Szumy

Układy elektroniczne
Szumy w układach
elektronicznych
Jerzy Witkowski p.132a,b -4
Rozkład normalny (Gaussowski)
8σ
p(x)
σ=
∞
∫ (x − X ) p( x)dx
2
0
−∞
Odchylenie
standardowe;
Moment centrowany
drugiego rzędu
X0 =
x
∞
∫ x p( x)dx
Wartość średnia;
Moment pierwszego
rzędu
−∞
Szumy w układach elektronicznych
p(U);p(I)
U,I
8Un , 8In
U0,I0
p (U ) =
p(U);p(I)
 (U − U 0 ) 2 
1

exp −
2U n2 
U n 2π

p(I ) =
U0,I0
 (I − I 0 )2 
1

exp  −
2 I n2 
I n 2π

U,I
1
Współczynnik szczytu
(Crest factor)
def.:stosunek amplitudy (wartości
maksymalnej) do wartości skutecznej:
U max − U o
8Un
p(U)
Un
=4
Tzn. amplituda sygnału
jest większy od 4Un dla
0.01% czasu
Prąd skuteczny szumu
zakładamy stacjonarność i ergodyczność szumu
2
P = I RMS
R=
2
U RMS
R
Moc czynna
T
I RMS = lim
T →∞
1 2
I (t )dt
T ∫0
∞
T
I 0 = lim
T →∞
Wartość skuteczna
1
I dt = ∫ I p( I )dI
T ∫0
−∞
I n ( RMS ) = lim
T →∞
1
T
Wartość średnia
∞
T
∫ (I − I ) dt = ∫ (I − I ) p( I )dI === I
2
2
0
0
−∞
0
n
Wartość skuteczna
składowej szumowej
Napięcie skuteczne szumu
2
P = I RMS
R=
2
U RMS
R
Moc czynna
T
U RMS = lim
T →∞
1
U 2 (t )dt
T ∫0
∞
T
U 0 = lim
T →∞
Wartość skuteczna
1
U dt = ∫ U p (U )dU
T ∫0
−∞
U n ( RMS ) = lim
T →∞
1
T
Wartość średnia
∞
T
∫ (U − U ) dt = ∫ (U − U ) p(U )dU === U
2
2
0
0
0
n
−∞
Wartość skuteczna
składowej szumowej
2
Źródła szumu
• Szum cieplny (Johnsona)
• Szum śrutowy
• Szum 1/f (migotania, strukturalny)
• Szum wybuchowy (popcorn)
• Szum lawinowy
Szumy cieplne
(Johnsona, thermal noise)
• Wynika z ruchów cieplnych nośników prądu;
• Występuje w kaŜdym oporniku;
• Ma równomierną gęstość widmową - szum biały;
(do ok. 1013 Hz)
• Rozkład Gaussowski.
();
U n = 4kTRB
4kTB
R
In =
=1,38•10-23
k – stała Boltzmana
T – temperatura [K],
B – szerokość pasma [Hz],
R – oporność.
[J/K] ,
Schemat szumowy rezystora
U n = 4kTRB
In =
4kTB
R
In
Un
R
R
3
Moc i gęstość widmowa mocy
(tu dla rezystora)
U n2
= 4kTB [W ]
R
I n2 R = 4kTB [W ]
U n2
R
W 
= 4 kT 
 Hz 
W 
I n2 R
= 4 kT 
B
 Hz 
B
Jednostki praktyczne
(tu dla rezystora)
Un = 4kTRB= 4kTR⋅ B
In =
4kTB 4kT
=
⋅ B
R
R
Przykładowe wielkości
Un
R
T=293 K (20o C);
k=1,38•10-23 J/K
R
B
Un [µV]
100 Ω
20 kHz
0,18 µV
100 Ω
2 MHz
1,8 µV
10 kΩ
20kHz
1,8 µV
75 Ω
1GHz
35 µV
4
Szum śrutowy
(szum Schttky’ego, shot noise)
• Wynika z fluktuacji przepływu prądu przez
barierę potencjału (związany z procesem
Poissona);
• Szum biały o rozkładzie Gaussowskim.
I n = 2qI 0 B
Io – prąd,
q – ładunek nośnika,
(e=1,6•10-19 C)
B – pasmo.
Szum 1/f
(szum migotania, strukturalny, róŜowy, flicker noise)
• wystepuje w zakresie małych częstotliwości (do
1-10kHz),
• jest to szum „nadmiarowy”,
• zaleŜą od konstrukcji rezytorów,
• występuje tylko przy polaryzacji,
• nie jest szumem białym
U n = K uU 0
B
f
Szum 1/f
(przykładowe wielkości dla róŜnych rezystorów)
Un
B
= Ku
≈ 2,3K u
U0
f
węglowe
objętościowe
węglowe
warstwowe
0,1 - 3 µV/V
0,05 - 0,3 µV/V
metalizowane
0,02 – 0,2 µV/V
drutowe
0,01 - 0,2 µV/V
5
Szumy wybuchowe
(popcorn, burst noise)
• szum niskoczęstotliwościowy,
• występuje głównie we wzmacniaczach
operacyjnych (nie tylko),
• nie jest Gaussowski !!!!
Szum lawinowy
(avalanche noise)
• występuje przy przebiciu lawinowym
In =
2qI 0
(2πτ )2
τ – średni czas między zderzeniami
Dodawanie szumów
2
U n = U n21 + U n22 + K + U nK
Un =
(U n1 + U n 2 )2
= U n21 + U n22 + 2U n1U n 2C
Gdy współczynnik
korelacji C=0
6
Obliczanie szumu układu złoŜonego
zawierającego źródła nieskorelowane
1. obliczamy napięcie od każdego
źródła (zasada superpozycji) i
2. dodajemy ich kwadraty !!!!
3. obliczamy pierwiastek.
2
U n = U n21 + U n22 + K + U nK
2
2
 U  U 
U 
Un
=  n1  +  n 2  + K +  nK 
B
 B  B
 B
2
Obliczanie szumu przechodzącego
przez układ
Un
H(f)
∞
∫
U nO =
0
2
U ( f ) 
 df
H( f )  n
 ∆f 


