ię coraz prędzej i prędkość jej zbliża s ię asymptotycznie
dR
do prędkości ś w i a t ł a ------►c w miarę zbliżan ia się je j do horyzontu Schwarzdt
schilda.
Zupełnie inaczej zmienia się R w zależno ści od c z a s u mierzonego przez
dalekiego obserwatora.
316
M. D em iański
dR
~dv
°
r
r6 ’
ten j est wywołany relatywistycznym opóź
nianiem się zegarów dalekiego obserwatora.
dR.
Prędkość mierzona przez lokalnego obserwatora -- posiada sens fizyczny,
dt
je st to bowiem ta prędkość, która wchodzi do wzoru określającego lokalną ener
gię kinetyczną cząstki.
Możemy teraz zapytać, jak długo będzie spadała cząstka od r = rQ do r = rg
względem zegara dalekiego obserwatora. Prostym rachunkiem można się prze
konać, że cząstka asymptotycznie będzie się zbliżała do r = r g i osiągnie tę
powierzchnię
dopiero
po
nieskończonym
czasie.
Nawet promień
świetlny
wysłany radialnie z dowolnego punktu rQ > rg osiąga horyzont Schwarzschilda
po nieskończonym czasie.
Czas własny mierzony przez lokalnego obserwatora poruszającego się wraz
z cząstką, jaki je st potrzebny na przebycie odcinka od rQ do r
wzdłuż promie
nia jest skończony i co więcej skończony jest też czas po jakim cząstka
dotrze do punktu r = 0.
Z równania (17) można znaleźć zależność r = r(t), to je st położenie cząstki
próbnej w chwili czasu t mierzonej przez dalekiego obserwatora. Jest to oczy
wiście nie to miejsce, gdzie obserwator będzie widział cząstkę w chwili t.
Z powodu bowiepi retardacji światło będzie potrzebowało dodatkowego czasu
At na to, aby dotrzeć do obserwatora. Je że li przez t 0 oznaczymy chwilę, w któ
rej światło dotrze do obserwatora, wówczas dla r -» r g asymptotyczna postać
zależności r{tQ) je st następująca:
c (t0- O
r = rg + O-i- rg) e
2\
,
(22)
gdzie rj = r (t ').
Interesujące jest również zbadanie zmian natężenia źródła światła spadają
cego swobodnie w polu Schwarzschilda z punktu widzenia dalekiego obserwa
tora. Niech w pewnej chwili źródło światła znajduje się w pobliżu r = rg i po
rusza się z prędkością v =
z
obserwatorem.
Założymy,
dt
w zdłuż promienia łączącego ciało centralne
że dla obserwatora poruszającego się wraz ze
światłem promieniuje ono izotropowo ze stałym natężeniem. Gęstość strumie
nia promieniowania w nieskończoności I°» je st dana wzorem:
A strofizyka re la ty wis tyczna, l
1 00
= const
Asymptotycznie, gdy r -* r
r«
(1 -■— ) I --- —
I .
317
(23)
korzystając z (20) i (22) mamy:
const e
s
(24)
Częstość obserwowanego promieniowania zmienia się w podobny sposób
dążąc do zera z tym, że wykładnik potęgi jest cztery razy mniejszy.
Równania ruchu promieni świetlnych otrzymamy przez przejście graniczne
Jc
E -» oc i / -> oo, ale tak aby —— ► l gdzie l posiada interpretację parametru
E
zderzenia.
Równania (12) i (13) przyjm ują wówczas postać:
(25)
(26)
l2 c 2 r
C z ło n ------£ we wzorze (25) powoduje zakrzywianie się promieni świetlr3
nych
w polu grawitacyjnym, np. promień świetlny przebiegający w pobliżu
powierzchni Słońca zostaje odchylony o 1",75. Ten teoretycznie przewidziany
efekt ogólnej teorii względności został jako pierwszy potwierdzony obserwacyj
nie w czasie pełnego zaćmienia Słońca w 1918 roku.
Krzywa zależności l = l (r) otrzymana z warunku — = 0 przedstawiona jest
dt
na rys. 4. Każdy promień przychodzący z nieskończoności z parametrem zderzecl
3 \/lf .
. .
.
.
.
. . y
m a — < ----nie napotyka krzywej powrotu i zostaje grawitacyjnie złapany.
re
2
318
M. DemiaAski
Rys. 4. Z ależność rmin od parametru zderzenia dla promieni świetlnych
Podobnie jak w przypadku cząstek próbnych, promienie złapane przybliżają się
do horyzontu Schwarzschilda radialnie, gdyż <P -> o, gdy r -* r
Można by i w tym przypadku zastanawiać się nad czasem liczonym przez
dalekiego obserwatora jaki jest potrzebny na to, aby promień świetlny dotarł do
horyzontu. Rozważania te dają jakościowo wyniki takie same jak w przypadku
cząstek próbnych.
Zauważmy, że promień świetlny wysyłany przez spoczywające źródła w od
ległości r od centrum nie może dotrzeć do nieskończoności przy dowolnych
kątach emisji. Promienie wysłane do stożka o kącie rozwarcia 2 y danym przez:
re
1-1
|tg Vl = ~ =
Ag
.
r
( 27)
g
nie uchodzą do nieskończoności.
Zarówno cząstki próbne jak i promienie świetlne poruszające się z nie
wielkimi parametrami zderzenia s ą grawitacyjnie wychwytywane przez źródło
siły centralnej. Jak łatwo pokazać przekrój czynny na złapanie cząstek prób
nych wynosi:
Astrofizyka relatywistyczna. I
319
r/r <3 .
2t
Rys. 5. Grawitacyjny wychwyt promieni świetlnych
(28)
d la promieni św ietlnych:
a = 27
tt
rg 2
(29)
A n a lizu jąc ruchy cząste k próbnych i prom ieni św ietlnych w czasoprzestrzeni
opisyw anej
elementem
liniow ym
S chw arzschilda
doszliśm y
do
w niosku,
że
te c ząstk i i te prom ienie, które o s ią g a ją horyzont potrzebu ją na to skończo
nego czasu w łasnego. N aturalne je s t w ięc pytanie, co s ię z nim i będzie działo
po przekroczeniu horyzontu. N ie m ożna
do
op isu
w ła sn o śc i
czasoprzestrzeni
odpow iedzieć na to pytanie używ ając
elementu
on osobliw y na pow ierzchni horyzontu r = r
natom iast
w spółczynnik
S chw arzschilda,
gdyż je s t
W spółczynnik przy dt ^ znika na
tej
pow ierzchni,
Ja k
s ię okazuje o so b liw o ść ta je s t zw iązan a z wyborem układu w spółrzęd
przy
d r 2 rośnie
nieograniczenie.
nych i nie posiada sensu fizyczn ego. Można tak wybrać układ w spółrzędnych,
aby
element
liniow y b y ł regularny
dla r = rg .
N a jp e łn ie jszy układ w s p ó ł
rzędnych sp e łnia jąc y te warunki zo sta ł podany przez K r u s k a l a .
on współrzędne u i v p o w iązane z r i t przez:
Wprowadził
320
M. D emiański
{ /= ! -
—
6 2r® c h T T >
(31)
i
~2 ^
\2
V =
n ie
1- — )
V
e
sh
2r«
z m ie n i a ją c w s p ó łr z ę d n y c h k ąto w y c h . E le m e n t lin io w y w tych w sp ó łrz ę d
n y c h p rzy jm u je p o s t a ć :
R y s. 6. L in ie
T
- c o n st n a diagram ie K ruskala
d S2 = f { d V * - d V V - r 2 (<fó2 + sin2 0
f
* .* - f
gdzie / - — !_ e s t r j e s t p o w ią z a n e z II i V p r z e s tę p n y m rów naniem
(32)
Astrofizyka relatywistyczna I
321
Rys. 7. Linie stałego czasu na diagramie Kruskala
|p
gj1
Własności współrzędnych najlepiej je st zobrazować
szczyźnie (U, V) krzywe r = const i t = const
ct
r * rfl
Rys.
8.
Część
r =
const, są. hiperbolami
na płaszczyźnie (U, V) natomiast linie
stałego czasu t =
const są prostymi prze
chodzącymi przez początek układu współ
rzędnych.
Zobaczmy' jeszcze jaka część płaszczyzny ({/, V) odpowiada czasoprzestrze
ni
opisywanej
elementem
liniowych
Schwarzschilda.
*
Metryka Schwarzschilda jest określa
na dla r > rg, odpowiada jej część płasz^
czyzny W , V) ograniczona przez proste
U = V oraz U = - V i warunek V > 0.
Możemy teraz znając własności współ
czasoprzestrzeni
Schwarzschilda opisywana
współrzędne ct i r
promienie
Krzywe
przedstawiając na
przez
rzędnych
nie
U i
dotyczące
V odpowiedzieć na pyta
losu
cząstek
próbnych
i promieni świetlnych po przekroczeniu
horyzontu. Warto tu dodać, że radialne
świetlne na płaszczyźnie (U, V) będą reprezentowane przez proste
U ± V - const. Niech na płaszczyźnie (U, V) hiperbola CTO reprezentuje linię
322
M. Demiański
św iata
(trajektorię
w
czasoprzestrzeni)
A BC będzie l in ią św iata
dalekiego
obserwatora,
a krzywa
c ząstk i próbnej. Z punktu w idzenia dalekiego obser
watora cząstka próbna z b liż a ć się- będzie asym ptotycznie do horyzontu i dotrze
do
punktu
nym
B
po
czasie.
ru sza jący
p ow ie,
nieskończo
Obserwator
s ię
po
wraz z c z ą s tk ą
że punkt B o s ią g a po
skończonym
czasie
własnym
i p rzenika przez horyzont poru
s z a ją c się po lin ii św iata BC.
Czasoprzestrzeń
p oza horyzon
tem p o siad a zupełnie inne wła
sno ści. 0 ile w obszarze r >
c ząstk ę p ró b n ą przez przyłoże
nie
siły
ków
(np. w łączenie
rakiety)
m ożna
s iln i
było
za
w rócić i o d d alić znowu do nie
sk ończo ności,
m o żliw e
to
je s t
poza
to nie
horyzontem.
W obszarze r < r g k a żd a c z ą
stka niekoniecznie poruszająca
Rys. 9. C zęść czasoprzestrzeni Schwarzschilda
opisyw any przez współrzędne ct i r na diagra
mie Kruskala
s ię
cyjnie
s iły
gdzie
pole
sw obodnie,
je s t
grawita
zw iązan a przez centrum
i
po
skończonym
czasie
własnym o siąg a punkt r = 0,
graw itacyjne staje się nieskończone. J e ż e li z dowolnego punktu
wewnątrz obszaru r < r g (np. punkt L) wypuścimy radialnie sygnały św ietlne
w kierunku ku środkowi i na zew nątrz, to pierw szy sygnał dotrze oczyw iście
do punktu r = 0, ale i drugi sygnał wysłany na zewnątrz zostanie w silnym
polu
grawitacyjnym
osiągnie
zakrzywiony ta k ,ż e po skończonym
punkt r = 0.
czasie
własnym te ż
Żaden sygnał nie może przeniknąć z obszaru r <
do dalekiego obserwatora. Nie bez powodu w ięc pow ierzchnię r = rg ogranicza
j ą c ą ten obszar nazw aliśm y horyzontem. O bszar r < r g je s t obszarem niestatycznym,
w tym obszarze niem ożliw y je s t spoczynek i co w ięcej wszystkie
c z ą s tk i i promienie św ietlne, które znalazły s ię w tym obszarze po skończo
nym czasie własnym o s ią g a ją oso bliw o ść r = 0. Te w łasności obszaru r <
m a ją
podstawowe
padania.
Zajm ow aliśm y
znaczenie
s ię
dla
dotychczas
zrozum ienia
opisem
zjaw isk a
w łasności
graw itacyjnego
sferycznie
za
symetrycz
nego p ola grawitacyjnego w próżni. Pole takie je s t wytwarzane przez statycz-
323
A s tr o fiz y k a re la ty wisty czna, /
Rys. 10. H istoria zapadającego się obłoku pyłu we współrzędnych Kruskala
ny sferycznie symetryczny rozkład materii. Często w zastosowaniach astro
fizycznych spotykamy się, z układami stacjonarnej materii. Dotychczas nie
udało s ię nikomu znaleźć rozwiązania równań Einsteina, reprezentującego
pole grawitacyjne wytwarzane przez taki rozkład materii. Znamy kilka szczegól
nych rozwiązań, wsrdd nich na uwagę zasługuje rozwiązanie opisujące pole
grawitacyjne daleko od mas oraz rozwiązanie podane przez K e r r a .
W obszarze r » rg pole grawitacyjne wytwarzane przez dowolny stacjonar
ny rozkład materii j e s t opisywane przez element liniowy w postaci:
xb. di
\
c jJ
“*
cdt -
+ dy^ + dzty, (34)
r3
gdzie 9 je s t newtonowskim potencjałem grawitacyjnym, a Ma^ j e s t tensorem
momentu pędu układu. Na uwagę zasługuje pojawienie się członów pozadiagonalnych, których źródłem j e s t moment pędu układu. W ogólnej teorii względ
ności, obracające się sferycznie symetryczne ciało będzie wytwarzało pole
grawitacyjne osiowo-symetryczne i w przeciwieństwie do teorii newtonowskiej
324
M . Uemiański
daleki
obserwator będzie m ógł stw ierdzić,
że źródłem p ola je s t obracające
się ciało. N a cząstki próbne, oprócz siły p rzyciągania grawitacyjnego, d z ia ła ć
będzie
dodatkowa s iła o w łasnościach analogicznych do siły
C o rio lis a, wy
stęp u jącej w obracających się nieinercjalnych układach o dn iesienia.
Ja k ju ż w spom inaliśm y znamy tylko jedno śc isłe rozw iązanie równań pola
grawitacyjnego podane w 1963 roku przez K e r r a ,
które może opisyw ać pole
graw itacyjne wytwarzane przez o b ra c a ją c ą s ię gw iazdę w próżni. Elem ent lin io
wy Kerra je s t podany w postaci:
ds2 =
1-
r6 r
t
2+a 2
c o s 2 Qy
0 ,0
2 re r a s in 2 0
c 2 d t 2 ----*--------- cdt d f r 2 +a 2 c o s2©
(35)
r 2 + a 2 cos2 0
r 2 + a 2 - r r„
2
o r re a 2 sin2 6
dr2 - ( r 2 + 0 2 CO8 20 ) J q 2 - s in 2 e r l + a 1 +— g-------r 2 + a 2 cos 20
dtp2 .
Rys. 11. Powierzchnia nieskończonego przesunięcia ku czerwieni i horyzont w czaso
przestrzeni Kerra
U kład w spółrzędnych z o s ta ł wybrany tak, aby d la a = O element liniow y
redukował
s ię do p ostaci Schw arzschilda. Dowolny parametr r g w ystępujący
w metryce można pow iązać podobnie ja k w przypadku pola sferycznie symetrycznego z m a s ą c ia ła centralnego r
2 GM
= ----- . F iz y c z n ą in te ip re ta c ję parametru a
8
c2
znajdujem y
rozpatrując
słabe pole
graw itacyjne,
tzn. pole
w takich odle-
325
A str ofizyka relatywistyczna. I
ległościach, że
6 /r
«
1
i a/r «
1.
Porównując wynik tego przejścia granicz
nego z postacią metryki znajdujemy, że:
J - Mac,
(36)
gdzie / jest całkowitym momentem pędu ciała centralnego a jest- więc momen
tem pędu na jednostkę masy.
Metrykę Kerra zapisać można w asymptotycznie płaskich współrzędnych;
przyjmuje ona wówczas postać:
r r3
ds^ = c 2 dt 2- dofi - dy2 - d z 2 -- 7 ----s—s ^
'
r* + o z z z
»
(37)
gdzie A; określona jest związkiem:
(r2 + a 2) r i =
(*efoc +ydy) + or (acdy - ydx) + (r 2+ a 2) (zdz + rcdt),
(38)
a r jest zdefiniowana jako rozwiązanie równania:
r * - (/?2 - « 2) r 2 - a 2 z2 = 0 ; /?2 = * 2 +y2 + z 2 i
Rozw ażając
przypadek
słabego
pola
(3 9 )
znajdujemy potencjał newtonowski
w postaci:
C M r3
T *
r 4--+ o 2zz~ z
, JA.
(40)
Korzystając z defini<g'i współrzędnej r możemy przedstawić go jako sumy
multipoli:
_G M
GM a 2
GM a*
-- + ------ ^ 2 (cos ®) “ --- :— ^ 4 (cos 0) + . . .
R
R3
R5
(41)
i ogólnie, je że li przez V^ oznaczymy 1 -ty moment multipolowy mamy:
f 2/ ♦ 1 = 0,
? 2/ = (-1 ) 2 GM a 21
(42)
326
M. Demiański
W ogólnym przypadku ciało centralne w wyniku obrotu u le gać będzie defor
m acji
nie
tak,
że rozkład masy będzie opisywany przez szereg m u ltip o li, które
s ą ze s o b ą pow iązane.
Z powodu bardzo szczególnych zw iązków między
momentami multipolowym i a momentem pędu rozw iązanie Kerra nie może opisy
wać
pola
gw iazdy.
grawitacyjnego
dowolnej
sferycznie
symetrycznej obracającej
się
Tym niem niej rozw iązanie to je s t bardzo istotne dla badania końco
wych faz grawitacyjnego zapadania gw iazd niesferycznych.
Zarówno w przypadku metryki Schw arzschilda ja k i metryki podanej przez
Kerra
£00
dla
pewnej
w artości
w spółrzędnej
radialnej
=
0.
P ow ierzchnia
= 0 je s t pow ierzchnią nieskończonego p rzesunięcia ku czerw ieni. D aleki
obserwator, który będzie ś le d z ił monochromatyczne źródła św iatła z b liża ją c e
się do tej pow ierzchni stw ierdzi, że d łu gość fa li obserwowanego św iatła roś
nie n iesko ńczen ie. Zegary zsynchronizow ane ze w skazaniam i zegarów w nie
sk ończo ności
coraz
um ieszczane
coraz
b liże j
tej pow ierzchni b ędą sp ó źn iały się
bardziej. W czasoprzestrzeni Schw arzschi Ida g QO = 0 , gdy r =
pokazaliśm y
i jak
je s t to pow ierzchnia ro z d z ie la ją c a dwa obszary, pomiędzy któ
rymi informacje m ogą być przesyłane tylko w je d n ą stronę. Tak nie je s t w przy
padku metryki Kerra, gdzie pow ierzchnia g 00 = 0 je s t tylko pow ierzch nią n ie
skończonego p rzesunięcia ku czerw ieni, le c z nie je s t horyzontem. Pow ierzch
n ia horyzontu je s t dana jako ro zw iązanie równania:
r 2
~
r
r g
+ a 2 = 0.
(43)
r
R ów nanie
to nie p o siad a rzeczyw istych ro zw iązań, gdy a > J L
n j e n,a
r
2 ’
w ówczas horyzontu* Gdy a < — pow ierzchnia horyzontu je s t dana przez:
2
i je s t ona zaw sze zawarta wewnątrz pow ierzchni g 00 = 0 . C z ę ś ć przestrzeni
zawarta
pom iędzy
p ow ie rzc h n ią gQ = 0 a horyzontem nazywamy ergosferą.
W granicznym przypadku a -* 0 pow ierzchnia horyzontu pokrywa s ię z pow ierzch
n i ą nieskończonego p rz e s u n ię c ia ku czerwieni g QQ - 0. P odobnie ja k w przy
padku metryki S chw arzschilda w czasoprzestrzeni Kerra lin ie
św iata
cząstek
próbnych
i promienie św ietlne d o c ie ra ją do horyzontu po skończonym czasie
własnym.
P ow inien
zatem is tn ie ć
układ w spółrzędnych, w którym m ożna by
Astro fizyka relaty wis ty czna. I
je
p rzed łu ży ć
d zięk i pracom
Istn ien ie
poza
horyzont.
Boyera,
w
T a k i pełny
Lindquista
c z a s o p r z e s tr z e n i
Kerra
327
układ współrzędnych j e s t znany
i Cartera.
dwóch
n ie z a le ż n y c h
stały c h ruchu
p o z w a la sp ro w a d z ić zag ad n ien ie zn ajdo w ania ruchu w ogólnym przypadku
do kwadratur. A n aliz a ruchu c z ą s t e k próbnych i promieni św ietln ych w c z a s o
p rz e strz e n i Kerra j e s t o w iele ba rd z iej skom plikow ana niż w przypadku metryki
S c h w a rz sc h ild a .
LITERATURA
L .D . L an d a u, E. L i f s z i c, Teoria pola, P WN, 1958.
M. K r u s k a l , Phys. Rev. 119, 1743, 1960.
J . B. Z e l d o v i c z, I. D. No v i k o v, R elativistsk aja Astrofizika, Nauka, Moskwa 1967.
R. P. K e r r , Phys. Rev. Lett. 11, 237, 1963.
R. H. Bo y e r, R. W. L i n d qo u i s t, J . Math. Phys. 8, 265, 1967.
B. C a r t e r , Phys. Rev. 141, 1243, 1966.
I
P O S T Ę P Y ASTRONOMII
A ST RO FI ZYKA RELATYWI STYCZNA II
HYDRODYNAMIKA
MAREK
DEMIAŃSKI
Instytut F izyki Teoretycznej Uniwersytetu Warszawskiego
PEJIHTMBMCTCKAH ACTPO$M3MKA. II
M.
/ Je M J i H b CK M
Coflepacamie
B
C T aT be
n p e A C T a B .ie u b i
vt
M c c jie flO B aH b i
ypaBHeH M H
B npmioKeHMM paccMOTpeHbi pejiHTHBWcrcKMe yaapHbie
b o jih h
rw flp o flM H a M m k m .
.
THE R E L ATIVISTICAL ASTROPHYSIC. II
Summar y
Hydrodynamic
equations are stated and discussed. One describes also
relativistic shock waves.
Pole grawitacyjne, zarówno w teorii Newtona jak i w ogólnej teorii względ
ności, możemy wyznaczyć, jeżeli zadany jest rozkład materii oraz warunki
brzegowe, np. charakteryzujące zachowanie pola w nieskończoności. Ważną
rolę odgrywać będą zatem metody opisu rozkładu materii i jej ruchu. Intereso
wać
nas będzie makroskopowe zachowanie się materii i dlatego stosować
będziemy obraz hydrodynamiczny, biorąc pod uwagę jedynie wartości uśre
dniania
po
mikroskopowo
dużych,
lecz
małych
makroskopowo obszarach.
Przypomnijmy sobie, jak opisuje się ruch ośrodka w newtonowskiej czaso
przestrzeni. Stan ośrodka zadany jest całkowicie, je że li jest znany rozkład
[3291
330
M. Demiański
prędkości f = v(x, y, z, l ) = v(r, i), tzn. z a le żn o ść prędkości każdego elementu
ośrodka
od
czasu
oraz
jakiekolw iek
dwie
w ie lk o śc i
termodynamiczne, na
przykład ciśnienie p(r, t) i gęstość p(r>
, t). Z n a jąc rozkład prędkości możemy
ruch cieczy scharakteryzować d o k ład niej, badając względne prędkości dwóch
elementów
ośrodka.
Wyobraźmy so b ie ,
że
poruszamy s ię
wraz
z wybranym
elementem ośrodka, którego prędkość je st v = v(r* t). Sąsiedni element odległy
o Sr w tej samej c h w ili czasu poruszać s ię będzie z p rędkością v(r*+ Sr*, t).
P rędko ść w zględna Au = v(r + 6r, i) - v(r, t)
=
8r lub wektorowo At>^=
= t>£. i 5x[ (sumujemy po pow tarzającej s ię parze w skaźników )^
przebie
g a ją w artości 1, 2, 3. P ochodną kow ariantną można zastąpić
przez zw y kłą
p ochodną cząstk ow ą,
gdy rozw ażania
w spółrzędnych.
Z
A nj
P och odną wektora
=
5x £ .
drugiej
strony
prowadzimy w kartezjańskim układzie
prędkość
w zg lę d n ą można
prędkości rozkładam y
określić przez
na nieprzywiedlne
sk ła d n ik i:
Rys. 1. Względne położenie w przestrzeni dwóch sąsiednich elementów ośrodka
; Z = u k l + °k l + 3 h l Q >
M
A stro fizyka relatyw istyczna. II
331
gdzie cofci = co[£/] oznacza część całkowicie antysymetryczną, oî = a(ki)
część symetryczną bezśladową, a © =
jest diwergencją wektora prędko
ści. Oczywiście zgodnie z definicją mamy:
2
( )
Aby podać interpretację poszczególnych składników, rozważmy jak zmieni
się wektor względnego położenia po upływie czasu dt. Rozw ijając Sr*{t + dt)
w szereg Taylora i zatrzymując jedynie wyrazy liniowe w dt otrzymamy:
(4)
6* ’^. = 8 jc ic + vfc. i 8%i dt.
Je że li u>/ę[ = 0 =
wówczas 6 * ’^. = 6*^ + v/c. i
8x[dt. Wprowadzając
oznaczenie l2 = 5x ^ 6^. łatwo sprawdzić, że — — = 0 , czyli 0 jest związane
z izotropowymi zmianami objętości, a więc rozszerzeniem lub kurczeniem.
Tradycyjnie parametr 0 nazywa się ekspansją, gdy 0 = 0 = Gfyj, 5%’^ =
= Sxj. +
6X[ dt. Macierz cr^ jest m acierzą symetryczną, można ją więc
w
każdym
punkcie
sprowadzić
do
postaci
diagonalnej
=
A(^)
(Uwaga: nie sumować po wskaźniku k). W takim układzie, w którym o ki jest
macierzą diagonalną mamy zatem 6 *’^ = Sx ^ + A(^) 6*^ dt, a wiec A(^) chara
kteryzować będą zmiany odległości w kierunkach osi głównych
Macierz
charakteryzuje zatem anizotropowe deformacje. Je że li natomiast 0 =0 =
= i j ^ , wówczas
6x^dt
= 8x ^
i, jak łatwo sprawdzić, Sx’^ Sx’^ =
= 5x ^ Sx i( , a zatem odkształcenie związane z
pomiędzy
sąsiednim i
elementami
nie
ulegają
jest takie, że odległości
zmianie,
opisuje zatem
obrót, macierz co^ nazywamy macierzą obrotu. Obrót opisujemy zwykle podając
wektor prędkości kątowej. Konstruujemy go kładąc:
w /c
6ki m w Im
£ ki m v l, m >
(5)
lub wektorowo <3 = rot v,
gdzie t/dm jest całkowicie antysymetrycznym tensorem, przy czym £ i 2 3 =
Znając co^ możemy odtworzyć c z e związku:
1
wI m ~
który jest konsekwencją (5).
2 e,clm
(6)
332
M. Demiański
K orzystając
z
wyprowadzonych
nieprzyw iedlnych
składników
możemy
klasyfikow ać ruchy. Je ż e li <Jkl = 0, to pow iadam y, że ruch je s t bez ś c in a n ia ,
gdy w kl~ 0 ruch nazywamy bezwirowym i w ów czas, ja k łatw o pokazać, wektor
prędkości je s t gradientem. R uch ta k i, że 0 = 0 nazywamy ruchem bez ekspansji
(zachowującym objęto ść).
Przechodząc
zauw ażm y,
że
do
zestaw ienia
podstawowych
parametry określające
stan
równań
hydrodynamicznych
ośrodka, a w ięc
pole prędkości
gęstość p i ciśn ie n ie p nie mogą być zupełnie dowolne. Spełniona musi
być
bowiem zasada
zachow ania
m aterii.
