energia potencjalna

Prof. dr hab. Adam Kiejna
Fizyka fazy skondensowanej I
Wykład 10 v16
Pasma energetyczne
Pasma energetyczne
Elektrony w kryształach rozmieszczone są w pasmach energetycznych
oddzielonych przedziałami energii wzbronionej (przerwami energetycznymi)
Pasma wzbronione powstają na skutek oddziaływania fal elektronów
przewodnictwa z rdzeniami jonów sieci krystalicznej
Schematyczne obsadzenie dozwolonych pasm energetycznych w różnych materiałach
4
Model prawie swobodnych elektronów
Widmo energii słabo zaburzone przez periodyczny potencjał jonów
Sens fizyczny pasm wzbronionych – Sieć liniowa
2gie pasmo
dozwolone
Pasmo
wzbronione
I pasmo
dozwolone
Elektrony swobodne
Elektrony prawie swobodne w liniowej
sieci krystalicznej o stałej sieci a
Warunek Bragga (k + G)2 = k2 dla dyfrakcji fali o wektorze falowym k ( w jednym wymiarze):
k = ± ½ G = ± n π /a
n -- liczba całkowita
|G| = |2π /a | n
-- wektor sieci odwrotnej
Pierwsze odbicie i pierwsza przerwa zachodzą dla
k = ± ½ π /a
5
Elektrony prawie swobodne w liniowej sieci krystalicznej
Obszar pomiędzy -π /a < k < π /a
I strefa Brillouina
W k = ± π /a fcje falowe nie są falami biegnącymi
 fale stojące => odbicie Bragga
 fala biegnąca w prawo ulega odbiciu
i rozchodzi się w kierunku przeciwnym
Dwa rodzaje fal stojących:
ψ(+) = eiπx/a + eiπx/a = 2 cos (πx/a)‫‏‬
ψ(–) = eiπx/a – eiπx/a = 2i sin (πx/a)‫‏‬
zmienia (lub nie)
znak przy zamianie
x na -x
6
Pochodzenie przerwy energetycznej
Fale te gromadzą elektrony w różnych rejonach => różne energie potencjalne
U, energia potencjalna
Gęstość prawdopodob. elektronu:
ρ = ψ* ψ = |ψ|2
Rdzeń jonu
Fala płaska:
ρ = e-ikx eikx = 1
ρ, gęstość
prawdopodob.
Fala biegnąca
(płaska)
Fale stojące:
ρ(+) = |ψ (+)|2 ~ cos2 (πx/a)
gromadzi elektrony na dodatnich jonach
=> najmniejsza energia potencjalna
ρ(-) = |ψ (-)|2 ~ sin2 (πx/a)
koncentruje elektrony pomiędzy jonami
=> największa energia potencjalna
7
ρ, gęstość
prawdopodob.
Średnia energia potencjalna dla trzech rozkładów ładunku: ρ (+) < ρ (f.płaska) < ρ (–)‫‏‬
Różnica energii potencjalnych
rozkładów ρ (–) i ρ(+) =>
przerwa energetyczna
o szerokości Eg
Funkcja falowa w A (poniżej przerwy):
ψ(+) = eiπx/a + eiπx/a = 2 cos (πx/a)‫‏‬
Funkcja falowa w B (powyżej przerwy):
ψ(–) = eiπx/a – eiπx/a = 2i sin (πx/a)‫‏‬
8
Szerokość przerwy energetycznej
unormowane
fale stojące
współczynniki
fourierowskie
potencjału
okresowego
11
Wektor sieci
12
stała
13
c.b.d.o.
Model Kroniga-Penneya
Jednowymiarowy potencjał okresowy – rozwiązanie analityczne
Prostokątne studnie potencjału.
Równanie Schrödingera:
14
Model Kroniga-Penneya
Studnia (U = 0),
0<x<a,
ψ = A eiKx + B eiKx ,
Bariera (U = U0), b < x < 0 ,
ψ = C eQx + D eQx ,
(*)
(**)
ε = ħ2K2/2m
U0  ε = ħ2Q2/2m
15
Rozwiązanie na konwersatorium
Model Kroniga-Penneya
Widmo energii dla P = 3π / 2
Przerwy energetyczne
(dla ka = π, 2π, 3π, …)
16
Równanie falowe dla potencjału ogólnej postaci
U(x) – energia potencjalna elektronu w sieci liniowej o stałej a
U(x) = U (x + a)
=> funkcja okresowa => szereg Fouriera
Współcz. fourierowskie maleją
szybko ze wzrostem wielkości G
funkcja własna,
orbital,
funkcja Blocha
k – rzeczywiste
Nie wszystkie wektory falowe ze zbioru k = (2π /L ) n wchodzą
do rozwinięcia fourierowskiego dowolnej funkcji Blocha !
Ale jeśli jeden szczególny wektor k jest zawarty w ψ , wtedy wszystkie
inne wektory falowe występujące w rozwinięciu ψ będą miały postać
k+G
(G = wektor sieci odwrotnej)
Oznaczenie: funkcja ψ zawierająca składową k => ψk , lub ψk+G
Zbiór k + G przebiegający po wszystkich G
=> podzbiór k = (2π /L)n
Górne punkty: wektory falowe wchodzące w rozwiązanie Fouriera funkcji ψ(x)
Wartości k = (2π /L)n dozwolone przez periodyczne warunki brzegowe dla funkcji falowej
na pierścieniu o obwodzie L, złożonym z 20 komórek
Układ równań algebraicznych zastąpił układ równań różniczkowych!
Rozwiązanie układu równań liniowych (*)
Rozwiązanie układu równań liniowych (*)
Możemy to sprawdzić przekształcając uk (x + T)
Dowód twierdzenia Blocha‫‏‬
=1
Alternatywny, dokładny dowód tw. Blocha (prawdziwy nawet wtedy,
gdy ψk są zdegenerowane).
Pęd elektronu w krysztale‫‏‬
Taka sama jak dla
elektronu swobodnego!
Pęd elektronu w krysztale‫‏‬
Znaczenie wektora k użytego do oznaczania funkcji Blocha?
Gdy elektron o wektorze k zderza się z fononem o wektorze q to,
gdy fonon został zaabsorbowany:
k + q = k' + G
Reguła
wyboru
Podsumowanie
 Rozwiązaniami równania falowego w sieci okresowej są funkcje Blocha
ψk(r) = exp(ikr) uk(r),
gdzie uk(r) jest niezmiennicza względem translacji sieci.
 W krysztale istnieją przedziały energii wzbronionej w których nie ma
rozwiązań blochowskich równania falowego.
W tych obszarach energii funkcje falowe są tłumione w przestrzeni.