3. MODEL TRENDU PEŁZAJĄCEGO Z WAGAMI HARMONICZNYMI

Forecasting is the art of saying what will happen, and then explaining why it didn’t.
Ch. Chatfield (1986)
PROGNOZY I SYMULACJE
Katarzyna Chudy – Laskowska
konsultacje: p. 400A
środa
czwartek
strona internetowa:
http://kc.sd.prz.edu.pl/
12-14
12-14
1
WYKŁAD VIII
Szeregi czasowe III
1.
2.
3.
Metoda wskaźnikowa
Model trendu pełzającego z wagami harmonicznymi
Metoda jednoimiennych okresów
2
3. MODEL TRENDU PEŁZAJĄCEGO Z WAGAMI HARMONICZNYMI
Trend pełzający jest modelem adaptacyjnym – służy do budowy prognoz krótkookresowych.
Dane: 37; 41; 40; 41; 45; 42; 46
KONSTRUKCJA TRENDU PEŁZAJĄCEGO (k=3)
ETAP 1
ETAP 2
Ustalenie wartości stałej wygładzania k<n, Wyższa wartość stałej wygładzania powoduje większe wygładzanie
szeregu czyli słabsze reagowanie na zmiany zachodzące w szeregu.
Oszacowanie na podstawie kolejnych fragmentów szeregu o długości k, liniowych funkcji trendu
f1 (t )
a1t b
i
Y
Przedział czasu
Fragment szeregu
Wartości Y
f i (t)
1
37
1-3
y1 , y2 , y3
37+41+40
f 1 (t)=1,5t+36,33
2
41
2-4
y2 , y3, y4
41+40+41
f 2 (t)=1,5t+40,67
3
40
3-5
y3 , y4 , y5
40+41+45
f 3 (t)=1,5t+32,00
4
41
4-6
y4 , y5 , y6
41+45+42
f 4 (t)=1,5t+40,17
5
45
5-7
y5 , y6 , y7
45+42+46
f 5 (t)=1,5t+41,33
liniowe funkcje trendu
3
3. MODEL TRENDU PEŁZAJĄCEGO Z WAGAMI HARMONICZNYMI
Obliczenie wartości wygładzonych zmiennej yˆ t (i ) tzn. wartości teoretycznych wynikających z i-tej
funkcji trendu. Z danej funkcji trendu f1 wyznacza się wartości teoretyczne dla tych okresów t,
na podstawie których funkcja była oszacowana.
ETAP 3
f 1 (1)=1,5 *1+36,33=37,83
f 1 (2)=1,5 *2+36,33=39,33
Wartości teoretyczne funkcji trendu fi
t
f(1)
1
37,83
f(2)
f(3)
f(4)
f(5)
yt wartości wygładzone
37,83
47
45
43
41
39
37
2 39,33
40,67
3
40,67
39,5
40,67
42,00
42,17
44,50
42,67
43,83
(44,5+42,67+43,83)/3=43,76
43,17
44,33
(43,17+44,33)/2=43,75
44,83
44,83
4
35
1
2
3
Y
4
5
6
7
5
(40,83+40,67+39,5)/3=40,33
(40,67+42+42,17)/3=41,61
trend pełzający
6
7
ETAP 4
40,83
(37,83+40,67)/2=40
Obliczenie średniej wartości wygładzonej yt dla każdego okresu t jako średniej arytmetycznej
wartości wygładzonych obliczonych dla tego okresu w etapie 3.
Wykres wartości wygładzonych w postaci segmentowej (trend pełzający) można przedstawić na wykresie
4
3. MODEL TRENDU PEŁZAJĄCEGO Z WAGAMI HARMONICZNYMI
EKSTRAPOLACJA MODELU TRENDU PEŁZAJĄCEGO (k=3)
ETAP 5
Obliczenie przyrostów funkcji trendu dla wartości wygładzonych
wt
1
t+1(od 2 do n)
yt
yt
1
1
yt
t 1...,n 1
t (od 1 do n-1)
yt
wt
1
yt
1
2
40
1
37,83
2,17
3
40,33
2
40
0,33
4
41,61
3
40,33
1,28
5
43,76
4
41,61
2,06
6
43,75
5
43,76
-0,01
7
44,83
6
43,75
1,08
yt
5
3. MODEL TRENDU PEŁZAJĄCEGO Z WAGAMI HARMONICZNYMI
ETAP 6
Nadanie wag poszczególnym przyrostom
Realizują one efekt postarzania informacji, nadawane są tak, aby najnowsze przyrosty
miały największe znaczenie. Suma wag wynosi 1. Są to wagi harmoniczne.