Ośrodek może
s ię p rzem ieszczać,
ale w czasie ruchu materia a ni nie p ow staje, a n i te ż nie zn ika . Je ż e li roz
patrzymy pew ien n iew ie lk i obszar ośrodka, to zm iany g ę sto śc i m aterii mogą być
wywołane tylko przez „ w p ły w a n ie ” m aterii do tego obszaru, bądź też przez
je j „w y p ły w ” . Z ach o d zić m usi zatem równanie c ią g ło ś c i:
o t
+ div (pt$) = 0,
(7)
lub w no ta cji w skaźnikow ej:
f f * (0 '*>.•*- °'
(7a)
Podstawowym równaniem ruchu ośrodka je st równanie Eulera:
^
d t
+ ( v v ) v = - — v p - v<P ,
(8)
p
które można za p isa ć jako:
vk ; i v r - - p P’ k - V ’ k ■
(8a)
U zupełniam y go równaniem P oisso na:
'
A<P = <P;klc= 4 u 6 p ,
(9)
określającym p o te n c jał graw itacyjny <P. Rów nania E ulera o p is u ją ruch ośrodka
ide alne go, tzn. takiego, w którym .nieistotne s ą procesy przew odnictwa cie
plnego i le p ko ści. Brak wymiany ciep ła pom iędzy różnym i c z ę ś c ia m i ośrodka
o z n a c za , że ruch zach o dzi a d ia b a ty c znie , przy czym adiabatycznie w każdej
części
c ie c zy .
P rzy
ruchu
adiabatycznym
entropia
każdej
c z ę ś c i ośrodka
A s tr o fiz y k a r e la ty w is ty c zn a . II
333
p o z o sta je s ta ł a podczas przem ieszczania tych c z ę ś c i w p rzestrzeni. O znacza
jąc przez s entropię o dn ie sio n ą do jedn ostki masy ośrodka, adiabatyczność
ruchu wyrazić możemy równaniem:
grad 5
= 0.
(10)
K orzystając z równania c ią g ło śc i (7) a d iab atyczn ość ruchu możemy z a p isa ć
w p o stac i równania ciąg ło śc i dla entropii:
Wps)
n
—-z-----+ div ( p s v) = 0.
dt
(ID
J e ż e l i w pewnej chwili początkowej entropia j e s t jednakowa we w sz y st
k ich punktach ośrodka, to pozostanie ona w sz ę dz ie jednakowa i niezmienna
w c z a sie i przy dalszym ruchu ośrodka. A diabatyczność ruchu sprowadza
s i ę w tym przypadku do szc z e g ó ln ie prostego warunku:
s = co nst.
(12)
T a k i ruch nazywamy izentropowym.
Izentropowość ruchu wykorzystamy do z a p isa n ia równań Eulera w pro
s t s z e j p o s ta c i. W tym celu posłużymy s i ę znanymi związkami termodynamicz
nymi:
dh = T ds + — dp,
P
(13)
gdzie h j e s t e n ta lp ią jednostki masy c ie c z y a T temperaturą. P oniew aż w ruchu
izentropowym s = c o nst mamy po prostu:
dh = - d p .
P
(14)
Równanie (8a) można zatem n ap isać w p ostaci:
z
której wynika, że p rz y sp ie sz e n ie w ruchu izentropowym j e s t gradientem.
334
M. Demiański
K o rzystając z równania c ią g ło ś c i, równania ruchu zap isać można je szc ze
inaczej jako:
=
- ( P vi v k>ik~ p f f l ,
a w prow adzając oznaczenie t ^ = p 8 j^ + pv,- v ^ przepisujem y je w równoważnej
postaci:
^ j"(P vi ^ ~ ~ * i k ; k ~ P ^ ’ i »
(17)
gdzie t-. nazywamy tensorem gęstości strum ienia pędu.
P rzechodzim y teraz do badania wpływu, ja k i w yw ierają na ruch ośrodka
zachodzące w nim podczas ruchu procesy dyssy pacji energii. Procesy te s ą
wyrazem, m ającej zaw sze m iejsce w mniejszym lub w iększym stopniu, termo
dynam icznej nieodw racalności ruchu zw iązan ej z istnieniem tarcia wewnętrzne
go (lepkości) i przewodnictwa cieplnego.
P o to aby otrzymać równanie opisujące ruch ośrodka lepkiego, konieczne
je s t wprowadzenie dodatkowych wyrazów do równań ruchu ośrodka idealnego.
Procesy tarcia wewnętrznego zw iązane s ą ze względnym
czy, a
i
więc występować b ę d ą w ów czas,
występować
będzie
anizotropowa
gdy nie
deform acja.
ruchem
będzie
cząste k c ie
znikać ekspansja
Tensor strum ienia gęstości
pędu dla ośrodka lepkiego zapiszem y w postaci:
h k = PSik + P vi vk + 2t1"<*+ £S
ikQ,
(18)
g dzie r| i £ s ą dodatnim i w spółczy nnik am i, które nazywamy w spółczynnikam i
le p ko ści. P o dstaw iając (18) do równań ruchu (17).otrzymujemy:
dvk
—
J e ś li
dt
+
v k-
= ~ P ’ k + Wk; U +
l v l
' 1
temperatura
+T)
vk; l l - P < P ’ k '
(19)
ośrodka nie je st s ta ła , to obok wspomnianego w yżej
m echanizm u d y ssy pa c ji energii będzie zachodzie przenoszenie ciep ła za po
średnictw em
molekularne
tem peraturze.
przewodnictwa
przenoszenie
Nie
cieplnego.
Rozum ie
energii z m iejsc
s ię
pod
tym bezpośrednie,
o w y ższej do m iejsc
o n iżs z e j
zw iązane je s t ono z makroskopowym ruchem c ieczy i za
c h o d zi także w cieczy nieruchomej. Aby uw zględnić
przewodnictwo cieplne
rozw ażm y prawo zachow ania energii w ośrodku lepkim . D ość długim rachun*
Astrofizyka relatywistyczna. II
335
kiem, korzystając z równań ruchu, równania c ią g ło ś c i oraz tożsam ości ter-
3
modynamicznej de = Tds -p<f I— ), można pokazać, że
{ - Ą p *2 + PE]
= - Pvi ^ + l f j +
2r\vka ki
+ i vi QJ.i +
(20)
+ 2rPki
aki
+ lQ 1 - P vi'P>i
>
gdzie e oznacza energię wewnętrzną jednostki objętości. G ęstość strumienia
energii w ośrodku lepkim je s t zatem dana przez wyrażenie:
p»i
+y J + 2n vk Oki + i viQ -
(21^
Przewodnictwo cieplne spowoduje wystąpienie w g ę s to śc i strumienia
energii, dodatkowego wyrazu związanego ze strumieniem ciepła qi> Strumień
ciepła ęj związany je s t ze zmianami temperatury w ośrodku. J e ż e li różnice
temperatur nie s ą zbyt duże, przyjmuje s i ę , że:
qi--«TH,
(22)
gdzie k je s t współczynnikiem przewodnictwa cieplnego. J e s t on zaw sze do
datni. Widać to już bezpośrednio z tego, że strumień energii powinien być
skierowany z obszarów o w yższej do obszarów o n iższej temperaturze, tj.
qi i T ti powinny być przeciwnie skierowane. Współczynnik k na ogól zależy
od temperatury i ciśnienia.
W ten sp o só b całkowita g ę s t o ś ć strumienia energii w ośrodku, przy
uwzględnieniu lepkości i przewodnictwa cieplnego, równa je s t sumie:
(h + y j + 2r\vk %,■ + £t;,0 -k T ,,-.
(23)
Odpowiednio do tego ogólne prawo zachowania energii wyraża s ię równa
niem:
( 24 )
+ 2tF * ; ak i +
E0 *
i
f
336
M. Dem iański
które można, korzystając z równań ruchu oraz tożsamości termodynamicznych,
zapisać w postaci:
p T
(jf +*:'* "*) =2t1CT‘*C
T
‘* + 02+(K
T ’ <) ’ i
•
(25)
Zw iązek ten posiada jasny sens fizyczny. Lewa strona równości, którą
ds
można zapisać jako pT — reprezentuje ilość ciepła otrzymaną przez jedno
stkę objętości w jednostce czasu. Pierwsze dwa wyrazy prawej strony przed
stawiają energię dyssypowaną w postaci ciepła dzięki lepkości, a ostatni —
ciepło
przenoszone
do rozpatrywanej
objętości
za
pośrednictwem przewo
dnictwa cieplnego. W rezultacie nieodwracalnych procesów przewodnictwa
cieplnego i tarcia wewnętrznego entropia ośrodka wzrasta.
W szczególnej i ogólnej teorii względności
ruch
ośrodka
opisujemy
w czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Każdy element ośrodka zakreślać-będzie
w czasoprzestrzeni linię świata — odpowiednik toru w przestrzeni euklidesowej. Opisywać ją będziemy podając zależność współrzędnych w czasoprze
strzeni od czasu własnego xa = xa Cs), gdzie a i inne wskaźniki greckie prze
biegać będą wartości 0, 1, 2, 3. Wektor styczny do lin ii świata:
(26)
as
nazywać będziemy czterowektórem prędkości. Zauważmy, że cząstka spoczy
wająca w trójwymiarowym euklidesowym sensie w czasoprzestrzeni poruszać
się będzie z czteroprędkością u° = (1, 0, 0, 0). Składowe czterowektora pręd
kości nie są niezależne i jak wynika z definicji:
S a p u° ^
“ ot =
(2
gdzie g a p (*P) jest tensorem metrycznym w czasoprzestrzeni o sygnaturze
(+, —, —, -). W czasoprzestrzeni Winkowskiego sparametryzowanej przez kartezjańskie
współrzędne można podać związek pomiędzy składowymi trójwy
miarowej prędkości v^ a składowymi wektora czteroprędkości u®. Mamy bowiem:
A s t r o f i z y k a r e l a t y w i s t y c z n a . II
337
Z w iązki te s t a j ą s ię bardziej skomplikowane w krzywej c z a so p rz es trz e n i.
Wektor c z te ro p rzy s p iesz e n ia określamy analog icznie jak w mechanice
jako pochodną cz teroprędkości po c z a s ie własnym:
j,. a
a“ = - g - =
.
(29)
Ja k łatw o spraw d zić, czterowektor p rz y sp ie sz e n ia j e s t prostopadły do k ie
runku czterop rędk ości, tzn.:
ua a a= 0.
(3 0 )
L in ię św iata charakteryzu jącą s ię tym, że jej cz te ro przy spiesz e nie znika,
nazywamy lin ią geodezyjną. P o s ia d a ona ciekaw e w ła sn o śc i, wzdłuż takiej
linii wektor cztero pręd ko ści j e s t przesuwany równolegle. J e s t to również
najk ró tsz a linia łą c z ą c a niezbyt od s ie b ie odległe punkty.
Zajmijmy s ię obecnie ruchem ośrodka w c z a s o p rz es trz e n i. Każdemu e le
mentowi ośroaka odpowiadać będzie w c z a so p rz e s trz e n i linia ś w ia ta . Pow ia
dać będziemy, że ośrodek wypełniać będzie pewien obszar w c z a so p rz e s trz e n i,
je ż e li przez każdy punkt z tego obszaru przechodzić będzie dokładnie jedna
linia ś w ia ta . Rodzinę linii ś w ia ta o tej w ła sn o ś c i nazywać będziemy kongrue n c ją . A nalogicznie jak w przypadku klasycznym interesow ać s i ę będziemy
ruchem są s ie d n ic h elementów ośrodka. Niech * a (ya, s ) opisuje kongruencję
linii św ia ta , gdzie y a o znacza zbiór parametrów numerujących linie. Względne
dxa
położenie 6 * “ = x a {ya + 5 y a, s) - x a (ya, s ) = ------ 6 y ° sp e łn ia an alogicznie
d y°
jak w przypadku trójwymiarowym równanie propagacyjne:
ds
’ P
(31)
Aby zdefiniować w ielkość s p e łn ia ją c ą rolę trójwymiarowego wektora po
ło ż e n ia względnego wprowadzimy operator rzutowy A a ^= 5 a ^ - uau $ na lokalną
trójwymiarową p ła sz c zy z n ę p ro sto p a d łą do ua i tak:
A < y p = 0, A y P y = A“y .
(32)
Rzut prostopadły wektora p rzem ieszczen ia:
t j j * 01 = A a|}5%P
5 — P o stę p y A stronom ii z. 4
(33)
338
M. D em iański
R ys. 2. Względne p oło żenie w c z a s o p r z e s tr z e n i dwóch elem entów ośrodka
j e s t w ektorem p o ło ż e n ia w z g lę d n e g o e le m e n tu •f' + 6 y° i y°. P r ę d k o ś ć w z g lę d
na j e s t zatem d a n a p rz e z :
(34)
co ja k ła tw o s p r a w d z ić można z a p i s a ć w ró w n o w a ż n e j p o s t a c i ja k o :
i / ° = i P ; p h £ S * P = B ® p 5A* P .
(35)
P o d o b n ie ja k w k l a s y c z n e j hydro d y n am ice t e n s o r p r z e s u n ię ć u “ p h ^ p r o z
łożym y na n ie p rz y w ie d ln e s k ła d n ik i:
A s tr o fiz y k a rela ty w is tyczn a . I I
339
Infinitezimalna transform acja, której podlega wektor w zględnego p rz e su
n ięc ia 5j.%a w c z a s ie własnym ds sk ła d a s ię zatem z obrotu coap 6^*^, od
k s z ta łc e n ia cjap
(bez obrotu i zmiany objętości) oraz transform acji po-
dobieństwa-^-0 6x* a .
ó
T e n s o r obrotu coQp , tensor o d k sz ta łc eń CTa jj i sk a la r e k sp a n sji 0 dane
s ą przez:
w afł = w[a,-p] - “ [a
= u ( a ;p ) - “(a u|3) - J 0 Aap>
^
© = u“ ;a ,
gdzie ua = ua .p uP.