2
 V 

Hz 
Gęstość widmowa mocy 
Pasmo szumowe
U nO =
∞
∫
0
∞
B=
2
 U 
H ( f )  n  df ≈
 ∆f 


∫ H( f )
2
2
2
 Un 

 B
 ∆f 


df
0
2
H ( f ) max
7
Pasmo szumowe
|H(f)|
0dB
-3dB
fg
fd
1,57( f g − f d ) = B > ( f g − f d )
1,57 − 1,02 w zależności od stromości zbocz
1,57 – dla spadku 20dB/dek (filtr 1-go rzędu)
RównowaŜne źródła szumu
Układ szumiący
Unwe
Układ
bezszumny
Inwe
RównowaŜne źródła szumu
-sposób pomiaru Un
Uwe
GU =
U wy
U we
Uwy
Unwy
U nwe =
U nwy
GU
8
RównowaŜne źródła szumu
-sposób pomiaru In
R
GU' =
Uwe
U wy
Uwy
U we
2
2
+ I nwe
U nwy = GU' 4kTRB + U nwe
R2
R
I nwe =
 U nwy

 G'
 U
1
R
2

2
 − 4kTRB − U nwe


Współczynnik szumów
UnRg
Unwe
Układ
bezszumny
Inwe
Współczynnik szumów
-definicja
UnRg
Unwe
Un2
Inwe
2
2
U n 2 = U nRg
+ U nwe
+ (Rg I nwe )
2
U n1 = U nRg
= 4kTRg B
2
2
4kTRg + U nwe
+ (Rg I nwe )
2
F=
4kTRg
>1
Całkowita moc szumu
układu i źródła
Moc szumu źródła
9
Pomiar wsp. szumu za pomocą
generatora szumu
Rg=Rs
U nwy = GU' U nwe
Ung=0
2
2U nwy = GU' U nwe
+ U ng2
Ung≠0
F = 1+
U
2
ng
4kTRg
= 1+
(
U + I n Rg
2
n
)
U nwe = U ng
2
4kTRg
Współczynnik szumu cd.
UnRg
Unwe
Układ
bezszumny
Un2
Inwe
Układ
bezszumny
2
2
U n 2 = U nRg
+ U nwe
+ (Rg I nwe ) = U nRg 1 +
2
2
U nwe
+ (Rg I nwe )
2
=
2
U nRg
= U nRg F = 4kTRg F
Dopasowanie szumowe
2
4kTRg + U nwe
+ (Rg I nwe )
2
F ( Rg ) =
100 F
4kTRg
Fopt ( Rgopt ) = 1 +
10
Rgopt =
U nwe I nwe
2kT
U nwe
I nwe
1
100
101
102
103
104
105
106 Rg [Ω]
10
Dopasowanie szumowe za pomocą
transformatora
(idealny transformator nie wprowadza szumu)
1:p
1:p
R
Un
Rp2
Rs
F ( Rg ) = 1 +
(
U n2 + Rs p 2 I n
4kTRs p 2
In
)
2
Rgopt =
100 F
10
1
popt =
100
103
popt
Un
= Rs p 2
In
Rgopt
Rs
Un
=
In
Rs
106 Rg [Ω]
Uwaga !!!!!
• Dopasowanie szumowe to nie jest o samo,
co dopasowanie na maksimum mocy !!!
• i zazwyczaj te dopasowanie nie pokrywają
się !!!!!!
• Rwejsciwa wzmacniacza to nie Un/In !!!!
• Un/In to nie jest rezystancja omowa – to
pewien parametr !!!!
Definicja podstawowa
2
4kTRg + U nwe
+ (Rg I nwe )
2
F=
=
4kTRg
=
N we + N ukl
=
N we
S we
1 N wy
1 N wy
N we
=
⋅
=
=
2
G N we S wy N we S wy
N wy
S we
SNRwe
=
>1
SNRwy
N wy
G2 =
N we
stosunek mocy sygnału
do mocy szumu
na wejściu
stosunek mocy sygnału do
mocy szumu
na wyjściu
11
Współczynnik mocy
-definicja (dB)
Całkowita moc szumu
układu i źródła
(na wyjściu)
2
4kTRg + U nwe
+ (Rg I nwe ) G 2
⋅ 2
4kTRg
G
2
F=
Moc szumu źródła
(na wyjściu)
2
2
 U nwe
+ (Rg I nwe ) 

