Z matematyką przez świat

Z matematyką przez świat
konkurs matematyczny dla uczniów szkół podstawowych
PRZYKŁADOWE ROZWIĄZANIA ZADAŃ - ETAP KRAJOWY
24 kwietnia 2015
ZADANIA OTWARTE
Zadanie 1. (4 punkty) Oblicz:
(
1−
) (
) (
) (
)
(
) (
1
1
1
1
1
1
· 1−
· 1−
· 1−
· ... · 1 −
· 1−
2
3
4
5
2014
2015
)
Rozwiązanie: Po wykonaniu działań w nawiasach otrzymujemy:
1 2 3 4
2013 2014
· · · · ... ·
·
2 3 4 5
2014 2015
W otrzymanym iloczynie można uprościć mianownik każdego ułamka z licznikiem następnego, oprócz licznika pierwszego ułamka i mianownika ostatniego ułamka. Po uproszczeniu
1
.
otrzymujemy wynik:
2015
Zadanie 2. (5 punktów) Cegła ma wymiary 15 cm × 20 cm × 25 cm. Jaka jest najmniejsza
ilość takich cegieł, z których można ułożyć sześcian?
Rozwiązanie:
Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość. W każdej z krawędzi wychodzącej z wierzchołka sześcianu mieści się całkowita ilość jednego z wymiarów cegieł. Ilość
cegieł zgodnie z warunkami zadania powinna być możliwie najmniejsza. W związku z tym
długość krawędzi sześcianu będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością wymiarów cegły.
Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 15, 20 i 25 jest liczba 300. Długość krawędzi
sześcianu wynosi zatem 300 cm.
Następnie należy obliczyć ile razy poszczególne wymiary cegły mieszczą się w krawędzi
sześcianu. Mamy:
300
= 20,
15
300
= 15,
20
Szukana ilość cegieł będzie iloczynem tych liczb
20 · 15 · 12 = 3600.
300
= 12.
25
Zadanie 3. (5 punktów) Ustaw 12 osób w czterech rzędach tak, aby w każdym było po 4
osoby. Wykonaj rysunki, zaznaczając liniami wymagane rzędy. Przedstaw przynajmniej
10 możliwości.
Rozwiązanie: Przykładowe możliwości
2
Zadanie 4. (4 punkty) W autobusie, którym Tomek dojeżdża do szkoły, znajduje się zegar
elektroniczny wyświetlający godziny i minuty w sposób cyfrowy. Zegar wskazuje godzinę
7 : 00. Do szkoły Tomek jedzie 55 minut.
a) Ile razy w ciągu tego czasu na wyświetlaczu pojawi się cyfra 1?
b) Ile razy w ciągu tego czasu na wyświetlaczu pojawi się cyfra 5?
c) Która z wszystkich cyfr pojawi się na tym wyświetlaczu najczęściej, a która najrzadziej?
Rozwiązanie:
a) 7:01; 7:10; 7:11; 7:12; 7:13; 7:14; 7:15; 7:16; 7:17; 7:18; 7:19; 7:21; 7:31; 7:41; 7:51
- 16 razy.
b) 7:05; 7:15; 7:25; 7:35; 7:45; 7:50; 7:51; 7:52; 7:53; 7:54; 7:55
- 12 razy.
c) najczęściej pojawi się cyfra 7 - 61 razy, najrzadziej cyfry 6, 8, 9
- 5 razy.
3
Zadanie 5. (6 punktów) Kwadrat ma bok długości 24 cm. Obok niego rysujemy kolejne
kwadraty, takie, że każdy kolejny kwadrat ma bok o połowę mniejszy lub o połowę większy
(raz jeden, raz drugi) od boku poprzedniego kwadratu. Oblicz pole kwadratu powstałego
w ósmym kroku. Rozważ wszystkie możliwości.
Rozwiązanie:
Pierwsza możliwość:
Numer kroku
Długość boku kwadratu (w cm)
0
24
1
12
2
18
3
9
4
13 12
5
6 43
6
10 18
7
1
5 16
8
19
7 32
(
Pole kwadratu powstałego w ósmym kroku wynosi 7 19
32
)2
681
cm2 = 57 1024
cm2 .
Druga możliwość:
Numer kroku
Długość boku kwadratu (w cm)
0
24
1
36
2
18
3
27
4
13 12
5
20 14
6
10 18
7
3
15 16
8
19
7 32
(
Pole kwadratu powstałego w ósmym kroku wynosi 7 19
32
4
)2
681
cm2 = 57 1024
cm2 .