P ró c z © można dodatkowo wprowadzić
charaktery zu jące ruch ośrodka:
n a s tę p u ją ce w ie lko ści skalarne
ua = - ua ua, co1 = “ coa Pcoa p i a J = i <Tap cja P.
(39)
P rz y pomocy tych w ie lko śc i możemy klasyfikować ruchy ośrodka. Ruch
będziem y nazywali swobodnym lub inercjalnym , gdy u = 0, bezwirowym, gdy
co = 0, a zachowującym o b ję to ść , gdy 0 = 0. J e ż e li ośrodek porusza s i ę tak,
że a = 0, to ruch taki nazywać będziemy ruchem bez o dk sz ta łc e ń (ciało może
tylk o izotropowo kurczyć się lub ro z s z e r z a ć ) . Gdy p odczas ruchu zachowana
j e s t objętość i odległość pomiędzy cząstka m i ośrodka, to ruch ta k i nazywać
będziemy ruchem sztywnym. Charakteryzuje s i ę on znikaniem 0 i a.
P r z y s p ie s z e n ie względne s ą s ie d n ic h elementów ośrodka definiujemy jako
rzut prostopadły do kierunku prędkości u a prędkości względnej:
. a“ - AL a V 3 7 .
(40)
K orz ystają c z d efinicji v a oraz biorąc pod uwagę fakt, że teraz pochodne
kowariantne nie
s ą przem ienne, lecz sp e łn ia ją zw iązek “ a ;|};p -
= u 6 R5app otrzymujemy:
ua,p;|3 =
340
M. Demiański
aa = (- /?aj} y 5 u$ u5 + Aa p «P;y - iia Uy) 8±xY.
(41)
W ielkości kinematyczne opisujące ruch substratu nie s ą niezależne, lecz
sp e łniają szereg tożsamości różniczkowych, w kto're wchodzi metryka czaso
przestrzeni i tensor Riemanna. Szczególnie interesujący jest wzór propagacyjny na skalar ekspansji 0 :
0 = - | © J + 2 (WJ - er2) + u “ .a - Kap ua
(42)
P
gdzie Ra p = R opp > który odgrywa bardzo w ażną rolę przy analizie ruchu
ośrodka w modelach kosmologicznych.
Jednym z najważniejszych zadań, przed którym obecnie stoimy, jest opi
sanie własności materii będącej źródłem pola grawitacyjnego. Prócz kinema
tycznych parametrów, takich jak czteroprędkość i przyspieszenie, do pełnego
opisu ruchu materii trzeba będzie podać np. rozkład gęstości i ciśnienia. Uwa
ża jąc materię za ośrodek ciągły można to zrobić podając tensor energii pę
du. Budujemy go w sposób następujący: strumień pędu przez element powierz
chni ciała jest po prostu d zia ła jąc ą na ten element s iłą , a zatem
s ił ą d zia ła jąc ą na element powierzchni d
d'lP jest
l Przyjmiemy, że w układzie, w któ
rym element ten spoczywa, słuszne jest prawo P ascala, tzn. ciśnienie d zia
łające na dany element jest takie same we wszystkich kierunkach i jest skie
rowane prostopadle do płaszczyzny, na którą działa. Czasam i, szczególnie
w
rozważaniach kosmologicznych, przyjmować będziemy, że ciśnienie jest
anizotropowe i wartość jego w różnych kierunkach będzie różna. Wyliczając
układ odniesienia tak, aby poruszał się wraz z materią i był jednocześnie
układem własnym tensora naprężeń t a f, otrzymamy ta i dl** = p (a ) d 1 a (nie sumo
wać po wskaźniku a). Zakładając, że słuszne jest prawo Pascala, będziemy
m ieli ta )} d 1 b = p d l a.
W układzie poruszającym się wraz z materią składowe Toa reprezentujące
gęstość strumienia energii s ą równe zeru. Składowa T 00 jest gęstością energii
układu, który zapiszemy w postaci p(c2 + e), gdzie p c1 oznaczać będzie gęstość
energii
masy spoczynkowej, a p e
jest gęstością energii wewnętrznej. Otrzy
maliśmy w ten sposób postać tensora energii pędu w układzie własnym daną
przez:
341
A s tr o fi z y k a rela ty w is ty c zn a . U
Znajdziem y teraz łatw o ogólne wyrażenie na te n so r energii pędu T a $ żądając
b y przyjmował on postać (43) w układzie poruszającym s ię wraz z materią,
t z n . wówczas gdy czterow ektor prędkości sprowadza się do u a = (1, 0, 0, 0).
Ja k bez trudu można się przekonać, w dowolnym układzie w spółrzędnych tensor
energii pędu je s t określony przez:
TaP> = p ^c 2 + e + -^j u a b P - p g “ P .
(44)
Na to, aby tensor energii pędu 7 a Popisy w ał zachowanie s i ę materii bę dą c e j
źródłem pola graw itacyjnego potrzeba, aby diw ergencja tego tenso ra znikała:
r a P.p - 0,
(45)
j e s t to bowiem warunek c ałko w aln ości równań E in s te in a . Zw iązki te s ą bardzo
w a ż n e , gdyż s ą w nich zawarte równania ruchu. Uzupełnimy je z a s a d ą zacho
wania liczby c z ą s te k . J e ż e li przez n oznaczymy gę sto ść liczby c z ą s t e k , wów
c z a s przyjmuje ona postać:
(nua).a = 0,
(46)
c o można również z a p isa ć w p o sta c i równania c ią g ło ś c i dla g ę s to ś c i masy
spoczynkowej
(pua ) ; a = 0 .
(47)
Równania (45) zapiszem y, rzutując je na kierunek prędkości
ua
i kierunek
prostopadły. W pierwszym przypadku otrzymujemy:
p ic * + e + -E- ] ua
■a — p,r» a u a = 0.
(48)
K o rzystając z równania c ią g ło śc i zw iązek ten możemy z a p isa ć w równo
ważnej p o sta c i, jako:
pua
Przypomnijmy, że
h =
Ic 2 + e +— , a
P/
P
P’a
= 0.
(49)
e + — j e s t e n ta lp ią na je d no stkę masy, która spełn ia
342
M. D em iański
tożsamość termodynamiczną dh = Td
+ — dp, gdzie T jest temperaturą,
a s entropią na jednostkę masy spoczynkowej. Korzystając z tego związku,
możemy przekształcić równanie (49) i zapisać prościej w postaci:
'
(5°)
i używając znowu równania ciągłości (47) otrzymujemy związek:
(«»«)• a-.O,
wyrażający
(51)
zasadę ciągłości strumienia entropii. Równanie to oznacza, że
ruch jest adiabatyczny, tzn. entropia zachowuje sta łą wartość wzdłuż lin ii
świata cząstek. Wynik ten nie jest zaskakujący, gdyż tensor energii pędu,
którego tu używamy, nie uwzględnia procesów tarcia wewnętrznego i prze
wodnictwa cieplnego, tj. opisuje ruch cieczy doskonałej.
Rzutując równania
= 0 na kierunek prostopadły otrzymujemy:
A<xp 7p P,-p = P (c2 + e
Ua;p ^ - ha P P.p ,
<52)
czyli
Pi°2+t +Pjo) “a=
(53)
W ogólnym przypadku element ośrodka nie będzie się poruszał po geode
zyjnej, a jego przyspieszenie powiązane będzie z gradientem ciśnienia zw iąz
kiem (53). Ruch będzie swobodny tylko wówczas, gdy ciśnienie znika lub gdy
gradient ciśnienia jest skierowany zgodnie z prędkością cząstki. Z taką sytua
c ją spotykamy się w jednorodnych i izotropowych modelach kosmologicznych.
Zanim
przejdziemy do dyskusji relatywistycznych procesów dyssypacyj-
nych zastanówmy się nad metodami opisu ruchu rotacyjnego ośrodka, wpro
wadzimy w tym celu antysymetryczny tensor
v = (Hup ) .v —
który
nazywać będziemy tensorem wirów, gdzie H = 1 +^Th. Z tensorem wirów można
powiązać wektor wirów:
wa=l ^ f EaPy5u[r.5]“
P
(54)
>
343
bowiem zachodzi związek:
(55)
Zauważmy, że zgodnie z definicją co° ua = 0, a więc wektor wirów jest
prostopadły do kierunku prędkości. Jak można się łatwo przekonać, znikanie
wektora wirów coa prowadzi do znikania tensora obrotu C0pV, a więc do ruchu
bezwirowego.
staci:
Tensor wirów można również przedstawić w następującej po
Q u v = / / y r i e a m v “ T “ CT+
T S ;V
u \x~ T S ; \ i u v
*
(56 )
Ja k widać zatem z wzorów (55) i (56), P | jv =
wtedy i tylko wtedy, gdy
ruch jest bezwirowy (coa = 0) i isentropowy (s = const.). Tensor Q y v odgrywa
w hydrodynamice relatywistycznej rolę rotacji prędkości. W granicy małych
prędkości mamy S p v -* r° ł -» Poza tym, podobnie jak w hydrodynamice klasyczc
nej rot v,
związane jest z cyrkulacją prędkości. Przypomnijmy, żę w przy
padku nierelatywistycznym cyrkulacja prędkości T równa jest:
r { ł)= fS d 7 ,
gdzie
się
(57)
całkowanie bdbywa się po dowolnej krzywej zamkniętej poruszającej
wraz z ośrodkiem. Łatw o widać, że T = 0 , wtedy i tylko wtedy, gdy
rot v = 0.
Relatywistycznym
odpowiednikiem
C (s)
=
cyrkulacji
f 2H u „ z a d-T,
ii
°
’
prędkości
jest wielkość:
(58)
przy czym całkowanie odbywa się po zamkniętej lin ii poruszającej się wraz
z ośrodkiem (w lokalnych współrzędnych (y°* s), gdzie s jest czasem własnym,
można ją przedstawić przy pomocy równania y a = ya (t), y a (Tj) = y a ( T j ) ) , a z a
je s t wektorem stycznym do tej lin ii. Można pokazać, że C — 0, wtedy i tylko
wtedy, gdy Q
= 0. Jak wiadomo
~ 0, wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi
równanie p = p(f&, a więc praktycznie rzecz biorąc, gdy ciecz jest izentropowa.
W teorii względności mamy sytuację analogiczną:
344
M. Demiański
a więc -j
j
= O, wtedy i tylko wted^ , gdy p - p(p). Tak więc na ogół ruch bez-
wirowy jest możliwy tylko przy stałej entropii.
Procesy
dyssypacyjne
uwzględnia
się
przez wprowadzenie dodatkowych
wyrazów do tensora energii pędu. Rozważania prowadzić będziemy w układzie
poruszającym
się
wraz z wybranym elementem ośrodka. W takim układzie
znika strumień cząstek, ale występować będzie strumień energii q a. Tensor
energii pędu będzie miał postać:
Ta$
=
p (c2 + e
+
P/p) ua u ^ - p q a^ - 2U(<V
) + TaP,
(60)
przy czym ę a ua = 0 i Ta ûp = 0.
Równania ruchu, które otrzymujemy z 2raP>p = 0 mają postać:
[p (c2 + e)], a ua + p (c 2 + e + P/p) 0 + q P
p (cJ + e + p /pj
+ u a q a + u „ TaP.p = 0
(61)
ua + ha P (qp - p,p + TpP;p) + (coa p + cfp) q& + |-09a =0(62)
Równanie (61) można zapisać w równoważnej postaci jako:
(su* +
= L
“ [ ia - t f » D ta] + J ua;pTa P,
(63)
skąd widzimy, że s u a + y ; q a jest strumieniem gęstości entropii.
Postać
wektora q a oraz tensora T°P znajdziemy, żądając aby entropia
rozpatrywanego elementu nie m alała, innymi słowy, aby prawa strona równania
(62) była nieujemna. Dodatkowo wymagać będziemy, aby t “ P zbudowany był
liniowo z pochodnych wektora czteroprędkości. Łatwo sprawdzić, że:
q* = —
(7*,p - T u j
(64)
oraz
Ta|3 = 2lF ap + t Q h aę>
(65)
345
A s tr o fi z y k a re la ty w is ty c zn a . II
s p e ł n i a j ą w sz y stk ie nałożone na nie ograniczenia. J a k poprzednio r| i £ s ą
współczynnikami lepkości a k j e s t współczynnikiem przewodnictwa cieplnego.
W ogólnym przypadku w spółczynniki lepk ości i przewodnictwo cieplne z a l e ż ą
od c iśn ie n ia i g ę s to ś c i masy spoczynkowej.
Porównując te wzory z odpowiednimi wzorami klasycznymi widzimy, że
p rocesy tarcia wewnętrznego uwzględnia s i ę przez dodanie do tensora energii
pędu analogicznych członów, natom iast strumień c ie p ła , który w klasycznym
przypadku z a le ż a ł tylko od g ra d ie n tu temperatury w relatywistycznym przy
padku z ale ż y również od p rz y sp ie sz e n ia względnego.
P rz ed sta w io n e tu fenomenologiczne podejście do opisu procesów dyssypacyjnych posiada jedną bardzo poważną s ł a b ą stro nę, mianowicie — dla dane
go typu ośrodka trzeba zadać z a le ż n o ś c i współczynników lep k o śc i i prze
wodnictwa cieplnego od p i p. Dopiero re laty w isty c z n a teoria kinetyczna
i równanie transportu p o z w ala ją na konsekwentne opisanie procesów dyssypacyjnych.
DODATEK
F a le uderzeniowe*
Uwzględnienie
rzecz y w isty ch
efektów
d yssypacyjnych
w
przepływach
c i e c z y wprowadza na ogół olbrzymie komplikacje matematyczne. Na s z c z ę ś c ie
istn ie je wiele takich procesów, w których d y ssy p a c ja zachodzi tylko w cien
kich w arstw ach su b stra tu . Jak wiadomo w hydrodynamice można wtedy z dosko
nałym przybliżeniem obszar d y s sy p a c ji przestaw ić jako powierzchnię nie
ciągłości w cie c z y dosk on ałej, inaczej mówiąc — jako falę uderzeniową.
