Matematyka Dyskretna, 2 semestr, kierunek: informatyka

Matematyka Dyskretna, 2 semestr, kierunek: informatyka
KOLOKWIUM NR 1, 15 kwietnia 2012
Za peªne rozwi¡zanie poszczególnych problemów student mo»e otrzyma¢ punkty w
ilo±ci podanej przed tre±ci¡ ka»dego zadania (maksymalnie: 20 punktów).
Zad.1. [ 4 punkty ] Oznaczy¢ kraw¦dzie grafu skierowanego bez p¦tli naszkico-
wanego na rysunku nr 1. Przy ich u»yciu poda¢ macierz incydencji oraz wypisa¢:
zbiór wierzchoªkówW ;
zbiór kraw¦dzi
E;
funkcj¦ struktury
2
ϕ : E → VW
informuj¡c¡ jakie wierzchoªki s¡ poª¡czone przez
poszczególne ªuki (tj. kraw¦dzie skierowane).
Zad.2. [ 5 punktów ] Dla grafu nieskierowanego podanego na rysunku nr 2 znale¹¢
ilo±¢ tras trójkraw¦dziowych ª¡cz¡cych wierzchoªek 1
z
3. Ponadto wskaza¢
przykªad cyklu Hamiltona dla tego grafu. Czy dla podania odpowiedzi do tych polece« konieczne jest posªugiwanie si¦ nazwami kraw¦dzi?
Zad.3. [ 4 punkty ] Naszkicowa¢ graf sze±cianu (kostki
Q3 )
o standardowych
3
{0, 1} . Na uzyskanym szkicu zaznaczy¢ wagi kraw¦dzi przyjmuj¡c,
»e je±li kraw¦d¹ k ª¡czy wierzchoªek (w1 , w2 , w3 ) z wierzchoªkiem (u1 , u2 , u3 ), to ma
wierzchoªkach
wag¦ dan¡ wzorem:
W (k) =
3
X
wj +
j=1
3
X
uk
k=1
Ponadto, znale¹¢ drog¦ o najmniejszej sumie wag kraw¦dzi, ª¡cz¡c¡ wierzchoªek
(0, 1, 0)
z wierzchoªkiem
(1, 0, 1).
Zad.4. [ 4 punkty ] Pokaza¢ przez indukcj¦, »e dla
n−1
X
k=1
k · (k + 1) =
n = 1, 2, 3, ...
mamy:
(n − 1) · n · (n + 1)
3
Zad.5. [ 3 punkty ] Obliczy¢ ilo±¢ podzbiorów zbioru
maj¡ co najwy»ej 2 liczby podzielne przez 3.
{1, 2, 3, . . . , 99, 100}, które