Ctn 1
t 1 C17 1
C27
t
2 C17 2
C37
t
3 C17 3
C47
t
4 C17 4
C57
t
5 C17 5
C67
t
6 C17 6
C77
1
1
7 1 7 1
1
1
1
1
1
7 1 7 1 7 2
1
1
1
7 1 7 1 7 2
1
1
1
7 1 7 1 7 2
1
1
t
1
n 1i1n i
t 1,...,n 1
0,027
7 1 7 1 7 2
1
1
1
7 1 7 1 7 2
0,075
1
7 3
1
0,103
1
7 3 7 4
1
1
7 3 7 4
1
1
7 3 7 4
0,159
1
7 5
0,242
1
1
7 4
7 6
0,409
6
3. MODEL TRENDU PEŁZAJĄCEGO Z WAGAMI HARMONICZNYMI
ETAP 7
Określenie średniego przyrostu trendu jako średniej ważonej (wagami harmonicznymi)
wszystkich obliczonych w 5 etapie przyrostów:
n 1
Ctn 1 wt
w
1
t 1
w
2,17 0,027 0,43 0,075 1,28 0,103 2,06 0,159 ( 0,01) 0,242 1,08 0,409 0,98
ETAP 8
yT*
Wyznaczenie prognozy punktowej na moment/okres T
yn (T n) w
y8*
44,83 (8 7) 0,98 45,81
y9*
44,83 (9 7) 0,98 46,79
y10*
44,83 (10 7) 0,98 47,77
49
47
45
43
41
39
37
35
1
2
3
4
Y
5
6
7
8
9
10
trend pełzający
Podobnie jak dla modelu Holta, wszystkie kolejne prognozy leżą na prostej. Dla trendu pełzającego jest
to prosta przechodząca przez punkt (n, yn ), której tangens kąta nachylenia do osi czasu wynosi w .
7
4. METODA TRENDÓW JEDNOIMIENNYCH OKRESÓW
Jeśli szereg czasowy charakteryzuje się tendencją rozwojową, wahaniami okresowymi
oraz przypadkowymi to do konstrukcji krótkookresowych prognoz można zastosować
metodę trendów jednoimiennych okresów.
Metoda polega na oszacowaniu parametrów analitycznej funkcji trendu oddzielnie
dla poszczególnych faz cyklu.
Prognoza wyznaczana jest za pomocą ekstrapolacji oszacowanej funkcji trendu
dla każdej fazy cyklu.
Stosowanie tej metody wymusza przyjęcie zasady „status quo”, tzn., że utrzyma się
zaobserwowana tendencja dla każdej z faz cyklu.
yij
t
0i
1i ji
ij
,
j 1...k , i 1...r
yij
- wielkość zmiennej prognozowanej dla i-tej fazy w j-tym cyklu
tij
- zmienna czasowa, t ji
0i
,
ji
1i
i r ( j 1)
- parametry strukturalne i-tego modelu,
- składnik losowy,
4. METODA TRENDÓW JEDNOIMIENNYCH OKRESÓW
Na podstawie danych dotyczących kwartalnej wielkości zapasów samochodów u producentów
(w tys. szt.) wyznaczyć prognozy zapasów samochodów na rok 2010 oraz dokonać oceny ich
*
dokładności, przyjmując, że krytyczna wielkość względnego błędu ex ante wynosi 4%.
Kwartał
I
II
III
IV
Zapasy samochodów u producentów (tys)
2004 2005 2006 2007 2008
2009
4,2 4,4 4,8
5
5,1
5,7
5,1 5,4 5,7
6
6,2
6,4
4,9 5,2 5,3
5,6
5,9
6,3
5,3 5,6 5,9
6,1
6,4
6,7
Ocena wzrokowa pozwala na zidentyfikowanie
składowej systematycznej w postaci trendu
rosnącego oraz wahań systematycznych
a także wahań przypadkowych.
Zapasy samochodów u producentów (tys)
6,8
Składowe pozwalają na zastosowanie metody
trendów jednoimiennych okresów.
6,6
6,4
6,2
6,0
5,8
Szereg charakteryzuje się regularnością,
nie obserwuje znaczących zmian w zidentyfikowanych
Składowych.
5,6
5,4
5,2
5,0
4,8
4,6
4,4
4,2
4,0
I
II III IV I
II III IV I
II III IV I
II III IV I
II III IV I
II III IV
Zakłada się że zarówno tendencja rozwojowa
jak i wahania systematyczne nie ulegną istotnej zmianie
w okresie prognozowanym.