Pokażemy te r a z , iż w teorii v\»zględności zachodzi sy tu a c ja ana lo g ic z n a.
Zaznaczm y je s z c z e przedtem, że relatyw isty czn e fale uderzeniowe mogą pow
sta w a ć w trakcie graw itacyjnego za p a d an ia, przy a k re c j' materii przez gwiazdę
neutronową lub c z a rn ą jamę, a także prawdopodobnie we w czesny ch eta pa c h
ewolucji W szechświata.
D a ls z e n a sz e wywody o p ie ra ją s ię na pracach T a u b a (1948, 1959).
Rozpatrzmy jednowymiarowy, izentropowy ruch c ie c z y doskonałej w s z c z e
gólnej teorii w zględności. Załóżmy, ze ruch odbywa s i ę w kierunku o si x l ,
tak więc w sz y stk ie w ie lk o ś c i fizyczne s ą funkcjami tylko x l = x i x° = ct.
Wzór (28) przyjmuje wtedy postać:
U°= ---i-- ;
(1 - u*)*
gdzie u
v l = v; v 2 = v, = 0.
* Tę c z ę ś ć n a p i s a ł J . P . L a s o t a .
,
(1 -
U 2)X
(66)
346
M. D emiański
Z równań (47) i (48) otrzymujemy:
pu
1 d
c d t \(1 - „ O * ;
dx V (1 - u2)
H g g U P ' ' ' ,,).,,
c d t \ l - u2 /
(67)
d x \ 1 - u2
Wprowadzimy dwie nowe w ielkości:
(68)
J a k łatwo sp raw d zić, dla małych p r ę d k o ś c i ! ---- » Oj a
ap
, a więc
a j e s t wtedy p rę d k o ś c ią dźwięku w ciec z y . K orzystając z pierw szego prawa
termodynamiki można pokazać, że:
dp
(69)
\ d( p( c2 + e ))y
J a k zobaczymy dalej a j e s t re la ty w is ty c z n ą pręd k o ścią dźwięku. P o s łu g u
ją c s i ę wielkościam i a i \ równania (67) przedstawimy w n a stę p u jąc e j postaci:
D+ u + (1 - u2)
\ = 0,
(70)
D_ u + (1 - u J) D_ A= 0,
gdzie operatorzy D+ i £L równe są:
(71)
D± = (1 t o u ) i
± (a ± u)-^- .
dx
c dt
D± u
K o rz y sta ją c z r ó w n o ś c i ą ------ ; = D± In
1-
fl + u\
%
( - ------- j
przedstawimy równanie
u2
(70) jako:
(1 - u2) D+
= 0,
( 72 )
347
A s t r o f i z y k a r e l a t ywi s t y czn a . II
(1
-
u 2) D_
(72)
= 0.
Zdefiniujemy teraz dwie w ie lko śc i r i s będące relatywistycznymi odpo
wiednikami parametrów Riemanna (r = L + v, s = L - v):
1+ u
I-
u
’
(73)
s = \ - \ n l L1 ±+ u
- u
Mamy zatem:
(74)
D+ r - 0, D_ s = 0,
a +u
jy > dx _ cc u
* .
dx
a wiec r ie s t s ta łe wzdłuż linii - — ---, , - a - s wzdłuz —
, — ---------; tak więc
*
J
dt
1 + au
iii
dx
1-aii
t
'
przedstaw ia re la ty w isty c z n ą sumę (różnicę) prędkości ośrodka i prędkości
dźwięku.
F a la m i biegnącymi nazywamy zabu rzenia, dla których s ta łe s ą r lub s .
Załóżmy, że s = Aq = c o n st, (fala biegnąca w prawo), wtedy z (73) wynika że:
(75)
u = ł h(A - A0),
a z pierwszego z równań (74) mamy:
X
d^
rpł
77t ■
gdzie r(X) =
a +u
1 + au
dA
«
~dx=
(76)
a + th (A - Aq)
i-------- ttt— — ; , a a = a(A) zgodnie z (68).
1 + a th (A - Ao)
°
Ogólnym rozw iązaniem równania
t
ania (76) j e s t:
* - T M c t = /(A),
(77)
gdzie f ( h ) j e s t dowolną funkcją w y zn aczon ą przez warunki brzegowe. Dla
małych zaburzeń u -» 0, a więc wtedy T ( \ ) -* a i otrzymujemy liniow ą falę
dź w ię k o w ą b ie g n ą c ą z pręd k o śc ią ac = a. T a k więc a j e s t p rę d k o śc ią dźwięku
m ierzoną w je d no stka c h prędkości św ia tła . Rozw iązanie (77) p okazuje, że
348
M. D e m ia ń ski
A jest stałe wzdłuż lin ii prostych o nachyleniu T{A) leżących w płaszczyźnie
*, t. Dla pewnych funkcji /(A) (np. gdy jak to na ogół bywa T(X) rośnie wraz z A,
weźmiemy takie /, że
< 0) linie te będą się przecinać. Ponieważ jest to
fizycznie niemożliwe, więc w pewnych warunkach nie może zachodzić nieogra
niczony, ciągły, jednowymiarowy ruch izentropowy. Podobnie jak w hydro
dynamice klasycznej tak i tutaj sytuacja taka powstaje podczas ruchu zagęsz
czenia.
Powstaje
nieciągłos'ć, którą interpretujemy jako falę uderzeniową.
Można podać argumenty (T a u b 1956) przemawiające za tym, że podobne
zjawiska zachodzą również w ogólnej teorii względności.
Określmy teraz warunki, jakie m uszą zachodzić na powierzchni fa li uderze
niowej. Na powierzchni tej skokowo zm ieniają się takie w ielkości jak,
p, u2, r a P, ale prawa zachowania liczby cząstek, energii i pędu muszą być
oczywiście nadal spełnione. Można pokazać, że przyjmują one na powierzchni
nieciągłości następującą postać:
[p u“ /Va ] = 0 ,
(78)
[ 7**P TVjjJ =0,
gdzie
Na
jest
jednostkowym
wektorem
normalnym
do
powierzchni fali
(A'a Na = “ 1), poza tym użyliśmy oznaczenia:
[f\ = lim [/ (* n- e £>*) - / (* “ + e £»*)] = {_ — / +,
e
■*
o
gdzie x ^ są współrzędnymi punktów na powierzchni fali, a ^
są dowolne.
Zakładamy dalej, że wielkości ze znakiem minus opisują stan ośrodka znajdu
jącego się przed fa lą uderzeniową, a w ielkości ze znakiem plus stan ośrodka
po przejściu tej fali. Warunek A/a N a = “ 1, który oznacza, że fala uderzeniowa
porusza się z prędkością m niejszą od prędkości św iatła, będzie spełniony,
gdy zachodzi:
(^), >0, (t)p>0'(^>.<H'
Ostatni warunek
(79) oznacza, że
<79’
prędkość dźwięku jest mniejsza od
prędkości światła (patrz (68)).
Równanie (78) można zapisać w postaci:
349
7 =p+ <
Na = p_ u _ ° N a ,
(80)
— (//+ u +
° - //_ u_°) =
(p +- p_).
c
c
Dla fali uderzeniowej m t 0. Gdy m = 0, mamy do czynienia z tzw. skokiem
gęstości. A zatem na powierzchni fali uderzeniowej składowa styczna wektora
jest ciągła, a składowa normalna ma skok.
Równania (80) można sprowadzić do postaci:
„
1
/ 7/+
h\
//+° - //_“ = — (P+ - p-)(— ---- ,
c
\P + P-/
(81)
Są
to relatywistyczne równania Renkina-Hugoniota. W przybliżeniu nie-
relatywistycznym pierwsze z równań (81) wyznacza tzw. adiabatę Hugoniota —
przy zadanych p_ i p_ określa ono zależność między p + i p +. W teorii względ
ności mamy jak widać analogiczną sytuację. Pamiętać należy przy tym, że
w obecności fali uderzeniowej entropia nie jest zachowana i trzeba uwzględniać
warunek nieodwracalności
> s_. Gdy wektor W nie jest stały w czaso
przestrzeni mówimy, że mamy do czynienia z falą uderzeniową o zmiennym
natężeniu. Dla takich fal zachodzi interesujące zjawisko: załóżmy, że przed
czołem fali o zmiennym natężeniu u^, p_ i p _ s ą stałe, a więc R^ v = 0. Gdyby
zachodziło również
R *v = 0, to po przejściu fali
przepływ byłby zarówno
bezwirowy jak i izentropowy. Tymczasem zmienne natężenie fali uderzeniowej
powoduje, że skok entropii na jej powierzchni zależy od punktu, a zatem
przepływ po jej przejściu nie może być izentropowy. Skoro tak, to
=£ 0.
A zatem również i cyrkulacja C , znikająca przed fa lą uderzeniową, będzie
różna od zera za nią.
Je że li
rozpatrywany ośrodek jest istotnym źródłem pola grawitacyjnego,
to fale uderzeniowe powodują powstawanie nieciągłości również w pierwszych
pochodnych tensora metrycznego ( T a u b 1957).
350
M. Demiański
LITERATURA
L.
L.
J.
A.
G.
A.
A.
A.
L a n d a u , E. L i f s z i c, 1958, Mechanika ośrodków ciągłych, PWN.
L a n d a u , E. L i f s z i c , 1958, Teoria pola, PWN.
E h 1e r s, 1961. Akad. Wiss. Mainnz, Nr 11.
R a y c h a u d h u r i, 1955, Phys. Rev. 98,1123,
F. R. E l l is , 1971, Relativistic Cosmology, Corso X LVII, Varenna.
H. Ta u b , 1948, Phys. Rev. 74, 328.
H. Ta u b , 1959, Arch. Rac. Mech. Ann. 3, 319.
H. T a u b , 1957, 111. Math. J. 1, 370.
Z PRACOWNI I OBSERWATORIÓW
POSTĘPY ASTRONOMII
T om X X (1972). Zeszyt 4
ROTACJA GWIAZD W UKŁADACH PODWÓJNYCH
S. L.
PIOTROWSKI,
S. M.
RUCINSKI
Obserwatorium Astronomiczne Uniwersytetu Warszawskiego
(Otrzymano dn. 29. IV . 1972 r.)
Streszczenie
— Redyskusja pracy N a r i a i e g o
(Publ. Astr. Soc. Japan
23,529 (1971)) wykazuje, że wyraźną, zależność paramteru asynchronizmu V / V
od okresu obiegu układów podwójnych typów BOV-A3V można najłatw iej wytłumaczyc
przez fakt, że prędkość rotacji V jest stała w ramach każdego z dowolnie wprowadzo
nych podgrup typów widmowych; w każdej z podgrup (z wyjątkiem B0V-B3V) prędkość
rotacji gwiazd w układach podwójnych (z włączeniem rotujących w synchronizmie
z obiegiem) jest m niejsza od prędkości r o ta c ji gwiazd pojedynczych.
BPAIUEHME 3BE3A B ABOMHblX CMCTEMAX C. JI. rieTpoBCKM,
C.
M. P y u HHbCKH. Coflep>KaHHe - MccJieflOBamie paóoTbi N a r i a i
(Publ. Astr. Soc. Japan 23, 529 (1971)) yKa3biBaer, m to HBHyio 3aBMCWM0CTb
napaMeTpa cMHxpoHM3Ma V/ Fchh ot nepnofla o ó o p o T a aboKhmx cwcTeM Twia
B0V-A3V mo>kho J ie rq e Bcero o6i>flCHMTb TeM, qTo CKopocTb V ecTb noCTOsiHHoii b paM K ax Ka*floro cneKTpajibHoro Tuna cpeflM npcw3B0flbH0 bbofleHHbix noflrpynn 3Thx tmiiob.
B KajKfloft noflrpynne ( MCKJiKmas B0V-B3V)
CKopocTb BpameHMH 3 B e 3 fl B flBOMHblX C H C T e M ax ( BKJUOqafl BpameHMe CMHXpOHHOe C OÓpameHMeM) M eHbllie CKOpOCTM BpameHMS OflMHOHHblX 3 B e 3 fl.
T H E ROTATION O F STARS IN BINARY SYSTEMS.
of the paper by N a r i a i
Abstract
- Rediscussion
(P ubl. Astr. Soc. Japan 23,529 (1972)) shows that the apparent
dependence of the asynchronism parameter
^ / ^ syn on orb ital period for BOV-A3V
binaries can be most easily explained by alm ost constant rotational velocities V for
each of the four arbitrarily introduced spectral subgroups; in each subgroup (except
BOV-B3V) the rotational velocities of stars in binary systems (inlcuding those rotating
at synchronism) are smaller that those of single stars.
Problem prędkości rotacji składników ma duże znaczenie w w yjaśnieniu tworzenia
się układów podwójnych i ich dalszej ew olucji. Jedną, z ostatnich prac dotyczących
tego zagadnienia jest dyskusja N a r i a i e g o (1971) parametru asynchronizmu (zdefinio
wanego jako stosunek prędkości rotacji gwiazdy V do prędkości rotacji synchronicznej
[ 351]
352
Z pracow ni i o b serw a toriów
P
R y s . 1. Je d e n z rysunków z pracy N a r i a i e g o (jego F ig . 6) p rzedstaw iający zale żno ść
l V K Syn (symbole wypełnione) lub V s in i/ V
(symbole puste) od okresu (w dniach); naniesione
s\ w szystkie dyskutowane przez niego układy podgrup BO-B3 (kołka) i B4-B7 (trójkąty)
z obiegiem Pgyn) jako funkcji okresu obiegu. Rozpatruje on tylko główne (jaśniejsze)
składniki układów podwójnych na ciągu głównym w zakresie typów widmowych BOV-A3V. Dla części z nich na podstawie obserwowanej z poszerzenia lin ii widmowych
wartości Fsint wyznacza prędkość rotacji przy znajomości nachylenia orbity. Jest
to możliwe wówczas, gdy gwiazda należy do układu zaćmieniowego, albo gdy widocz
ność linii obu składników pozwala na oszacowanie nachylenia przy założeniu, iż
masy gwiazd odpowiadają obserwowanym typom widmowym; dla części układów sta
tystyka dotyczy po prostu Ksini, które daje dolne ograniczenie na V.
