Znajdowanie sumy szeregu∗

Znajdowanie sumy szeregu
ZADANIE: Wyznacz przedzia÷zbiez·ności szeregu
f (x) =
1
X
n
xn
n=1
i znajdź jego sume.
¾
ROZWIAZANIE
¾
1o
Jedna z metod sumowania szeregów potegowych
¾
i do nich podobnych polega
na przekszta÷ceniu danego szeregu za pomoca¾ ró·zniczkowania lub ca÷kowania w szereg geometryczny i znalezieniu jego sumy. Nastepnie,
¾
ca÷kujac
¾
0
otrzymana¾ sume¾ (gdy obliczali´smy
sum
e
¾
szeregu
f
(x))
lub
ró
z
niczkuj
ac
¾
·
Rx
(gdy obliczali´smy sume¾ szeregu x0 f (x)dx) , znajdujemu sume¾ szeregu
f (x):
Aby wyznaczyć przedzia÷zbiez·ności stosujemy kryterium pierwiastkowe Cauchy’ege.
r
p
r
n
n
n
n
1
n
n
=
lim
lim
=
lim
=
:
n
n
n
>1
n >1
n
>1
x
jxj
jxj
jxj
Zwró´c uwage¾ na konieczno´s´c u·zycia pod pierwiastkiem warto´sci bezwzgled¾
nej. Wyja´snij dlaczego?
Aby szereg by÷zbiez·ny, musi zachodzić nierówność
znajdujemy x < 1 lub x > 1:
Badamy zbiez·ność na końcach przedzia÷ów:
f (1) =
1
X
n;
f ( 1) =
n=1
1
X
1
jxj
< 1: Rozwiazuj
¾ ac,
¾
( 1)n n:
n=1
·
Drugi z szeregów jest szeregiem przemiennym. Zaden
z nich nie spe÷nia warunku
koniecznego zbiez·ności, gdyz· lim an = lim n = 1: Zatem dany szereg f (x)
n >1
n >1
jest zbiez·ny dla x 2 ( 1; 1) [ (1; 1):
Autor: Stanis÷aw Ewert-Krzemieniewski, 10.05.2015
1
(xn )0 = nxn 1 ; zatem ró·zniczkowanie obni·za stopie´n wyk÷adnika o 1:
R n
R
n+1
n
x dx = xn+1 + C; lub xn 1 dx = xn + C; zatem ca÷kowanie powieksza
¾
stopie´n wyk÷adnika o 1:
Badany szereg moz·na zapisać w postaci
1
1
X
X
n
=
n
xn
n=1
n=1
f (x) =
czyli
1
X
n
1
x
=
n
nx
=x
n=1
1
X
1
f (x) =
nx
x
n=1
1
X
nx
n 1
;
n=1
n 1
Z postaci ostatniego cz÷
onu tej równości wynika, z·e najpierw nalez·y ca÷kować.
Dla x oraz ustalonego x0 nalez·acych
¾
do jednego z przedzia÷ów ( 1; 1) lub
(1; 1) mamy
Zx
1
f (x)dx =
x
x0
=
1
X
x
n=1
Zx X
1
nx
dx =
x0 n=1
n=1
1
X
n x
1
n 1
=
x0
x
n
n=1
Zatem
1
X
Zx
1
X
0 x
Z
@ nx
x0
x0
n
n=1
!
1
X
1
f (x)dx =
x
dxA =
1
X
=
n=1
1
x
1
X
nx
n=1
n
n x
n
1
X
x0
x0
n
n=1
!
