Egzamin

Egzamin z Algorytmicznych Aspektów Teorii Gier
23/01/2013
Rozwi¡zania prosz¦ przesyªa¢ w terminie do 6 lutego, do godziny 18:00. Rozwi¡zania powinny zosta¢
wysªane e-mailem na adresy [email protected] oraz [email protected]. Rozwi¡zania
prosz¦ skªada¢ jedynie w postaci elektronicznej .pdf, r¦kopisy oraz skany nie b¦d¡ przyjmowane. W
przypadku zadania 5 nale»y nadesªa¢ program.
Zasady punktacji.
Prosimy wybra¢ maksymalnie 3 zadania.
Zadania s¡ punktowane równo w skali
od 0 do 1 punktu. Osoby, które uzyskaj¡ 1 punkt otrzymaj¡ ocen¦ 3. Osoby, które uzyskaj¡ 2 punkty,
otrzymaj¡ ocen¦ 4. Osoby, które uzyskaja 3 punkty, otrzymaj¡ ocen¦ 5. Za rozwi¡zania dodatkowych pyta«
i problemów mo»na w ka»dym zadaniu otrzyma¢ dodatkowe
zasadnicz¡ cz¦±¢ zadania jest wi¦ksza ni»
0.5
0.5
pod warunkiem »e punktacja uzyskana za
punkta.
Osoby, które w terminie do 6 lutego nie zalicz¡ cwicze« mog¡ uczestniczy¢ w egzaminie, ale musz¡
dodatkowo odda¢ kompletne rozwi¡zania dwóch zada«.
Uwaga.
Przez kompletne rozwi¡zanie zadania
rozumiemy rozwi¡zanie cz¦±ci podstawowej zadania, bez dodatkowych pyta« i problemów.
Zadanie 1.
Rozwa»amy gr¦ na kwadratowej planszy o wymiarach 100 na 100.
w lewym dolnym rogu. Pole
(99, 99)
Pole
(0, 0)
mie±ci si¦
mie±ci si¦ w prawym górnym rogu. Pierwsza wspóªrz¦dna oznacza
wiersz, druga kolumn¦. Na planszy znajduj¡ si¦ dwa czarne hetmany. W pierwszej rundzie Juliusz wybiera
jednego z hetmanów i przemieszcza go w dóª lub w lewo lub po skosie w dóª i jednocze±nie w lewo. Innymi
sªowy, o ile wybrany przez Juliusza hetman znajduje si¦ na polu
•
•
•
zmniejszenie wspóªrz¦dnej
zmniejszenie wspóªrz¦dnej
dopuszczalne sa nastepuj¡ce ruchy
x,
y,
jednoczesne zmniejszenie wspóªrz¦dnych
pozycji
(x, y),
x
i
y
o pewn¡ licz¦
k,
czyli przej±cie z pozycji
(x, y)
do
(x − k, y − k).
Nast¦pnie Zygmunt wykonuje analogiczny ruch, to znaczy wybiera jednego z hetmanów i przesuwa go
zgodnie z powy»szymi ograniczeniami. Celem gry jest zbicie hetmana. Tak jak w szachach, zbicie polega
na wykonaniu takiego ruchu, »e w jego efekcie przesuwany przez nas hetman znajdzie sie na tym samym
polu, co hetman, który nie jest przez nas przesuwany. Juliusz zawsze rozpoczyna gr¦. W ka»dej rundzie
gracze na nowo decyduj¡, którym hetmanem graj¡. Dla nast¦puj¡cych pocz¡tkowych poªo»e« hetmanów
rozstrzygnij, który z graczy ma strategi¦ wygrywaj¡c¡.
(1)
(2)
(37, 52), (93, 95),
(13, 99), (49, 93).
Je±li Juliusz ma strategi¦ wygrywaj¡c¡ z której± z tych pozycji, podaj pierwszy ruch przykªadowej strategii.
Odpowied¹ starannie uzasadnij.