On
I
*0
•T3
s
a
O
2
R y s . 2. P rę d k o śc i r o ta c ji V i synchronizmu V ayn dla sk ład ników głównych układów podwójnych z z a k r esu typów widmowych B 0 - A 3 . Grupy po dział u
wg typów widmowych pod aje legenda rysunku* Symbole p u ste o d n o s z ą s i ę do K sint (z am iast p ręd kośc i rotacji V) ocen ioneg o z s z e r o k o s c i linii dla
gw iazd o niewyznaczalnym nachyleniu orbity* Średnie p r ę d k o śc i rotacji g w iazd podwójnych (D) na pod sta w ie użyte go materiału i poje dy nczy ch (S) wg
S l e t t e b a k a (1 9 63 ) podane s ą na prawym m arginesie
Z pracowni i obserwatoriów
354
K onkluzją pracy jest wniosek, że dla gwiazd ciągu głównego omawianego zakresu
typów widmowych synchronizm rotacji w zasadzie nie występuje (z wyjątkiem gwiazd
0 najkrótszych okresach.
W poniższej notatce chcielibyśmy zwrócić uwagę na dwa nie wspomniane w pracy
fakty:
1. Liniow y bieg parametru asynchronizmu K /F Syn w funkcji okresu P dla dłuższych
okresów na publikowanych w pracy rysunkach (rys. 1) jest prawdopodobnie wynikiem
w przybliżeniu jednakowej prędkości rotacji składników danego typu widmowego, bez
względu na naturę układu podwójnego, do którego należą; omawiana zale żność pojawia
s ię w sposób sztuczny przez oczywisty związek prędkości synchronicznej od okresu
obiegu.
2. Prędkości rotacji składników w układach podwójnych (niezależnie od stopnia
synchronizmu) s ą poza podgrupą B0-B3 mniejsze niż prędkości rotacji gwiazd poje
dynczych tego samego typu widmowego. Jest to wniosek zgodny z konkluzją P l a v e c a
(1970) opartą na starszym i uboższym materiale.
Aby lepiej zilustrować omawiane zw iązki, na rys. 2 przedstawiona została zależ*
ność prędkości rotacji' V od prędkości synchronicznej ^ Syn . Dla gwiazd nie występu
jących w układach zaćmieniowych lub o widocznych liniach tylko jednego składnika
naniesione wartości Ksini dają dolne ograniczenie na V. Materiał podzielono na cztery
podgrupy typów widmowych: BO-B3, B4-B7, B8-B9.5, AO-A3. Symbolami wypełnionymi
zaznaczono prędkości rotacji V, zaś symbole otwarte podają wartości F sini dla gwiazd,
dla których wyznaczenie nachylenia orbity nie jest możliwe. Jednokrotne podkreślenie
oznacza układy o okresie P ^ 5^, dwukrotne podkreślenie: P ^ 20^. Naniesiono też
lin ię V = ^ syn oraz lin ie prędkości odpowiadające 5- i 20-krotnej wielokrotności ^syn •
Na prawym marginesie strzałkam i zaznaczone s ą średnie wartości V dla rozważanych
podgrup typu widmowego gwiazd w układach podwójnych z zestawienia N a r i a i e g o
( D — lin ie ciągłe) i pojedynczych wg S l e t t e b a k a (1963) (S — linie przerywane).
Z rys. 2 wynika, że prędkości rotacji składników s ą w ramach pewnego rozrzutu
stałe dla danej podgrupy typu widmowego, obejmując gwiazdy z rotacją zsynchronizo
w aną z obiegiem; rotacja tych gwiazd jest wyraźnie, mniej więcej o czynnik 2 lub 3,
w olniejsza n iż gwiazd pojedynczych (z wyłączeniem podgrupy BO-B3).
Porównanie średnich prędkości rotacji V (dla gwiazd zaćmieniowych lub z podwój
nymi liniam i w widmach) w obrębie podgrup typu widmowego z wartościami dla gwiazd
pojedynczych wg S l e t t e b a k a (1963) zawiera tab. 1. Trzecia kolumna tabeli podaje
ilo ść gwiazd każdej podgrupy w zestawieniu N a r i a i e g o .
Efekt w olniejszej rotacji gwiazd w układach podwójnych jest zapewne realny
1 nie jest wynikiem np. ewentualnej korelacji okresu obiegu z typem widmowym, która
mogłaby modyfikować położenie gwiazd na rys. 2 w pobliżu prostej V = ^ Syn- Funkcja
gęstości rozkładu okresów orbitalnych sporządzona na podstawie tego samego materia
łu
Nariaiego
(rys. 3), z włączeniem
układów, dla których znamy jedynie Ksim
nie wykazuje istotnych różnic pomiędzy pierwszą grupą BO-B3 (42 gwiazdy), a ostatnią
grupą AO-A3 (20 gwiazd); w szczególności rozkłady te urywają się przy tych samych
mniej więcej najkrótszych okresach (1,12 dnia dla pierwszej, 1,20 dnia dla ostatniej).
Wydaje się , że podane powyżej przypuszczenia, o ile poparte większym materiałem
obserwacyjnym, mogłyby mieć pewne znaczenie w wytłumaczeniu tworzenia s ię i wczes
nych faz ew olucji układów podwójnych. Można tutaj jedynie zwrócić uwagę na fakt,
że przy jednakowym okresie obiegu i przy założeniach, że synchronizacja następuje
Z pracow ni i obserw atoriów
T a b e l a
Typ
widmowy
BO-B3
B4-B7
B 8-B 9.5
AO-A3
P r ę d k o ś ć ro t a c j i
w u k ła d a c h podwójnych
(km / s)
179
96
63
98
±
±
±
±
355
1
Ilość
gw iazd
p od w ó jn y ch
P rędkość rotacji
g w ia z d p o je d y n c z y c h
( k m / s)
14
6
6
12
200
210
22
10
11
22
200
180
P
R y s . 3. R o z k ła d i l o ś c i g w iazd p od w ó jny ch podgrupy BO-B3 (kółka) i A O A 3 (kwadraty) w funkcji
o k r e s u obieg u P (w dn iach). P o d a n a j e s t w z g lę d n a i l o ś ć g w iazd na p r z e d z i a ł A l o g P * 1 / 6 dla
z a k r e s u 0 < log P < 1 i p r z e d z i a ł A l ó g P “ 1 / 3 dla 1 ^ log P < 2; s t r z a ł k a m i z a z n a c z o n o naj
k r ó t s z e o k r e sy w k a ż d e j z podgrup
w momencie w yp ełnian ia w spólnej k ryty cznej pow ierzchni R o ch e’a (podczas ew olucji
przed ciągiem, gło'wnym) i moment pędu j e s t zachow any, prędkość liniow a ro tac ji po
winna być prawie n ie z a le ż n a od masy gwiazd (a w ięc i od typu widmowego po o s ią g n ię
c iu ciągu głównego).
LITERATURA
✓
N a r i a i , K ., 1971* Publ# A str . Soc. J apan 23, 529.
P I a v e c , M.# 1970, S te lla r R o ta tio n t E d . A. S l e t t e b a k , p . 1 33 (D . Re id e l; Dord re ch t — Holland).
S l e t t e b a k , A., 1963, A str op h, J . , 138, 118.
•
■
.
'
■<i
,
• W l
• •
,.V
Tom X X (1972). Zeszyt 4
OB SZ A R P E R T U R B A C Y J N Y W P RO B LE M IE SU-SHU-HUANGA
A. D R O Ż Y N E R
Centrum O b lic ze nio w e PA N
(Otrzymano dn. 25 IV 1972 r.)
S t r e s z c z e n i e — W pracy tej uogólniono definicję obszaru perturbacyjnego
z problemu ograniczonego trzech ciał na ograniczony problem ciał czterech w postaci
sformułowanej przez S u-Sh u -H u an g a. W oparciu o tą definicję podano obszar
perturbacyjny Księżyca względem Ziemi i Słońca oraz przedyskutowano, w końcowej
części pracy, efekty wyższego rzędu w tak uogólnionych obszarach: perturbacyjnym
i oddziaływania.
nEPTyPBAUMOHHOE
A.
n e p T y p ó a iM O H H o ro
T pex
Teji,
cnocoóoM
riPOCTPAHCTBO
Cof lepxcaHwe.
/JpoacHHep.
no
oTHow eHm o
ctJiopMyjiMpoBaHHbiM
3 to 8
k
u Cojiua.
uiero n o p flflK a
b
B
Tan
nocjieflH eM
riPOBJlEME
k
S u - S h u - H u a n g ’o m .
wacTM
o6o6m eH H bix
Su-Shu-Huang.
paóoTe o6o6meHo o n p e a e jie m ie
orpammeimoM
onpeflejieHMH BbiCMHTaHO nepTypÓaiwoHHoe
3 e M jia
B
o th o c h iiim c h
npooTpaH CTBa,
TaK*e
B
o rp a m m e H H o fi
3aflaqe
Ha
3a^ ane
qe T b ip ex
Teji
o c h o bsm uh 3 T o ro
np0CTpaHCTB0 JlyHbi OTHocMTejibHO
p a6 oT b i
uccjieflO B aH bi
n p o c T p a iic T B a x :
aêK T bi
nepTypóaiM OHH OM
u
bm cbo 3-
fle fic T B M H .
THE PERTURBATION REGION IN THE PROBLEM SU-SHU-HUANG. S u m m a r y The definition of the perturbation region in the case of the restricted three body problem
is generalized for the case of the four body problem in Su-Shu-H u a n g ' s formula
tion. Basing on this definition the perturbation region of the Moon relative the Earth
and the Sun is given. One discusses also the higher order effects in the generalized
perturbation and interaction regions.
1 . WSTĘP
Praca ta jest kontynuacją uogólnień obszarów grawitacyjnych definiowanych
w problemie trzech ciał na ograniczony problem czterech ciał w postaci podanej przez
S u - S h u - H u a n g a.
Ruch ciała o infinitezymalnej masie m, pod wpływem grawitacyjnego oddziaływania
z ciałami m i — 1 , 2 względem układu odniesienia związanego, powiedzmy z masą
Bij, można opisać równaniem:
[357]
358
? - o*t (m; ) + a*p (m2),
gdzie
(D
i ap s ą wektorami przyspieszeń odpowiednio keplerowskiego i perturbacyjnego
w ruchu mj-centrycznym. Interesującą jest rzeczą zbadanie
tych przyspieszeń.
„w spółgrania”
ze sobą
Stosunek:
opisuje graniczną powierzchnię tzw. obszaru perturbacyjnego ciała m 2 względem mj
2. D E F IN IC JA OBSZARU PE R T U R B A C Y JN E G O DLA UKŁADU N C IA Ł
O bszar perturbacyjny dla układu N c ia ł 0V > 3) zdefiniujemy poprzez naturalne
rozszerzenie de fin icji tego obszaru z problemu ograniczonego trzech c iał.
Rozw ażmy układ N c ia ł o masach m, rrij, j * 1, 2....... A/-1. Niech w pewnej chw ili
ciało badawcze m posiadające znikomą masę znajdzie się w otoczeniu masy mj , dla
której chcemy wyznaczyć jej obszar perturbacyjny względem pozostałych c ia ł układu
m .< i t
j “ 1« 2 .........N - l. Przyjmiemy następującą definicję tego obszaru.
Definicja: Obszar przestrzeni, w którym spełniona jest nierówność:
2j - 1 ‘7
N-1
_ .
j+.i
< 1.
(3)
nazywamy obszarem perturbacyjnym ciała m j względem pozostałych c ia ł układu m j,
j *l,j
- 1. 2....... A M .
K ładąc w (3) znak równości otrzymujemy zawikłane równanie granicznej powierz
chni szukanego obszaru perturbacyjnego.
3. OBSZAR P E R T U R B A C Y JN Y K SIĘŻYCA WZGLĘDEM ZIEMI I SŁOŃCA
Problem czterech c ia ł zmodelujemy (?) układem Su-Shu-Huanga, tj. ■przyjmiemy, że
dwie masy
i
obracające się wokół własnego środka masy po orbitach kołowych,
ob racają s ię wraz z trzecią masa m 3 wokół wspólnego środka masy całego układu
kom planam ie. Jest to jak w idać pewna id ealizacja układu K siężyc (mj)-Ziemia (m,, )-Słońce Orij). Czwarte ciało m jest ciałem znikomym.
