Quantile hedging - czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyc opcje

Transkrypt

Quantile hedging
czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję
Michał Krawiec
Piotr Piestrzyński
Koło Naukowe Probabilistyki i Statystyki Matematycznej
Uniwersytet Wrocławski
Niedziela, 19 kwietnia 2015
Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński
Quantile hedging
Przykład (opis problemu)
Kim jesteśmy?
Poważną firmą (nazywamy się Poważna Firma).
Czym się zajmujemy?
Wieloma rzeczami, w tym emisją instrumentów pochodnych, np.
opcji na akcję.
Zagadnienie
Jeśli opcję opłaca się wykonać, to ponosimy (całkiem sporą) stratę.
Musimy się jakoś przed tym bronić i zabezpieczyć opcję, czyli
stworzyć portfel złożony z akcji i ewentualnie innych instrumentów
finansowych.
Quantile hedging
Nasze opcje
Figure 1:Payoffy opcji europejskich - krótka pozycja
Zajmiemy się opcjami europejskimi, które mogą być zrealizowane
tylko w terminie wygaśnięcia opcji. Cena aktywa dzisiaj wynosi S0 , a
strike opcji wynosi K .
Quantile hedging
Delta hedging
Delta hedging
Metoda oparta na replikacji, tzn. budujemy portfel inwestycji,
którego wartość w momencie wykonania jest równa wypłacie opcji.
Π = −V + ∆S + B = 0
Dynamiczny delta hedging jednak jest kosztowny. Co zrobić, gdy nie
stać nas na pełną replikację lub gdy nie chcemy wydać takiej kwoty?
Quantile hedging
Quantile hedging
Figure 2:Hans Föllmer i Peter Leukert
W artykule z 1998 roku Hans Föllmer i Peter Leukert zaproponowali
kilka sposóbów zabezpieczania instrumentu pochodnego i
wyznaczyli strategie dla kilku modeli.
Quantile hedging
Tańsze zabezpieczenie - intuicje
Mamy dwie możliwości:
Ustalamy prawdopodobieństwo P udanego zabezpieczenia,
a następnie wyznaczamy najtańszy portfel, który zabezpiecza
instrument z tym prawdopodobieństwem.
Ustalamy kwotę V zabezpieczenia, a następnie spośród
portfeli, których wartość nie przekacza tej sumy, wybieramy ten,
który maksymalizuje prawdopodobieństwo.
Quantile hedging
Quantile hedging - świat matematyczny (1)
Jak to w świecie matematycznym bywa:
(Ω, F, P),
(Ft )t∈[0,T ] ,
X = (Xt )t∈[0,T ]
Zakładamy brak arbitrażu i zupełność rynku, tzn. istnieje dokładnie
jedna równoważna miara martyngałowa P ∗
Rozważamy nieujemne roszczenie warunkowe:
H ∈ L1 (P ∗ ),
H 6= 0,
H ∼ Ft − mierzalne
Quantile hedging
Perfect hedge – strategia samofinansująca ξ H taka, że:
∀t∈[0,T ]
E ∗ [H|Ft ] = H0 +
Z t
0
Jej koszt to:
H0 = E ∗ [H]
A co, gdy chcemy coś tańszego?
Quantile hedging
ξsH dXs
Podstawowy problem optymalizacyjny
Szukamy strategii (V0 , ξ) takiej, że:
"
Z T
P V0 +
#
ξs dXs ≥ H = max
0
pod warunkiem:
V0 ≤ V˜0
Zbiór sukcesu
Zbiór {VT ≥ H} będziemy nazywać "zbiorem sukcesu"
odpowiadającym strategii (V0 , ξ)
Quantile hedging
Lemat
Niech Ã ∈ FT będzie rozwiązaniem problemu
P[A] = max
przy ograniczeniu
E ∗ [H 1A ] ≤ V˜0
˜ będąca perfect hedge dla opcji barierowej
Wtedy strategia (V˜0 , ξ)
H̃ = H 1Ã rozwiązuje nasz problem optymalizacyjny i odpowiadający
jej zbiór sukcesu pokrywa się prawie wszędzie z Ã
Quantile hedging
Jak znaleźć zbiór sukcesu Ã? (1)
Zdefiniujmy miarę Q ∗ następująco:
dQ ∗
H
,
=
∗
dP
H0
wtedy warunek
E ∗ [H 1A ] ≤ V˜0
przyjmuje postać:
Q ∗ [A] ≤ α :=
Ṽ0
.
H0
Quantile hedging
Jak znaleźć zbiór sukcesu Ã? (2)
Przyjmując oznaczenia:
ã = inf a : Q
∗
Ã :=
dP
>a·H ≤α ,
dP ∗
dP
> ã · H ,
dP ∗
mamy:
Twierdzenie
Załóżmy, że zbiór Ã spełnia
Q ∗ [Ã] = α.
Wtedy jest on szukanym zbiorem sukcesu w naszym problemie
optymalizacyjnym.
Quantile hedging
Jak na to patrzeć?
Quantile hedging
Quantile hedging w świecie Blacka-Scholesa
W standardowym modelu BS proces ceny aktywa będzie zadany
przez geometryczny ruch Browna:
dXt = mXt dt + σXt dWt
Z wartością początkową X0 = x0 . Dla uproszczenia: r = 0.
Miara martyngałowa dana będzie wzorem:
dP ∗
m
1
= exp − WT −
dP
σ
2
Proces Wt∗ = Wt +
m
σt
m
σ
!
2
T
jest procesem Wienera w mierze P ∗ .
Quantile hedging
Quantile hedging w świecie Blacka-Scholesa (2)
Proces ceny, przy użyciu lematu Ito, ma następującą postać:
1
1
XT = x0 exp(σWT + (m − σ 2 )T ) = x0 exp(σWT∗ − σ 2 T )
2
2
Możemy więc zapisać:
dP ∗
−m/σ 2
= const · XT
dP
Quantile hedging
Quantile hedging w świecie Blacka-Scholesa (3)
Z twierdzenia wiemy, że optymalną strategią będzie replikacja opcji
barierowej H 1A , gdzie zbiór A jest postaci:
A=
dP
> const · H
dP ∗
Używając oznaczeń z poprzedniego slajdu:
n
m/σ 2
A = XT
> λ(XT − K )+
gdzie stała λ jest wybrana tak, aby:
E∗ [H 1A ] = V0 .
Quantile hedging
o
Zbiór sukcesu - przypadek pierwszy
m ≤ σ2
2
Wtedy funkcja f (x ) = x m/σ jest wklęsła i przecina się z prawą
stroną nierówności w jednym miejscu, dla opcji call i put.
Figure 3:Zabezpieczany obszar payoffu - opcja call
Quantile hedging
Zbiór sukcesu - przypadek drugi
m > σ2
Funkcja jest wypukła, w przypadku opcji call dzieli to zabezpieczany
obszar na dwa.
Figure 4:Zabezpieczany obszar payoffu - opcja call
Quantile hedging
Opcja barierowa w praktyce - call
Parametry: m = 0.15, r = 0.05, σ = 0.2, S = 100, K = 100
Cena pełnego zabezpieczenia: 10.42
Cena zabezpieczenia z zadanym prawdopodobieństwem: 10.20
Prawdopodobieństwo: 99%
Cena procentowo: 98%
Quantile hedging
Parametry: m = 0.15, r = 0.05, σ = 0.2, S = 100, K = 100
Quantile hedging
Parametry: m = 0.15, r = 0.05, σ = 0.2, S = 100, K = 100
Quantile hedging
Parametry: m = 0.15, r = 0.05, σ = 0.2, S = 100, K = 100
Quantile hedging
Parametry: m = 0.15, r = 0.05, σ = 0.2, S = 100, K = 100
Quantile hedging
Opcja barierowa w praktyce - put
Parametry: m = 0.05, r = 0.05, σ = 0.4, S = 100, K = 100
Quantile hedging
Parametry: m = 0.05, r = 0.05, σ = 0.4, S = 100, K = 100
Quantile hedging
Parametry: m = 0.05, r = 0.05, σ = 0.4, S = 100, K = 100
Quantile hedging
Parametry: m = 0.05, r = 0.05, σ = 0.4, S = 100, K = 100
Quantile hedging
Parametry: m = 0.05, r = 0.05, σ = 0.4, S = 100, K = 100
Cena procentowo: <1%
Quantile hedging
Koszt hedgingu w zależności od
prawdopodobieństwa
Opcja call o parametrach:
m = 0.15, r = 0.05, σ = 0.2, S = 100, K = 100
Quantile hedging
Koszt hedgingu w zależności od
prawdopodobieństwa
Opcja put o parametrach:
m = 0.05, r = 0.05, σ = 0.4, S = 100, K = 100
Quantile hedging
Hedging - histogram strat
Opcja call o parametrach:
m = 0.15, r = 0.05, σ = 0.2, S = 100, K = 100
Prawdopodobieństwo zabezpieczenia: 90%, liczba symulacji: 10000
Quantile hedging
Hedging - histogram strat
Opcja put o parametrach:
m = 0.05, r = 0.05, σ = 0.4, S = 100, K = 100
Prawdopodobieństwo zabezpieczenia: 90%, liczba symulacji: 10000
Quantile hedging
Co dalej?
Dla strategii (V0 , ξ) możemy zdefiniować stratę S = (H − VT )+ .
Pokazana metoda maksymalizuje prawdopodobieństwo tego, że
strata S jest równa 0.
Kontrolowanie rozmiaru straty
Przykładowo, dla funkcji straty l(x ) = x możemy minimalizować
expected shortfall
E[S] = E[(H − VT )+ ]
Funkcja straty będzie określać nasze podejście do ryzyka.
Quantile hedging
Bibliografia
Föllmer H., Leukert P., Quantile hedging,
http://edoc.hu-berlin.de/series/sfb-373-papers/
1998-13/PDF/13.pdf
Föllmer H., Schied A., Stochastic Finance. An Introduction in
Discrete Time.
Quantile hedging
Dziękujemy za uwagę!
Quantile hedging

Quantile hedging - czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyc opcje

Transkrypt

Podobne dokumenty

INFORMATOR - ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA KRAWIEC

krawiec wiktoria

KATEGORIA: gimnazjum Lp. Imię Nazwisko Tytuł wykonywanego

y - Ekonometryczne modele nieliniowe

KRAWIEC

Walutowe instrumenty pochodne i zarządzanie ryzykiem

austria – krawiec / krawcowa odzieży męskiej

lekcja 22-23