:
n
1
x
n=1
x0
n 1
1
+ C:
Szereg po prawej stronie jest szeregiem geometrycznym o wyrazie pierwszym x1
i ilorazie x1 ; zbiez·nym, gdy x1 < 1: Zatem przedzia÷zbiez·ności jest taki sam,
jak dla szeregu f (x): Stosujac
¾ wzór
1
P
aq n
1
= a + aq + aq 2 + :::: + aq n
1
+ ::::: =
n=0
znajdujemy
Zx
1
f (x)dx =
x
1
x0
gdzie C =
1
P
n=1
1
x
1
x
+C =
1
x
1
a
1 q
dla q 2 ( 1; 1)
+ C;
x0 n ; x0 jest ustalone. Róz·niczkujac
¾ obustronnie wzgledem
¾
x
otrzymujemy kolejno
0 x
10
Z
1
@
f (x)dxA =
x
x0
2
1
x
1
+C
0
;
1
1
f (x) =
2;
x
(x 1)
x
f (x) =
2
(x 1)
ODPOWIEDŹ: f (x) =
1
P
n=1
2o
n
xn
=
x
(x 1)2
dla x 2 ( 1; 1) [ (1; 1):
Poprawność powyz·szego rozwiazania
¾
moz·na sprawdzić wykonujac
¾ nastepu¾
jace
¾ przekszta÷
cenia:
1
1
1
1
=
=
:
1 x
x 1
x 1 x1
U÷
amek
1
1
x
1
traktujemy jako sume¾ szeregu geometrycznego, o ilorazie
zie poczatkowym
¾
1
x
1
=
1; zbiez·nego dla x spe÷niajacych
¾
nierówność
1
X
1
1
=
x 1 x1
1
x n=0
1
X
n
1
x
=
n+1
1
x
n=0
=
x
1
1
X
=
0
x
1
(1
x)2
n
:
:
1
X
=
x
n
n=1
1
1
x
n=1
Róz·niczkujac
¾ wzgledem
¾
x dostajemy
1
n
x
i wyra-
< 1. Zatem
1
X
n=1
W ostatnim kroku zmieniliśmy zakres sumowania. Stad
¾
1
1
x
1
x
=
1
X
nx
!0
n 1
;
:
n=1
Na koniec, mnoz·ac
¾ obustronnie ostatnia¾ równość przez x; otrzymujemy
x
(1
x)2
=
1
X
nx
n
:
n=1
Przedstawione sprawdzenie wyników cze¾´sci pierwszej jest samodzielnym
i niezale·znym sposobem obliczenia sumy rozwa·zanego szeregu. Trudno´s´c
polega na "pomy´sle". W tym zadaniu "pomys÷" to wpadniecie
¾ na to, i·z
nale·zy rozpocza´c
¾ zadanie od zastapienia
¾
u÷amka przez odpowiednio dobrany
szereg geometryczny. Zwró´c uwage¾ na fakt, ·ze u÷amek 1 1 x mo·zna przedstawi´c jako sume¾ szeregu geometrycznego na wiele ró·znych sposobów, np.:
1
1
x
=
2
1
1
1
1
1X
=
=
(x + 1)
2 1 x+1
2 n=0
2
x+1
2
n
:
Otrzymany szereg jest szeregiem potegowym
¾
o środku w punkcie
Rozwiń u÷
amek 1 1 x w szereg o środku w dowolnym punkcie x0 6= 1:
3
1:
Zadania do samodzielnego rozwiazania.
¾
Oblicz sumy nastepujacych
¾
szeregów:
1.
1
P
(n + 1)xn ;
4.
n=0
2.
1
P
n=1
3.
1
P
n=0
1
P
(n + 1)(x3 + 1)n ;
n=0
2n xn
n ;
5.
( 1)n (n+1)xn
;
3n
6.
n=0
1
(x 1)2
2.
ln j1
3.
9
(x+3)2
dla x 2 ( 1; 1):
2xj dla x 2<
1
P
n=0
Odpowiedzi.
1.
1
P
4.
1 1
2 ; 2 ):
dla x 2 ( 3; 3):
4
1
x3
(x3 1)n+1
;
n+1
ln x n+1 1
x
n+1:
dla x 2 (
p
3
2; 0):
5.
ln 2
x3 dla x 2 (0;
6.
ln 1
ln x
x
dla
ln x
x
p
3
2<
2):
1; 1):