P o sług ując się de finicją (3) otrzymujemy zawikłane równanie powierzchni ograni
czającej obszar perturbacyjny K siężyca względem Ziemi i Słońca. Zatem:
I
359
g d z i e a p z i a ^ s s ą w e k to r a m i p r z y s p i e s z e ń p e r t u r b a c y j n y c h p o c h o d z ą c y c h o d p o w ie d n io
od Z iem i i S ło ń c a w u k ł a d z i e s e l e n o c e n t r y c z n y m , z a ś a ^ j e s t w e k to re m p r z y s p i e s z e n i a
w ru c h u k e p l e r o w s k i m t e ż s e l e n o c e n t r y c z n y m . W y k o r z y s t u j ą c n a t u r a l n e c e c h y m odelu
S u -S h u -H u a n g a , t j . t o , ze:
— m - 0 (bo p r z y p a d e k o g r a n ic z o n y ) ,
fn-j
m2
— o d l e g ł o ś ć Z ie m i a - S ł o ń c e (a2 ) , j a k i o d l e g ł o ś ć S ł o ń c e - K s i ę ż y c s ą d u ż o w i ę k s z e od
o d l e g ł o ś c i Z ie m i a - K s i ę ż y c ( a ^ ) , a t a z k o l e i j e s t i s t o t n i e w i ę k s z a od o d l e g ł o ś c i
K s i ę ż y c - c i a ł o b a d a w c z e (p), o r a z k o r z y s t a j ą c z r o z w i n i ę ć w s z e r e g M a c la u r in a w z g l ę
dem ( p / a j ) i ro z k ła d ają c o dw rotność o d le g ło śc i S ło ń c e-K sięż y c w s z e r e g w ielom ia
nó w L e g e n d r e ’a m oże m y 'o b l i c z y ć w a r t o ś c i p o s z c z e g ó l n y c h p r z y s p i e s z e ń w r ów na n iu
(4). R o z w i ą z u j ą c t o r ó w n a n i e w z g l ę d e m s z u k a n e g o p ro m ie n ia o b s z a r u p e rtu r b a c y j n e g o
K s i ę ż y c a w z g l ę d e m Z ie m i i S ło ń c a otrzy m u jem y:
P p ert (9 '
4
‘ “l ( ^
J
U
+ 3 cO s2 0 )
i 1 + ^P ert
(6 ,< t>)} *
(5)
g d z i e £ 0 = £ ( a j , p ) , <¥>= £ (a’j , ajj)i z a ś P (0, q>) j e s t
fu n k cją u w z g lę d n ia ją c ą
w p ły w S ł o ń c a n a p ro m ie ń o b s z a r u p e r tu r b a c y j n e g o K s i ę ż y c a t y lk o w z g l ę d e m Z ie m i,
t j . na prom ie ń p(0) ■ Oj
• (1 + 3 c o s ^0) ^ . Z a c h o w u j ą c w y r a z y o i s t o tn y m
z n a c z e n i u możemy tę fu n k c ję z a p i s a ć w p o s t a c i :
1
\ /° l\*
[ l + 3cos^(ip - Oli72
' « ,9’ ” =r t j t ) •
■
’ •
’
P o d s t a w i a j ą c ip = (2 tt/ T ) • t, g d z ie T j e s t o k r e s e m s y n o d y c z n e g o o b i e g u K s i ę ż y c a
w o k ó ł Z ie m i, o trz y m u je m y , ż e p ro m ie ń o b s z a r u p e r t u r b a c y j n e g o K s i ę ż y c a w z g l ę d e m
Z ie m i i S ł o ń c a j e s t p e r i o d y c z n ą f u n k c j ą c z a s u z o k r e s e m równym o k r e s o w i s y n o d y c z
n e g o o b i e g u K s i ę ż y c a w o k ó ł Z ie m i.
W ła s n o ś c i
fu n k c ji Ppert
(0, f ) s ą i d e n t y c z n e z w ł a s n o ś c i a m i fu n k c ji Pact
, . p o p r a w i a j ą c e j ” z u w a g i n a S ł o ń c e pro m ie ń
Z ie m i, t z n . d la m 3 -> 0, lub
- * Pp rt
p e r tu r b a c y j n e g o . Z n a k fu n k c ji P
t© , q>),
i m i e j s c a z e r o w e f u n k c ji c o s q>. P r z y j m u j ą c
oraz o z n ac za jąc przez p ^
z a ś przez p ^
p ro m ie ń o b s z a r u p e r tu r b a c y j n e g o K s i ę ż y c a w z g l ę d e m Z ie m i,
— p ro m ie ń o b s z a r u p e r tu r b a c y j n e g o K s i ę ż y c a w z g l ę d e m Z ie m i i S ło ń c a
otrzy m u jem y :
— dla <p= 0 (nów):
0 =
0,
0 =
tt / 2
tt
, 3 tt/ 2
p (3)= 0,1832,
p < 4 ) =. 0 , 1 8 3 5
p (3)= 0,2307,
p < 4) = 0 , 2 3 1 1 ;
p (3)= 0,1832,
p <4 >= 0 , 1 8 2 9 ,
p (3)= 0 , 2 3 0 7 ,
p <4)= 0 , 2 3 0 3 .
— dla ip = tt (p ełn ia):
0 = 0 ,
0 =
tt
tt / 2
, 3
tt/
(0, <p)
sfe ry o d d ziały w an ia K s ię ż y c a względem
ip) -* 0 i mamy k l a s y c z n y prom ie ń o b s z a r u
ja k i je j m ie js c a zerow e określa z n ak
o d le g ło ść Z ie m ia-K sięży c za jed n o stk ę
2
360
Dla 9 - t t / 2 lub 9 - 3t t / 2, co odpowiada kwadrom (lub kwadraturom, ponieważ
przyjęta dokładność nie pozwala tego rozstrzygnąć) funkcja Ppert (6 , 9 ) = 0 dla każde
go 0 .
4. E FE K T Y W YZSZEGO RZĘDU DLA OBSZA RU PE R T U R B A C Y JN E G O
1 SFERY ODDZIAŁYW ANIA
Funkcja „p o p raw iająca” promień pact(0) sfery oddziaływania K siężyca względem
Ziem i była wyznaczona w poprzedniej pracy dotyczącej uogólnienia sfery oddziaływa
nia na problem ograniczony czterech ciał w postaci S u - S h u - H u a n g a . Postać jej
była następująca:
P
1 /^3\
, (6 , 9> = ~
5 \V
3
/ai\
\2 /
X
r 1 + 3cosîf - 0)~|
~-------- -----— • cos
[ i + 3coê]«
9
.
(7)
9
Porównując (6 ) z (7) widzimy, że zarówno Ppert (0 , <p) jak i Pact ( 0, q>) m uszą
mieć jednakowe w łasności.
Funkcje Pp
( 6 , 9 ) i ^ act ( 6 , 9 ) uw zględniające efekty wyższego rzędu wpływu
Słońca na P p ^ (0) i P a c t (®) d a ją s ię zapisać w postaci:
1
A
3
[ l + 3cos2 (ip - 0 )J^
* ^ 0 8 9 T / j \u ; " s in 9 • a in u j ,
“ • 1,1 * ! &
) &
)
"
[ 1
* W e ] » J
*A
8]’
(8)
i(jią
Pacl (e. 9) = - ' -
5\m2 J
[l + 3cos (q, _
\a
.»] 1 “
1
[l + 3cos 0^ *
•&-.»♦ k <•>
-»].
gdzie
Widać stąd, że dla 9 = t t /2 lub 9 = 3t t / 2 , co odpowiada kwadrom (lub kwadraturom)
promienie obszarów perturbacyjnego oddziaływania nie będą w ogólności równe pro
mieniom tych obszarów w ograniczonym problemie trzech c ia ł (a tak było przy uwzglę
dnieniu tylko członu cosip). Równość ta zajd zie tylko w przypadku 0 = 0 lub 0 = t t
Dla 9 = t t / 2:
.
0
=
tt
/ 2 (kierunek o d Słońca):
(3)
rp„_
pert. = 0,2307,
’
*
(3)
p act = 0,1721,
361
(4)
Ppert = 0.2309,
(4)
p a c t = 0,1722.
6 = 3tt/ 2 (kierunek d o Słońca):
(3)
(4)
P pert = ° - 2307(3)
P pert= O-2305(4)
P a c t = ° , 1721 , P a c t " O'1719’
Dla ip = 3tr/2:
0 = it/2 (kierunek d o Słońca):
(3)
(4)
P Pe r t = ° ’ 2307(3)
P p e r t= ° * 2305*
(4)
P a c t = 0 - 1721, P a c t = ° - 17196 - 3tr/2 (kierunek o d Słońca):
(3)
(4)
P p e r t= ° « 2307»
(3)
Pact = 0 , 1 7 2 1 ,
P pert= ° ’ 2309>
(4)
p a c t = 0,1722.
Widzimy stą d , że działanie perturbacyjne Słońca w kwadrach (lub w kwadraturach)
zarówno dla obszaru perturbacyjnego jak i dla sfery oddziaływania polega n a , p r z e s u
n ięciu ” tych obszarów w kierunku o d Słońca.
Amplituda zmian rozmiarów obszaru perturbacyjnego j e s t w ięk sza od amplitudy
zmian rozmiarow sfery oddziaływania, co j e s t r z e c z ą zrozumiałą z uwagi na w ięk sze
rozmiary obszaru perturbacyjnego.
LITERATURA
POMOCNICZA
[ l ] S u- S h u - H u a n g, A h ypoth etical four-body problem and its a p p lic a tio n s, reprinted from ,, V is
ta s in Astronomy” .
■
■
.
aI }
'!■
■..
.
• os
-
: t-.Ktf.t!
■■
}t
UlS
« > ' ‘*1 ■ ' i '*
, '<■
■
■
» « * > . '.
A
NAUKOWE OŚRODKI ASTRONOMICZNE W KRAJU
A ktualizacja na 10 V 1972 r.
Zakład Astronomii PAN:
Pracownia
A s t r o f i z y k i II: od 1 V 1972 r. zatrudniono na stanowisku st.
asystenta Mgr Magdalenę S r o c z y ń s k ą (przeniesienie z OAUW), a od 1 I 1972 r.
na stanowiskach asystentów Mgr Ryszarda S i e n k i e w i c z a
wykonana została dziurkarka 8-kanałowa z dekoderem.
i Mgr Andrzeja S o ł t a n a ;
Pracownia
Związków
S ł o ń c e - Z i e mi a: od 1 X 1971 r. kierownikiem
pracowni został Prof, dr Antoni O p o l s k i , zastępca kierownika Dr Zbigniew Ko r d y l e w s k i ; jako organ kontrolno-opiniodawczy działa R a d a P r a c o w n i w składzie:
Dr hab. Stanisław G r z ę d z ie 1s k i, Dr hab. Jerzy J a k i m i e c , Doc. dr Tadeusz
J a r z ę b o w s k i , Prof, dr Jan M e r g e n t a l e r ; Pracownia składa się z dwu pionów:
naukowego (kieruje Dr hab. Jerzy J a k i m i e c , 4 pracowników nauk. dydakt.) i kon
strukcyjno-technicznego (kieruje Dr Zbigniew K o r d y l e w s k i ,
1 pracownik nauk.
dydakt. i 4 pracowników adm. techn.). Opracowano wyniki badań rentgenowskiego
promieniowania Słońca; trwają prace montażowe aparatury do badań krótkofalowego
promieniowania Słońca w następnych eksperymentach kosmicznych.
Obserwatorium
emeryturę Prof.
Astronomiczne
dr Jan a
Uniwersytetu Wrocławskiego:
Me r g e n t a l e r a
po przejściu na
dyrektorem został od 1 X 1971 r. Prof,
dr Antoni O p o l s k i .
Obserwatorium posiada dwa zakłady dydaktyczne: astronomii
i astrofizyki, realizujące programy nauczania studentów astronomii, geografii, matema
tyki i fizyk i, oraz cztery zespoły naukowe: astrofizyki (kieruje Doc. dr Tadeusz
J a r z ę b o w s k i , 5 pracowników), heliofizyki (Dr hab. Adolf S t a n k i e w i c z , 4 pra
cowników), astronomii klasycznej (Prof, dr Stefan W i e r z b i ń s k i , 3 pracowników),
fizyk i kosmicznej (Dr hab. Jerzy J a k i m i e c , 3 pracowników). Mgr Barbara S z c z o drowska
uzyskała
15 XII 1971 r. stopień doktora na podstawie pracy pt. Orbity
okresowe w zre gulary zouianym ograniczonym zagadnieniu trzech c iał — promotor Prof,
dr Stefan W i e r z b i ń s k i ,
recenzenci: Dr hab. Maciej B i e l i c k i ,
D r hab. Sta
nisław G ą s k a.
[363]
.
.
.
KROM KA
Tom X X (1972) Z e szyt 4
CZTERDZIESTOLECIE PRACY NAUKOWEJ
PROFESORA KAROLA KOZIEŁA
W dniu 1 kwietnia 1972 r. upłynęło 40 lat od chw ili objęcia przez obecnego dyre
ktora Obserwatorium Astronomicznego Uniwersytet!' Jagiellońskiego Prof, dra Karola
Kozieła
stanowiska asystenta w tymże obserwatorium. K ilka m iesięcy przedtem,
w roku 1971, upłynęło 40 lat od chw ili ogłoszenia w „B iule tynie Polskiej Akademii
U m iejętności” w Krakowie pierwszej większej pracy naukowej Karola K o z i e ł a
z dziedziny teorii refrakcji astronomicznej pt. Twierdzenie Laplace-Oriani w ścisłym
liczbow o ujęciu (1931). Tak więc Prof. Karol K o z i e ł obchodził w ostatnich mie
siącach podwójną rocznicę czterdziestolecia pracy naukowej.
Karol K o z i e ł
urodził s ię dnia 28 kwietnia 1910 r. w Trzyńcu na Z aolziu.
Wykształcenie elementarne odebrał w szkole podstawowej w C ieszynie, po czym
u czę szc zał od roku 1920 do gimnazjum im . A. Osuchowskiego w Cieszynie, gdzie
otrzymał w roku 1928 świadectwo dojrzałości. W latach 1928—1932 odbył studia na
Uniwersytecie Jagiellońskim kończąc je uzyskaniem w marcu 1932 r. stopnia magistra
matematyki, a w czerwcu 1932 — magistra astronomii. Doktoryzował s ię tamże w roku
1939 na podstawie pracy Aproksymacja wielomianowa wyrażeń na stosunki p ó l trój
kątów nj i ng w problemie wyznaczania orbit ciał niebieskich wykonanej pod kierunkiem
Prof. T. B a n a c h ie w ic z a , a w roku 1945 przedstawił rozprawę hab ilita cy jn ą na
temat The Moon’s L ibration and. Figure as derived from Hartwig’s Dorpat Heliometric
0 bservations, za którą otrzymał stopień naukowy docenta. W roku 1955 zo sta ł miano
wany profesorem nadzwyczajnym. W tymże roku, po śm ierci Prof. B a n a c h i e w i c z a,
p rze jął Katedrę Astronomii przemianowaną następnie na Katedrę Astronomii Teoretycz
nej i Geofizyki Astronomicznej. W roku 1961 został mianowany profesorem zwyczajnym,
a w dniu 1 kwietnia 1970 r. powołany na stanowisko dyrektora Obserwatorium Astrono
micznego Uniwersytetu Jagiellońskiego, które funkcjonuje od tego czasu jako uniwersy
tecki instytut astronomii.
