Przykład 1 – sprowadzenie macierzy do macierzy górnotrójkątnej
Transkrypt
Przykład 1 – sprowadzenie macierzy do macierzy górnotrójkątnej
Wyznaczniki GaussMatrix@2011 Przykład 1 – sprowadzenie macierzy do macierzy górnotrójkątnej Rozważmy teraz taki przykład: Sprowadzimy tę macierz do macierzy górnotrójkątnej. W pierwszej kolumnie chcielibyśmy mieć trzy zera pod pierwszym elementem. Aby pozbywać się liczb leżących poniżej, bardzo „wygodnie” jest mieć jedynkę w lewym górnym rogu. Oczywiście moglibyśmy podzielić pierwszy wiersz przez dwa, ale wykorzystamy tu operację wyciągania stałej z wiersza przed wyznacznik. Z bliżej nieznanych powodów studenci rzadko używają tej operacji, więc lepiej ją zawczasu przećwiczyć! Gdy już mamy jedynkę w lewym górnym rogu, można bardzo łatwo pozbyć się liczb stojących pod nią. Do wiersza drugiego i czwartego dodamy wiersz pierwszy, zaś od wiersza trzeciego odejmiemy dwa wiersze pierwsze. Ponieważ dążymy do otrzymania macierzy górnotrójkątnej, chcemy wszystkie zera „spychać” w dół. Dlatego zamienimy teraz ze sobą wiersz drugi i czwarty, pamiętając o zmianie znaku wyznacznika przy tej okazji. W drugiej kolumnie chcielibyśmy mieć same zera pod drugim elementem, usuniemy więc liczbę -4 przy pomocy wiersza drugiego. Teraz chcielibyśmy, aby zero widoczne w żółtym kwadracie znalazło się w czwartym wierszu w trzeciej kolumnie. Możemy to osiągnąć dwiema kolejnymi operacjami: 1. zamianą trzeciego i czwartego wiersza (przy okazji zmienimy znak wyznacznika na przeciwny) ... Wyznaczniki GaussMatrix@2011 2. … oraz zamianą kolumny trzeciej i czwartej, ponownie zmieniając znak wyznacznika. Otrzymaliśmy wyznacznik macierzy górnotrójkątnej, wynikiem jest iloczyn liczby stojącej przed macierzą oraz liczb stojących na przekątnej, czyli: W = -2×1×2×2×4=-32 Ten sam przykład w programie GaussMatrix Krok 1. W programie GaussMatrix wybierz aplikację Wyliczanie 2 22 2 wyznacznika, w aplikacji tej wybierz opcję podania własnego przykładu i na -1 -1 1 1 następnym ekranie wybierz rozmiar macierzy 4x4. Następnie wprowadź dane 2 -2 2 -2 swojej macierzy i naciśnij przycisk Dalej. -1 1 1 1 Krok 2. Na ekranie pojawiło się następujące okno. Przyciski po prawej stronie (dotyczące kolumn) powodują analogiczne działanie, jak przyciski dla wierszy opisane w „chmurkach”. Dodawanie wiersza pomnożonego przez stałą niezerową Dodawanie wiersza podzielonego przez stałą niezerową Mnożenie wiersza przez stałą niezerową Dzielenie wiersza przez stałą niezerową Zamiana dwóch wierszy Wyciągnięcie stałej niezerowej z wiersza Możesz cofnąć się o kilka kroków jeżeli się pomylisz lub stwierdzisz, że należałoby obrać inną strategię. Po cofnięciu się, możesz zmienić zdanie i powrócić do swojego ostatniego kroku. Możesz w dowolnej chwili zacząć ten sam przykład od nowa. Wyznaczniki GaussMatrix@2011 Krok 3. Naciśnij przycisk służący do wyciągnięcia stałej z wiersza przed wyznacznik i wyciągnij stałą 2 z pierwszego wiersza. Krok 4. Teraz należy pozbyć się liczb w pierwszej kolumnie, położonych pod górną jedynką. Naciśni guzik, który zmienia dany wiersz w ten sposób, że dodaje do niego inny wiersz pomnożony przez liczbę niezerową. W małym okienku podaj takie parametry, które będą oznaczać, że chcesz zmienić trzeci wiersz odejmując od niego dwa wiersze pierwsze. Analogicznie zmień wiersze drugi i czwarty: do każdego z nich dodaj jeden wiersz pierwszy. Po tych operacjach lewa górna część aplikacji powinna wyglądać następująco: Krok 5. Naciśnij przycisk służący do zamiany wierszy i zamień wiersz drugi z czwartym. Krok 6. Podobnie jak w kroku 4, zmień wiersz trzeci – dodaj do niego dwa wiersze drugie. Po tym kroku ostatnia macierz powinna wyglądać następująco: Krok 7. Teraz zamień wiersz trzeci z czwartym oraz kolumnę trzecią z czwartą – operacje te wykonać możesz w dowolnej kolejności. Krok 8. Wyznacznik jest już obliczony – stworzyliśmy macierz schodkową, możemy więc obliczyć iloczyn liczby stojącej przed macierzą oraz liczb znajdujących się na przekątnej: