Rachunek zdań

Rachunek zdań
ostatnia aktualizacja: 10 listopada 2010 r.
Adam Gregosiewicz
Zadanie 1. Przedstawić tabele wartościowania dla podstawowych funktorów zdaniotwórczych: koniunkcji ∧, alternatywy ∨, implikacji ⇒, równoważności ⇔.
Zadanie 2. Pokazać, że poniższe wyrażenia są tautologiami rachunku zdań:
a) p ⇔ p,
b) ∼ (p∧ ∼ p),
c) p∨ ∼ p,
d ) p ⇒ (q ⇒ p),
e) (p ⇒ q) ⇔ (∼ p ∨ q),
f ) (∼ p ⇒ p) ⇒ p,
g) (1 ∧ p) ⇔ p,
h) (0 ∨ p) ⇔ p,
i) (1 ⇒ p) ⇔ p,
j ) (p ⇒ 0) ⇔∼ p,
k ) ∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p∨ ∼ q),
l ) ∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q),
m) [(p ⇒ q) ⇒ p] ⇒ p,
n) (p ⇒ q) ⇔ (∼ p ∨ q),
o) (∼ p ⇒ p) ⇒ p,
p) ∼ p ⇒ (p ⇒ q),
q) p ⇒ (p ∨ q),
r ) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r),
s) [p ⇒ (q ⇒ r)] ⇒ [(p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r)],
t) [p ∨ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∨ q) ∨ r],
u) [p ∧ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∧ q) ∧ r],
v ) [p ∧ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)],
w ) [p ∨ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)],
x ) [(p ⇒ q)∧ ∼ q] ⇒∼ p.
Zadanie 3. Sprawdzić, czy poniższe wyrażenia są tautologiami rachunku zdań:
a) [(p ∨ q)∧ ∼ p] ⇒ q,
b) (p ⇒ q) ⇒ [(p ∧ r) ⇒ q],
c) (p ⇒ q) ⇒ [p ⇒ (q ∨ r)],
d ) p ⇒ [(∼ q ∧ q) ⇒ r],
e) {[(p ∧ q) ⇒ r] ∧ (p ∨ q ⇒∼ r)} ⇒ (p ∧ q ∧ r),
f ) [(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)] ⇒ [(p ∧ s) ⇒ (q ∨ r)],
g) [(p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r) ∨ (p ⇒ s)] ⇒ [p ⇒ (q ∨ r ∨ s)],
h) [(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ q) ∧ (s ⇒ q)] ⇒ [(p ∧ r∧ ∼ s) ⇒ q],
i) {[(p ∧ q) ⇒ r] ∧ [(p ∧ q) ⇒∼ r]} ⇒ (∼ p∧ ∼ q∧ ∼ r),
j ) [(p ∨ q) ∧ (r ∨ s)] ⇒ {[(p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r)] ∧ [(q ⇒ s) ∨ (q ⇒ p)]},
k ) [(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s) ∧ (t ⇒ u)] ⇒ [(p ∧ r ∧ t) ⇒ (q ∧ s ∧ u)].
Zadanie 4. Posługując się znanymi prawami rachunku zdań, wyprowadzić następujące tautologie:
a) [(p ∧ q) ⇒ r] ⇔ [p ⇒ (q ⇒ r)],
b) (p ⇒ q) ⇒ [(p ∧ r) ⇒ (q ∧ r)],
c) [p ⇒ (q ⇒ r)] ⇒ [q ⇒ (p ⇒ r)],
d ) [(p ∨ q)∧ ∼ p] ⇒ q.
1
2
Zadanie 5. Znaleźć możliwie najkrótszą formułę zdaniową równoważną formule
a) (p ∧ q ∧ s) ∨ (p∧ ∼ q∧ ∼ r) ∨ (o ∧ q∧ ∼ s)∨ ∼ (p ∧ r ⇒ q),
b) (p ∧ q)∨ ∼ (∼ p ⇒ q),
c) (q ∧ r ∧ s∧ ∼ q) ∨ (p∧ ∼ q∧ ∼ p) ∨ (r ∧ s).
(ag)