Ro'źne dziedziny astronomii i geofizyki s ą domeną zainteresowań i pracy naukowej
Prof.
Kozieła.
W ażniejsze jego osiągnięcia w zakresie astronomii sferycznej
1 teorii
krakowianów
to wzory różniczkowe
poligonometrii
sferycznej
oraz metoda
odwracania szeregów potęgowych z zastosowaniem do astronomii geodezyjnej. W za
kresie teorii wyznaczania orbit planet i komet opracował wariant metody L ap lac e ’a-Leuschnera wyznaczania orbif w oparciu o nowe wzory na / i g. N ajw ażniejsze jednak
osiągnięcia ma Prof. K o z i e ł bezsprzecznie w dziedzinie selenodezji, a w szczegól
n ości w badaniach libracji fizycznej K siężyca. Opracował tu nową metodę wyrównywa
nia obserwacji tibracyjnych znaną (Sz. T . C habibulin,
J.
Witkowski)
pod nazw ą
metody K o zie ła. Zastosow ał j ą m. in. do wyznaczania stałych libracji w oparciu
o heliometryczne obserwacje K siężyca z lat 1877—1915. R adziecki „Astronom iczeskij
Jeżeg odnik” podaje efemerydę krateru Mosting A w oparciu o wyrażenia lib racji fizycz
nej uzyskane przez K. K o z i e ł a .
[365]
366
Kronika
W uznaniu tych osiągnięć Prof. K o z i e ł został wybrany w latach 1958—1964 na
dwie kadencje prezesem Komisji 17 Ruchu i Figury Księżyca Międzynarodowej Unii
Astronomicznej. Pod koniec tej prezesury przeprowadził uchwałę o przekształceniu
Komisji 17 na komisję obejmującą całokształt badań księżycowych pod nazwą ,,Ko
m isji Księżyca” i został wybrany jej wiceprezesem na dalsze 3 lata (1964—1967).
Jako członek Komitetu Nomenklatury Księżycowej Międzynarodowej Unii Astronomicz
nej przyczynił się do uwiecznienia na odwrotnej stronie Księżyca kilku nazwisk
polskich, a w szczególności stoczył z pomyślnym wynikiem batalię o nazwę „krater
Skłodowska” . Prof.
Kozieł
jest członkiem komitetów redakcyjnych (associate
editor) dwóch ukazujących się zagranicą czasopism międzynarodowych: „The Moon”
oraz ,,Physics of the Earth and Planetary Interiors” , a przez okres 10 lat był członkiem
komitetu redakcyjnego międzynarodowego czasopisma „Icarus” .
Na terenie Obserwatorium Astronomicznego Fort Skała pod Krakowem uruchomił
Prof. K o z i e ł z dniem 1 X 1957 r. stałe obserwacje natężenia radiopromieniowania
Słońca najpierw teleskopem 5-metrowym, a od 1959 r. — 7-metrowym. Zorganizował
też budowę systemem gospodarczym największego obecnie w Polsce pojedynczego
radioteleskopu o średnicy 15 metrów na montażu paralaktycznym, którego rozruch
naukowy zbliża się ku końcowi. Dla ratowania najdłuższej nieprzerwanej serii obser
wacji meteorologicznych w Polsce dokonywanych w Obserwatorium Krakowskim od
roku 1825 w warunkach dziś już niereprezentatywnych, założył w roku 1958 drugą
stację meteorologiczną na terenie Ogrodu Botanicznego UJ w sąsiedztwie Obserwa
torium, która pracuje w warunkach tzw. normalnych jednocześnie ze stacją ,,histo
ryczną” .
Na Zebraniu Naukowym Obserwatorium Astronomicznego Uniwersytetu Jagielloń
skiego w Krakowie w dniu 15 października 1971 r., które połączono ze skromnym
wspomnieniem czterdziestolecia pierwszej publikacji naukowej Prof. K o z i e ł a ,
referowano m. in. wyniki pracy Sir Harolda J e f f r e y s a pt. Libracja Księżyca,
która właśnie się ukazała w tomie 153 ,.Monthly Notices of the Royal Astronomical
Society” (1971). J e f f r e y s redyskutuje w tej pracy rezultaty badań libracji opubli
kowane w roku 1967 przez Prof. K o z i e ł a w czasopiśmie „Icarus” i potwierdza
w zupełności jego osiągnięcia.
Uczonych dzielimy na ogół na dwie kategorie: na typ wąskiego specjalisty o szcze
gólnie wysokich kwalifikacjach w danej dziedzinie i na typ umysłu syntetycznego,
obejmującego swymi zainteresowaniami duże połacie wiedzy. Prof. K o z i e ł łączy
w sobie te dwie na pozór sprzeczne cechy. Jest zarazem jednym z nielicznych w świecie specjalistów tej klasy w bardzo szczegółowym zagadnieniu, jakim jest fizyczna
libracja Księżyca, a jednocześnie nie tylko się interesuje, lecz pracuje naukowo
i organizuje badania w tak odległych od siebie dziedzinach jak astronomia sferyczna
i geodezyjna, mechanika niebieska, radioastronomia, meteorologia i klimatologia.
Życzymy Drogiemu Jubilatowi długich lat dalszej pracy i osiągnięć we wszystkich
interesujących go dziedzinach.
Konrad Rudnicki
SPIS TREŚCI ZESZYT U 4
ARTYKUŁY
S . R u c i ń s k i , Układy podwójne typu W Ursae Majoris (W UMa). C zęść I. . . . 275
M. K a r p o w i c z , Problem stabilności gromad galaktyk.................................................. 297
M. D e m i a ń s k i , Astrofizyka relatywistyczna. 1...............................................................307
M . D e m i a ń s k i , Astrofizyka relatywistyczna. I I .............................................................329
Z PRACOWNI I OBSERWATORI ÓW
S. L . P i o t r o w s k i, S. M. R u c i ń s k i , Rotacja gwiazd w układach podwójnych
351
A . D r o ż y n e r , Obszar perturbacyjny w problemie Su-Shu-Huanga................................357
Naukowe ośrodki astronomiczne w kraju............................................................................. 363
KRONIK A
K . R u d n i c k i , Czterdziestolecie pracy naukowej Profesora Karola K ozieła.
.
.
COflEPKAHME TETPA^M 4
C Ta T b H
C. PyUMHbCKM,
/jBOilHbie CMCTeMbl THna W Ursae Majoris (W UMa).
HacTb 1................................................................................................................................275
M. K a p n o B M M ,
llpo6 jieM a
cTaÓMJibHOCTH CKonjieHMft rajiaKTHK.
. . .
297
M . / J eMHHbCKH,
PejlflTHBMCTCKaH aCTpO(j)H3HKa. 1.......................................... 307
M. / J e M f l H b C K M ,
PejIHTMBMCTCKafl acTpo(|)H3MKa. I I ....................................329
113 J ia 6 o p a T o p m K
C . JI. n e Tp o B C KM,
C. M.
m o6cepBaTopnfó
PyUHHbCKM, BpaweHMe 3Be3fl
b
abohhmx
CHCTeMaX............................................................................................................................. 351
A . / JpoacHHep,
riepTyp6 auM0 HH0e
np0 CTpaHCTB0 b npoójieMe Su-Shu-
H u a n g a ..................................................................................................................................357
Haymibie acTpoHOMMMecKMe yqpexfleHMH
b
cTpaHe..............................................
363
Spis treści
368
XpOHMKa
K. PyflHMUKM, CopoKajieTHe Haymioft p a ó o T b i npo(J)eccopa Kapejia
Ko3ejia........................................................................................................... 365
CONTENTS
ARTICLES
S. R u c i ń s k i , The Binary Systems of W Ursae Majoris Type (W UMa). Part I. . . 275
M . K a r p o w i c z , The Problem of the Stability of Clusters of G alaxies................... 297
M . D e m i a ń s k i , The R elativistica l Astrophysic. 1........................................................ 307
M . D e m i a r i s k i , The R e lativ istica l Astrophysic. I I ....................................................... 329
FROM L A B O R A T O R I E S
S. L . P i o t r o w s k i ,
AND O B S E R V A T O R I E S
S. M. R u c i ń s k i , The Rotation of Stars in Binary Systems
3 51
A . D r o ż y n e r , The Perturbation Region in the Problem Su-Shu-Huang.................... 357
S cientific Astronomical Centres in P oland......................................................................... 363
CHRONICLE
K . R u d n i c k i , Professor Karol K ozieł — 40 Years of Research................................ 365
K O M U N I K A T
PTA
NACRODA MŁODYCH
P O L S K I E G O TOW A RZYS T W A A S T R O N O M IC Z N E G O
Zarząd Główny Polskiego Towarzystwa Astronomicznego na
posiedzeniu
w dniu 11 stycznia 1972 r. uchwalił ustanowienie
nagród o łącznej wysokości 10 000 zl za najlepsze prace nau
kowe młodych astronomów. Nagrodzone prace mają spełniać na
stępujące warunki:
1. Praca ma być wydrukowana w „A cta Astronomica” w okre
sie od 1 września 1971 r. do 31 sierpnia 1972 r.
2. Autor (lub wszyscy współautorzy) powinien posiadać obywa
telstwo polskie
i nie mieć ukończonych 30 lat życia w chwili
złożenia pracy do redakcji „A cta Astronomica” .
3. Praca
powinna wykazywać
inicjatywę
i
oryginalną, myśl
autora oraz stanowić wartościowy wkład do nauki.
Skład jury konkursu został podany w „Postępach Astronomii” ,
t. X IX, zesz. 2, 1971.
Nagrody zostaną przyznane przed 30 listopada 1972 r.
*
Sekretarz PTA
(—) Prof. Dr J ó z e f Smak
Warszawa, dnia 12 stycznia 1972 r.
Cena zł 10,
W ARUNKI PRENUMERATY CZASOPISMA
„POSTĘPY A S T R O N O M II" - KWARTALNIK
Cena prenumeraty krajowej:
półrocznie zł 20,—
rocznie
„ 40,—
Prenumeraty przyjmowane są do
numeraty.
10 dnia miesiąca poprzedzającego okres pre
Prenumeratę na kraj dla czytelników indywidualnych przyjm ują urzędy pocztowe
oraz listonosze. Czytelnicy indyw idualni mogą dokonywać wpłat również na konto PKO
nr 7-6-579 Przedsiębiorstwo Upowszechniania Prasy i Książki „Ruch" w Łodzi
ul. Kopernika 53
Wszystkie instytucje państwowe i społeczne mogą zamawiać prenumeratę wyłącznie
za pośrednictwem O ddziałów i Delegatur „R uch". Prenumeratę ze zleceniem wysyłki
za granicę, która jest o 40% droższa od krajowej, przyjmuje Biuro Kolportażu W ydaw nictw
Zagranicznych „Ruch” Warszawa, ul.W ronia 23, konto PKO nr 1-6-100024 tel. 20-46-88.
Czasopismo nabywać można w następujących Księgarniach Technicznych PP
„Dom Książki":
W rocław , ul. Świdnicka 8
Warszawa, ul. Świętokrzyska 14
Łódź, ul. Piotrkowska 45
Bydgoszcz, Stary Rynek 15
Poznań, ul. Paderewskiego 6
Szczecin, Al. W ojska Polskiego 29
Kraków, Rynek Głów ny 36
Białystok, ul. Lipowa 43
Lublin, Krakowskie Przedmieście 39
Opole, ul. Ozimska 8
Katowice, ul. Młyńska 2
Gdańsk-Wrzeszcz, ul. Grunw aldzka 111/113
Egzemplarze zdeaktualizowane są do nabycia w Przedsiębiorstwie Upowszech
niania Prasy i Książki „Ruch” , Magazyn Zwrotów w Łodzi, ul. Żwirki 17, konto PKO
nr 7-6-579.
Bieżące oraz archiwalne numery można nabywać lub zamawiać we W zorcow ni
W ydaw nictw Naukowych PAN - Ossolineum - PW N , Warszawa, Pałac Kultury i Nauki
oraz w Księgarniach „Dom u Książki".
TYLKO PRENUMERATA ZA PE W N IA REGULARNE O T R ZY M Y W A N IE CZASOPISM !
THE QUARTERLY JO U RN A L „POSTĘPY A ST RO N O M II"
gives extensive information about the works conducted in Polish Observa
tories. The Journal contains also reviews and general articles from the field
of Astronomy. Important papers contain summaries in English and Russian.
^nhsrrintinn nrders can be sent directly to:
Biblioteka Główna U M K
300048428841
Export and Import Enterprise „R uch”
le g anij Handlowy — Warszawa, Traugutta 7
Prices and contents of current issues of scientific periodicals are stated in a special
bulletin „Polish Scientific Periodicals” which is to be found in Scientific Libraries
and major distributing firms in your country.
Post. Astr. T. 20 z. 4 s. 96. Warszawa październik — grudzień 1972
Indeks nr 37143

postępy astronomii

Transkrypt

Podobne dokumenty

Wyspy życia – od Wszechświata po galaktyki

Galaktyk cała masa!

Patrz w niebo: Na krańcach Wszechświata Listopad 24

Militaria-Shop.pl Teleskop Sky-Watcher Dobson 130 (SW

Od mały zielonych ludzików do wielkich

INDEKS PRĘDKOŚCI Określa maksymalną prędkośd opony

Wszechświat nie do ogarnięcia

2015raport1cz_sw

Komenda Miejska Policji w Jaworznie Policyjna akcja "Prędkość"