9
4. METODA TRENDÓW JEDNOIMIENNYCH OKRESÓW
Metoda polega na oszacowaniu parametrów trendu oddzielnie dla poszczególnych faz cyklu.
Każdy szereg czasowy odnoszący się do określonej fazy cyklu opisany jest modelem liniowym.
yij
t
0i
1i ji
ij
,
j 1...k , i 1...r
6,8
6,6
6,4
Kwartał
6,2
6,0
Zapasy samochodów u producentów (tys)
Równanie modelu
R2
s
I
yˆ j1
0,28t 3,88
0,95
0,12
II
yˆ j1
0,26t 4,88
0,99
0,05
5,2
III
yˆ j1
0,26t 4,59
0,97
0,08
5,0
IV
yˆ j1
0,27t 5,04
0,99
0,02
5,8
5,6
5,4
4,8
4,6
I
II
III
IV
4,4
4,2
4,0
0
1
2
3
4
5
6
7
Prognozy wyznacza się przez ekstrapolację oszacowanych linii trendów dla poszczególnych
faz cyklów.
10
4. METODA TRENDÓW JEDNOIMIENNYCH OKRESÓW
Zapasy samochodów u producentów (tys)
Kwartał
Prognoza
I
0,28 7 3,88 5,77
0,16
2,92
*
7, 2
y
II
0,26 7 4,88 6,7
0,23
3,45
III
*
7,3
y
0,26 7 4,59 6,41
0,13
2,02
IV
y7*, 4
0,27 7 5,04 6,93
0,04
0,7
y
n
1
yt
n m 1t 1
s
Bezwzględny błąd ex ante vt Względny błąd ex ante
*
7 ,1
yˆ t
2
1
2
1
0,0616
6 1 1
T t
VT
n
t t
2
1
1
n
8
0,124
t
6
4
s
7 3,5
17,5
2
1
1
6
1
2
0
0,124 0,169
1
3
5
7
9
11
13 15 17 19 21 23 25 27
Obliczenia dla I kwartałów
t 1
Vt
100%
yt*
(w %)
2
1
2
2
1
2
t
0,169
100% 2,92%
5,77
t
1
2
3
4
5
6
21
3,50
(t-tśr)^2
6,25
2,25
0,25
0,25
2,25
6,25
17,5
2,92
y
4,2
4,4
4,8
5
5,1
5,7
yt
4,16
4,44
4,72
5
5,28
5,56
(y-y)^2
0,0016
0,0016
0,0064
0
0,0324
0,0196
0,0616
11
5. METODA WSKAŹNIKÓW
Jest to jedna z częściej używanych metod w analizie wahań sezonowych. Polega ona na
wyznaczeniu wskaźników sezonowości poszczególnych faz cyklu. Gdy amplitudy wahań
W analogicznych fazach cyklu są w przybliżeniu takie same, mówi się o wahaniach
bezwzględnie stałych. Gdy zaś wielkości amplitud wahań zmieniają się w mniej więcej
tym samym stosunku, mówi się o wahaniach względnie stałych. W pierwszym przypadku
można użyć do opisu kształtowania się zjawiska modelu addytywnego a w drugim
multiplikatywnego:
yti
yti
yˆ ti si
yˆ ti si
t
t
W analizie wahań sezonowych można wyodrębnić cztery etapy:
-wyodrębnienie trendu,
-eliminację trendu z szeregu czasowego,
-eliminację wahań przypadkowych,
-obliczenie wskaźników sezonowości.
Wyodrębnienie trendu polega na wygładzeniu szeregu czasowego za pomocą r-wyrazowej
centrowanej lub niecentrowanej średniej ruchomej, lub funkcji analitycznej.
Celem agregacji danych jest uzyskanie szeregu czasowego, w którym nie występują
wahania sezonowe. Przeprowadza się ją przez sumowanie danych w okresach
przyjętych w badaniu w dane odpowiadające okresom równym długości cyklu sezonowego.
12
5. METODA WSKAŹNIKÓW
Eliminacji trendu w w przypadku szeregu czasowego z wahaniami addytywnymi dokonuje się
obliczając różnicę rzeczywistych wartości zmiennej prognozowanej i wartości wygładzonych,
otrzymanych z modelu trendu. W przypadku wahań multiplikatywnych wyznacza się ilorazy
rzeczywistych wartości prognozowanej zmiennej przez odpowiadające im wartości wygładzone.
zti
yˆ ti ,
yti
yti
yˆ ti
zti
Obliczone wartości uwzględniają wahania sezonowe. Eliminację działania składnika losowego
przeprowadza się obliczając tzw. surowe wskaźniki sezonowości. Stanowią je wielkości
średnie wyznaczone na podstawie wielkości zti, dotyczących tej samej fazy wahań.