Zadanie 2. Rozwa»amy gr¦ na arenie
(P osE , P osA , M ov)
z funkcj¡
rank : P os → {0, 1},
w której Adam
wygrywa niesko«czon¡ rozgrywk¦, je±li 3 razy pod rz¡d pojawi si¦ ta sama etykieta.
(1) Udowodnij, »e dla dowolnej pozycji, jeden z graczy ma strategi¦ wygrywaj¡c¡.
(2) Czy mo»emy zaªo»y¢, »e jest to strategia pozycyjna?
Je±li nie (dla którego± z graczy), oszacuj
rozmiar potrzebnej pami¦ci.
(3) Podaj algorytm, znajduj¡cy rozbicie na zbiory pozycji wygrywaj¡cych Adama i Ewy.
G = (V, E), którego
F, B , przy czym G z kraw¦dziami F stanowi drzewo, natomiast kraw¦dzie
(v, w) ∈ B speªniaj¡ warunek, »e w znajduje si¦ na ±cie»ce z korzenia do v .
Dana jest funkcja rank : V → ω oraz podziaª wierzchoªków na VE , VA wierzchoªki Ewy i wierzchoªki
Adama. Znajd¹ wielomianowy algorytm wyznaczaj¡cy zbiór wierzchoªków G, z których Ewa ma strategie
wygrywaj¡c¡ w grze parzysto±ci (VE , VA , E, rank).
Problem 3.
Dane jest sko«czone drzewo z p¦telkami, to znaczy graf skierowany
kraw¦dzie podzielone s¡ na zbiory
Problem 4. J¦zyk
L
skªada si¦ ze sko«czonych grafów
funkcj¡ na kraw¦dziach
E
G = (V = V∃ ∪ V∀ , E, rank)
dla Ewy o tej wªasno±ci, »e dla ka»dego cyklu w rozgrywce zgodnej z
na cyklu, a liczba
2i + 1
Polecenie dodatkowe.
takich, »e
rank
jest
σ
i taka, »e 2i wyst¦puje
o warto±ciach w liczbach naturalnych, przy czym istnieje strategia pozycyjna
nie wyst¦puje na cyklu. Wyka», ze j¦zyk
L
σ
istnieje liczba
jest NPzupeªny.
Zaªó»my, »e klasa NP jest ró»na od klasy co-NP. Czy powy»szy j¦zyk
L
mo»na
w czasie wielomianowym zredukowa¢ do problemu, czy Ewa ma strat¦gi¦ wygrywaj¡c¡ w grze parzysto±ci?
(Zauwa», »e gra
Problem 5.
G
opisana powy»ej jest szczególnym przypadkiem gry Mullera.)
Gr¦ w BlindGo rozgrywa si¦ na planszy do gry w Go o wymiarach 4 na 4.
Eliza przez poªo»enie jednego czarnego kamienia.
Gr¦ zaczyna
Bolesªaw próbuje poªo»yc biaªy kamie« na dowolnym
niezaj¦tym polu nie wiedz¡c, gdzie znajduje si¦ kamie« poªo»ony przez Eliz¦. Je±li to si¦ nie uda, Bolesªaw
1
2
próbuje a» do skutku. Je±li si¦ uda, to kolejny ruch wykonuje Eliza wedªug analogicznych zasad (ewentualne pomyªki i ponawiane próby nie maj¡ konsekwencji dla wyniku gry). W kolejnych ruchach Eliza i
Bolesªaw dokªadaj¡ kolejne kamienie, przy czym ka»de z nich ma swoj¡ kopi¦ planszy i cz¦±ciow¡ wiedz¦
uzyskan¡ o poªo»eniu kamieni przeciwnika tylko na drodze prób i bªedów.
Celem gry jest otoczenie grupy kamieni przeciwnika, przy czym przez otoczenie rozumie si¦, »e nasz
przeciwnik nie mo»e ju» doda¢ »adnego kamienia do danej grupy kamieni.