FdB = 10 log1 +


4kTRg


Inny przykład
Esyg=4,4mV
SNR=60dB
tłumienie 6dB
F=14dB
SNR=54dB
R=300Ω
T=240K (temp. szumowa anteny)
B=5MHz
Pn=kTB=1,6e-14W
Un=4,4µV
SNR=40dB
(przed
demodulacją)
Usyg=2,2mV
Temperatura szumowa
wzmacniacza
2
4kTRg + U nwe
+ (Rg I nwe )
2
F=
4kTRg
=
4k (T0 + Tn )Rg
4kT0 Rg
= 1+
Tn
T0
Tn = T0 (F − 1); T0 = 290 K
12
Szum kaskady wzmacniaczy
Unwe
Ro1
Rg
Ro2
GU1
Rin1
Wsp. szumu F1
F = F1 +
F2 − 1
2
 Rin1
 R

GU 1  g
R +R
 R
g
in1
o1
14
 43
44244
+
Wsp. szumu F2
F3 − 1
2
2
 Rin1
 R  Rin2
 R

GU 1  g 
GU 2  o1
R +R
 R R +R
Ro 2
g
in1
o1  o1
in 2
4
14
 43
1444
244
3
44244
GP1
= F1 +
RL
GU2
Rin2
=
GP 2
GP 1
F2 − 1 F3 − 1
FK − 1
+
+K+
GP1 GP1GP 2
GP1GP 2 L GP ( K −1)
Szum kaskady wzmacniaczy cd
F = F1 +
F2 − 1 F3 − 1
FK − 1
+
+K+
GP1 GP1GP 2
GP1GP 2 L GP ( K −1)
Tn = Tn1 +
Tn 2
Tn 3
TnK
+
+K+
GP1 GP1GP 2
GP1GP 2 L GP ( K −1)
2
2
 Rin1
 R  Rin 2
 R
GP1GP 2 LGP ( K −1) = 
GU 1  g 
GU 2  o1 K =
R +R
 R R +R
in1
in 2
 Ro 2
 g
 o1  o1
2
2
 Rin1
  Rin 2
 Rg
=
K=
GU 1  
GU 2 
 +R