1
k
zi
k 1
zi
j r ,i
j 0
Wskaźniki sezonowości (czyste) wyznacza się ze wzorów:
si
zi q, si
zi
,
q
q
1
r
r
zi , r liczba faz cyklu
i 1
Prognozę wyznacza się następująco:
yti*
yti*(t ) si ,
yti*
yti*(t ) si
13
5. METODA WSKAŹNIKÓW - przykład
Liczba awarii maszyn z powodu spadku mocy zasilania w pewnym przedsiębiorstwie
produkcyjnym w poszczególnych półroczach lat 2003-2007 przedstawiała się następująco:
32; 21; 27; 19; 22; 16; 18; 11; 17; 8.
Liczba awarii = 30,200 - 2,018 * t
Wyznaczyć przewidywaną liczbę awarii w 2008 roku.
Korelacja: r = -,8691
34
32
Cykl składa się z 2 faz. W pierwszej (I półrocze)
rzeczywista wartość znajduje się powyżej linii trendu
a w drugiej wartości są poniżej linii trendu.
t=10 (obserwacji) i=2 (cykle)
Liczba awarii
Korzystamy z modelu multiplikatywnego:
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
*
ti
y
*( w)
ti
y
ci
8
6
0
2
4
6
8
10
12
Czas
y
*
ti
yti*( w)
ci
prognoza na okres t w i-tej fazie cyklu
prognoza wstępna na okres t w i-tej fazie cyklu
czysty wskaźnik sezonowości w i-tej fazie cyklu
Prognozę wstępną wyznacza
się przez ekstrapolację
zaobserwowanej tendencji
rozwojowej.
Yˆti
30 2 t
14
5. METODA WSKAŹNIKÓW - przykład
Yˆti
30 2 t t 1...10 i 1,2
Aby wyznaczyć wartości czystych wskaźników sezonowości ci należy:
a) obliczyć wartości zti jako ilorazy wartości rzeczywistych i teoretycznych:
t
Yt
ŷti
1
32
28
2
21
26
3
27
24
4
19
22
5
22
20
6
16
18
7
18
16
8
11
14
9
17
12
10
8
10
z1,1
z6, 2
32
1,14
28
16
0,89
18
z 2, 2
z7,1
21
0,82
26
18
1,13
16
z3,1
z8, 2
27
1,13
24
11
0,79
14
z 4, 2
z9,1
zti
yti
yˆti
19
0,86
22
17
1,42
12
t 1...10 i 1,2
z5,1
z10, 2
22
1,10
20
8
0,80
10
b) wartości zti zawierają efekt oddziaływania wahań sezonowych jak i przypadkowych,
w celu ich wyeliminowania oblicza się surowe wskaźniki sezonowości zi (i=1,2) przez
wyznaczenie średniej tych wartości zti, które odpowiadają jednoimiennym fazom:
z1
z2
1
1,14 1,13 1,10 1,13 1,42 1,182
5
1
0,81 0,86 0,89 0,79 0,80 0,829
5
c) oblicza się średnią arytmetyczną surowych wskaźników sezonowości q
q
1
1,182 0,829
2
q
1
r
r
zi
i 1
1,006
15
5. METODA WSKAŹNIKÓW - przykład
Czyste wskaźniki sezonowości wyznacza się jako ilorazy surowych wskaźników sezonowości zi i wielkości q.
ci
c1
c2
zi
q
1,182
1,175 (117,2%)
1,006
0,829
0,825 (82,5%)
1,006
i 1,2
r
ci
dla I półrocza
r
i 1
suma wskaźników musi być
równa liczbie faz
dla II półrocza
Czysty wskaźnik sezonowości ci=1,175 oznacza, że w pierwszej fazie cyklu czyli w I półroczu
liczba awarii jest przeciętnie o 17,5% wyższa od wartości wynikającej z linii trendu, c2=0,825
oznacza że w drugiej fazie cyklu (II półroczu) liczba awarii jest przeciętnie o 17,5% mniejsza
od wartości wynikającej z linii trendu.
Prognoza wyznaczona na kolejne kwartały ma postać:
y11* ,1
y11*(,w1 ) c1
30 2 11 1,175 9 awarii
y12* , 2
y12*( ,w2) c2
30 2 12 0,825 5 awarii
16