Modele sieciowe wzrostu nierównowagowego

Modele sieciowe wzrostu nierównowagowego
Streszczenie
Agnieszka Budek
W przyrodzie wiele struktur kształtuje się w trakcie wzrostu. Część z nich zawdzięcza
swój kształt niejednorodności budującego je materiału. W wielu jednak przypadkach niepowtarzalny kształt końcowej struktury jest efektem fluktuacji ośrodka, wzmacnianych przez dynamikę wzrostu. Tego typu struktury można obserwować w wielu układach, takich jak: wytrącanie elektrochemiczne, proces wolnego spalania, krystalizacja, czy wzrost włókien i mikrotubuli. Praca Modele sieciowe wzrostu nierównowagowego poświęcona jest dwóm przypadkom
wzrostu tego rodzaju - tworzeniu się kanałów w rozpuszczającym się ośrodku porowatym oraz
problemowi palców lepkości, polegającym na wypieraniu z układu lepkiej cieczy przez ciecz o
mniejszej lepkości.
W wielu przypadkach proces wzrostu da się opisać przy pomocy spełniającego równanie
Laplace’a, skalarnego pola p(x, t), które można interpretować jako stężenie reagentów lub ciśnienie. Pomimo iż równanie Laplace’a jest liniowe, problem wzrostu staje się nieliniowy z
uwagi na warunki brzegowe – front jest niestabilny ze względu na małe zaburzenia. Tak więc,
pomimo że w wielu przypadkach podstawowe mechanizmy opisujące proces wzrostu są dobrze
znane, silnie nielokalny charakter procesów zachodzących na granicy międzyfazowej sprawia,
że opis analityczny zagadnienia nie jest prosty. Dobrze opisane zostały przede wszystkim wczesne fazy wzrostu, kiedy można użyć liniowej analizy stabilności i znaleźć najsilniej wzmacniane
długości fal zaburzenia.
Głównym tematem pracy są, znacznie gorzej poznane, późniejsze fazy wzrostu, kiedy system wypełniony jest wieloma palczastymi strukturami, które wyewoluowały z początkowych
niestabilności. Struktury te oddziałują ze sobą i rywalizują, a także rozszczepiają się tworząc
bardziej złożone formy. W przypadku palców lepkości, aby otrzymać układ z wieloma stosunkowo cienkimi palcami, posłużono się prostokątną siecią kanalików, przez które płyną dwie
ciecze. W zjawisku rozpuszczania się materiału porowatego szerokość i rodzaj powstających
kanałów zależy natomiast bezpośrednio od tzw. liczby Damköhlera – funkcji przepływu, tempa
reakcji oraz rozmiarów porów skalnych. W efekcie można dobrać parametry układu tak, by
otrzymać liczne, cienkie kanały, rozgałęziające się lub nie.
1
W celu badania układów z cienkimi palcami wykonano eksperymenty mikrofluidyczne palców lepkości we współpracy z Instytutem Chemii Fizycznej PAN. Następnie stworzono opornikowy model numeryczny omawianego problemu. W modelu tym sieć kanalików (porów) przez
które płynie płyn traktowana jest jako sieć oporników o zmieniającym się w czasie oporze.
W przypadku palców lepkości opór ten zależy od lepkości płynu, który znajduje się w danej
chwili w kanaliku, natomiast w przypadku rozpuszczania ośrodka porowatego opór jest malejącą funkcją średnicy kanalików, która rośnie w czasie na skutek rozpuszczania. Dodatkowo,
w tym ostatnim przypadku, możliwe jest łączenie się poszczególnych kanalików w jeden, co
przekłada się na dynamiczną zmianę topologii sieci oporników.
Zarówno w eksperymencie jak i w symulacji numerycznej udało się otrzymać palce o różnej
szerokości, w tym również bardzo cienkie, zajmujące szerokość rzędu odległości między kanalikami. W przypadku palców lepkości, a także w przypadku kanałów rozpuszczeniowych znaleziono zależność kształtu palców/kanałów od parametrów układu. W sytuacji, kiedy w układzie
rośnie wiele palców ważną rolę odgrywają oddziaływania między nimi. Przede wszystkim oddziaływania te przejawiają się w konkurowaniu o dostępny w układzie przepływ – dłuższe palce
ekranują krótszych sąsiadów. W rezultacie w układzie powstaje samopodobna struktura palców
o różnej długości, zadanej rozkładem potęgowym. Przeanalizowano i porównano ze sobą rozkłady długości palców lepkości oraz kanałów rozpuszczeniowych otrzymując zbliżone do siebie
wyniki.
Inny rodzaj oddziaływań pomiędzy palcami to ich wzajemne przyciąganie bądź odpychanie
się, które przejawia się ich niesymetrycznym kształtem. W celu opisu tego zjawiska stworzony
został uniwersalny model opornikowy, który tłumaczy, jak siła i kierunek oddziaływań zależy od
długości palców i od kontrastu ich oporu względem otoczenia. Model ten poprawnie tłumaczy
zachowanie zarówno palców lepkości jak i kanałów rozpuszczeniowych.
Nowym zjawiskiem zaobserwowanym przy okazji eksperymentów z dwiema cieczami mieszającymi się płynącymi przez sieć kanalików jest odrywanie się głów palców lepkości. Przeanalizowano przyczyny tego zjawiska, a wielkości odrywających się głów powiązane zostały z
parametrami układu.
W przypadku kanałów rozpuszczeniowych osobnym problemem jest znalezienie optymalnych warunków rozpuszczania, minimalizujących ilość reagenta potrzebnego do przebicia się
kanału rozpuszczeniowego przez układ. Zbadano objętość reagenta potrzebną do przebicia jako
funkcję parametrów układu znajdując nietrywialną zależność, gdzie poszczególne minima lokalne odpowiadają różnym reżimom rozpuszczania.
2