Mo»liwe jest, »e po danym ruchu na planszy b¦dzie otoczona zarówno grupa kamieni biaªych, jak i grupa
kamieni czarnych. Wtedy zwyci¦zc¡ zostaje gracz, który ostatni wykonywaª ruch.
Polecenie.
Napisz program graj¡cy w BlindGo.
przedmiotu.
Po dodatkowych ustaleniach mo»liwe jest przedstawienie programu w innym j¦zyku.
Odpowiedni interfejs w C++ podany jest na stronie
Pro-
gramy b¦d¡ uczestniczyªy w turnieju, przy czym autorzy wszystkich poprawnych programów otrzymuj¡
0.5
punkta, natomiast autorzy pierwszych 12 programów otrzymaj¡ wi¦cej punktów, zale»nie od zaj¦tego
miejsca:
programy
pierwsze trzy programy otrzymaj¡ 1 punkt, kolejne trzy programy
0.7
punkta, kolejne trzy programy
Polecenie dodatkowe.
0.6
0.85
punkta, kolejne trzy
punkta.
Wylicz w przybli»eniu warto±¢ gry z perspektywy Elizy, czyli gracza wykonu-
j¡cego pierwszy ruch. Z wykªadu wiemy, »e gra BlindGo ma pewn¡ warto±¢
η , która oznacza asymptotyczny
zysk lub strat¦ w szeregu partii w BlindGo, przy zaªo»eniu, »e gracze graj¡ optymalnie i wypªata po pojedynczej partii wynosi
−1
je±li Eliza przegrywa z Bolesªawem i
1
je±li Eliza wygrywa z Bolesªawem.
Je±li przeciwnik gra nieudolnie, to oczywi±cie mo»emy sie spodziewa¢ wi¦kszego zysku niz
η
nawet bez
posªugiwania si¦ strategi¡ optymaln¡, ale strategia optymalna daje gwarancj¦, »e w ±redniej uda nam si¦
ugra¢ warto±¢
η.
Precyzyjne wyliczenie
η
dla BlindGo mo»e by¢ do±¢ trudnym zadaniem, ale rozs¡dne
przybli»enie byªoby mile widziane przy czym minimalne oczekiwanie jest takie, »eby stwierdzi¢ czy
η
jest
liczb¡ dodatni¡, czy ujemn¡.
Zadanie 6. Rozwa»amy sie¢ dróg w ksztaªcie sze±cianu:
◦O
◦
x; O
xx
x
xx
;◦
xx
xx
x
x
start
przejecha¢ ze startu
/◦
O
/; ◦
ww
w
w
ww
1
Zakªadamy, »e
N
graczy chce
/ meta
w; O
w
ww
w
w
x
/◦
do mety .
Interesuje nas koszt przejazdu, przy czym
koszt przejazdu ka»d¡ pionow¡ kraw¦dzi¡ jest 1, natomiast koszt przejazdu poziom¡ kraw¦dzi¡ jest
m
N , gdzie m jest liczb¡ graczy, którzy jad¡ t¡ kraw¦dzi¡ w tym samym czasie.
Strategi¡ ka»dego gracza jest wybór trasy, np.
zmienny i wynosi
◦O
; ◦O
xx
x
x
xx
x 7?
xxxx
xxxxx
start
1
/ meta
; KS
ww
w
w
w
w
x
/◦
O
◦
/◦
+3 ◦
w;
w
ww
ww
Oczywi±cie, ka»dy gracz chce zminimalizowa¢ swój koszt. Czy istniej¡ czyste punkty równowagi Nasha?
Jaki jest minimalny ±redni koszt przejazdu (przy pewnym prolu), a jaki jest najgorszy koszt w punktach
równowagi Nasha?
Polecenie dodatkowe.
Spróbój rozwa»y¢ bardziej skomplikowany wariant gry, w którym, jad¡c dan¡
kraw¦dzi¡, gracz dowiaduje si¦, ilu uczestników jedzie razem z nim i w zale»no±ci od tego, mo»e zmieni¢
tras¦. Czy ma to wpªyw na koszt przejazdu?