g
in1
o1 + Rin 2
 Ro 2
1R4
 1R4
4
42444
3
42443
2
(GU 2 skuteczne )
(GU 1 skuteczne )2
= (GU 1sk ) (GU 2 sk ) L (GU ( K −1) sk )
2
2
2
Rg
Ro ( K −1)
Wzmocnienie rozporządzalne mocy=
=(moc dysponowana wyjściowa)/(moc dysponowana źródła)
=
U o2( K −1)
4 Ro ( K −1)
U s2
4 Rg
Przykład kaskady
wzmacniaczy z tłumieniem (CTV)
wsp. szumu
F
Fwyp = F +
G
F
G −1 F −1
+
+
1
G
G⋅
G
wzmocnienie
G
1/G
G
G
G −1
+
1
⋅G
G
G⋅
1/G
F
G⋅
F −1
1
1
⋅G ⋅
G
G
= 3F −
2
G
G
13
Dobór kolejności wzmacniaczy
F = F1 +
F2 − 1 F3 − 1
FK − 1
+
+K+
GP1 GP1GP 2
GP1GP 2 LGP ( K −1)
F12 = F1 +
F2 − 1
GP1
F1, GP1
F2, GP2
?
?
?
F21 = F2 +
F2, GP2
Pierwszy powinien być wzmacniacz o
najmniejszej mierze szumowej, czyli małym
współczynniku szumów i dużym wzmocnieniu !!!!
F1 − 1
GP 2
F1, GP1
F −1
1
1−
GP
Szum diody półprzewodnikowej
U n2 = 4kTRS B
Rs
I n2 = 2qI D B + K
rd
I Dα
B
f
rezystancja dynamiczna nie szumi, bo nie jest to „rezystancja omowa”
Szumy tranzystora bipolarnego
2
U nB
= 4kTRbb ' B
I
2
nB
Iα
= 2qI B B + K B B
f
2
I nC
= 2qI C B
14
Szumy tranzystora bipolarnego

ϕ
U n2 = 4kT  Rbb ' + T
2IC


 B

1 – 100 nV/√Hz
dla tr. małoszumnych

Iα
I C 
I = 2q I B + K B +
B

2qf β ( jω ) 2 


0,1 – 10 pA/√Hz
dla tr. małoszumnych
2
n
β ( jω ) =
β0
1 + j ωωβ
Typowy wsp. szumów tranzystora
IC
IC
szum biały
Wsp. szumu jako funkcja Rg i IC
m.cz.
duże Rg
w.cz.
małe Rg
15
Szumy tranzystora unipolarnego
I
2 
2
I nD
= 4kT  g m  B + K1 D B
3 
f

14
4244
3
2
2
I nG
= 2qI G B
szum
termiczny
Szumy zastępcze tr. złączowego
 2 
B
 B + K f
U n2 = 4kT 
f
 3g m 
 ωC gs 

I n2 = 2qI G B + 
 gm 
2
1 – 1000 nV/√Hz
dla tr. małoszumnych

2g
I2 
 4kT m + K1 D  B
3
f 

0,1 – 100 fA/√Hz
dla tr. małoszumnych
Wsp. szumu tranzystora MOSFET
16
Wybór tranzystora
• tranzystor bipolarny
– jest lepszy dla małych rezystancji źródeł(dla w.cz.); -------małe Rbb’ i duŜy prąd IC (Un/In małe);
– dla duŜych Rg naleŜy zmniejszyć IC (dla m.cz);
• tranzystory polowe
– są lepsze dla duŜych rezystancji źródeł (Un/In =Rgopt
jest duŜe);
– zakres szumów 1/f jest większy;
– tranzystory o niskich szumach mają małą
częstotliwość pracy;
Szumy wzmacniaczy operacyjnych
-sposoby przedstawiania szumu przez producentów
Un
Un
In
In/√2
In/√2
Un/√2
Un/√2
In/√2
In/√2
Szumy wzmacniaczy operacyjnych
-przykład obliczeń
100nV/√Hz
10nV/√Hz
(+)
G=10 V/V
200nV/√Hz
2pA/√Hz
41nV/√Hz
(-)
13nV/√Hz
100k
126nV/√Hz
41nV/√Hz
Rg=10k
11,1k
14nV/√Hz
130nV/√Hz
(130) + (200) + (100) + (41) + (126)
(130)2
2
F=
2
2
2
2
(130) + (260)
(130)2
2
=
2
= 1 + 4 = 5 = 7 dB
17
Porównanie niskoszumnych wzmacniaczy
operacyjnych o róŜnych technologiach
Podsumowanie
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Co to jest szum ?
Moc, wartość skuteczna, współczynnik szczytu szumu,
Źródła (rodzaje ) szumu,
Podstawowe zaleŜności dla szumu cieplnego, śrutowego i typu 1/f,
Pasmo szumowe,
RównowaŜne źródła szumów,
Współczynnik szumów,
Dopasowanie szumowe,
Temperatura szumowa,
Szum kaskady wzmacniaczy,
Współczynnik szumów tranzystora bipolarnego i polowego
(porównanie),
• Szumy wzmacniaczy operacyjnych (porównanie),
Tłumik napięciowy dopasowany
obustronnie
Tłumienie: T =
U we
U wy
R2 =
T 2 −1
R
2T
Uwe
R
R
Uwy
R1 =
R
T +1
R
T −1
R
18