Obliczanie struktury pasmowej jednowymiarowego krysztalu

Obliczanie struktury pasmowej
jednowymiarowego kryształu
z potencjałem prostokątnym
Mariusz Adamski
Plan prezentacji:
1.
2.
3.
4.
Przybliżenie elektronów prawie swobodnych.
Rozwinięcie potencjału w szereg Fouriera.
Szkic algorytmu.
Uzyskane rezultaty
Przybliżenie elektronów prawie swobodnych
W przybliżeniu elektronów prawie swobodnych zakłada się, że
funkcje falowe elektronów są dane przez superpozycję fal płaskich.
Takie przybliżnie działa dopóty, dopóki periodyczny potencjał
jest słaby i posiada ograniczoną liczbę wektorów sieci odwrotnej.
Model ten, podobnie jak model elektronów swobodnych nie bierze
pod uwagę oddziaływań między elektronami.
Przybliżenie elektronów prawie swobodnych
Niech U (x) oznacza energię potencjalną elektronu w sieci
jednowymiarowej o stałej a. Jeśli rozwiniemy U (x) w szereg
Fouriera sumowany na wszystkie wektory sieci odwrotnej
G (= 2π/a)
X
U (x) =
UG eıGx ,
G
możemy hamiltonian zapisać jako
X
}2 d2
Hˆ = −
+
UG eıGx
2m dx2
G
Przybliżenie elektronów prawie swobodnych
Następnie możemy rozwinąć funkcję falową na fale płaskie:
ψ(x) =
X
Ck eıkx .
k
Teraz równanie Schödingera przybiera postać
!
X
X
X
}2 d2
+
−
UG eıGx
Ck eıkx = E
Ck eıkx .
2
2m dx
G
k
k
Przybliżenie elektronów prawie swobodnych
Taka postać prowadzi nas do
XX
X
}2 k 2 X
Ck eıkx +
UG Ck eı(G+k)x = E
Ck eıkx .
2m k
G k
k
Wprowadźmy oznaczenia: λk =
λk
X
Ck eıkx +
k
XX
k0
G
λk Ck +
X
}2 k 2
2m ,
k 0 = G + k;
0
UG Ck0 −G eık x = E
X
Ck eıkx
k
!
X
k
G
UG Ck−G eıkx =
X
k
E Ck eıkx .
Przybliżenie elektronów prawie swobodnych
Z ostatniej równości wynika, że
∀k (λk − E )Ck +
X
UG Ck−G = 0.
G
Powyższy układ równań na współczynniki Ck ma nietrywialne
rozwiązania tylko wtedy, gdy
..
..
..
..
.
.
.
.
··· λ
−
E
U
U
1
2
k−G
U−1
λk − E
U1
···
···
U−2
U−1 λk+G − E
.
..
..
..
.
.
· · · · · · = 0.
· · · . . .
Przybliżenie elektronów prawie swobodnych
Zatem diagonalizując macierz
..
..
...
.
.
 .
··· λ
U2
k−G U1


 · · · U−1 λk U1

 · · · U−2 U−1 λk+G

..
..
..
.
.
.

..


···


· · ·  ≡ Hˆ

···

..
.
otrzymamy dozwolone wartości energii E , a wektory własne
złożone ze współczynników {Ck−G }, pozwolą znaleźć funkcje
własne odpowiadające danym wartościom E .
Rozwinięcie potencjału w szereg Fouriera
Dla wygody zdefiniujemy potencjał U (x) jako
(
U (x) =
V0
0
gdy
gdy
x ∈ [− a4 + na; a4 + na)
; n ∈ Z.
x ∈ [ a4 + na; 43 a + na)
Rozwinięcie potencjału w szereg Fouriera
Dzięki takiemu przedstawieniu, w rozwinięciu pojawią się tylko
funkcje cosinus:
4
2Un =
a
U (x) =
Z
X
n
a
2
− a2
2π
4V0
π
sin n
U (x) cos nxdx =
a
πn
2
2Un cos Gnx =
X
n
Un eıGnx + e−ıGnx
Rozwinięcie potencjału w szereg Fouriera
Jednakże twierdzenie o rozwijalności funkcji w szereg Fouriera
gwarantuje zbieżność szeregu do wartości funkcji jedynie
w punktach różniczkowalności. W istocie w punktach nieciągłości
pojawia się tzw. fenomen Gibbsa.
Rozwinięcie potencjału w szereg Fouriera
Fenomen Gibbsa może być usunięty dzięki współczynnikom
σ Lanczosa, zdefiniowanym jako sinc nπ
m , gdzie funkcja
def
(
sinc x =
sin x
x
1
gdy
gdy
x 6= 0
.
x=0
Jeśli szereg zapiszemy jako
U (x) =
m−1
X
n=1
fenomen Gibbsa znika.
sinc
nπ
2Un cos(Gnx),
m
Szkic algorytmu
Obliczenia dogodnie jest prowadzić w jednostkach atomowych,
gdzie m. in. masa elektronu m oraz } są równe 1. Jednostką
odległości w takim układzie jednostek jest promień Bohra
a0 ≈ 5, 292 · 10−11 m, a jednostką energii jest tzw. energia Hartree
Eh = 2Ry ≈ 27, 211 eV.
Dzięki temu unikniemy błędów utraty precyzji związanych
z dużymi różnicami rzędów wielkości.
Szkic algorytmu
Dla otrzymania struktury pasmowej należy policzyć wartości
własne hamiltonianu w bazie fal płaskich dla interesujących nas k:
..
..
..
.
.
.
 .
··· λ
U2
k−G U1


Hˆ =  · · · U−1 λk U1

 · · · U−2 U−1 λk+G

..
..
..
.
.
.

..


···


···

···

..
.
Szkic algorytmu
Pętla obliczeniowa może wyglądać np. tak:
1: dk ← 2G/n
2: for i = 0 to n do
3:
k ← i · dk − G
4:
buduj hamiltonian(k )
5:
6:
7:
8:
9:
diagonalizuj()
for all E ∈ wartości własne do
drukuj(k ,E )
end for
end for
Szkic algorytmu
Funkcje własne dla ustalonego k można otrzymać dzięki
wektorom własnym; i-ta funkcja własna będzie wtedy postaci
(i)
ψk =
X
(i)
Ck−G eı(k−G)x ,
G
(i)
gdzie {Ck−G } są składowymi i-tego wektora własnego.
Wektory oraz wartości własne można policzyć wykorzystując
kolejno algorytmy redukcji Hauseholdera (sprowadzając do
postaci trójdiagonalnej) i QL z niejawnymi przesunięciami
(diagonalizując macierz trójdiagonalną).
Uzyskane rezultaty
Przykładowa struktura pasmowa dla stałej sieci
a = 20a0 ≈ 10, 6 Å, amplitudy potencjału V0 = 0, 2Eh ≈ 5, 4 eV
i 10 harmonicznych.
Uzyskane rezultaty
Kilka pierwszych funkcji własnych na granicy strefy Brillouina dla
tej samej konfiguracji:
Bibliografia:
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
Wstęp do fizyki ciała stałego – C. Kittel
Fizyka ciała stałego – N. W. Ashcroft, N. D. Mermin
Numerical Recipes in C – W. H. Press et al.
Solid State Physics – C. Nayak
Z mikrokomputerem w świat fizyki półprzewodników
– pod red K. Jezierskiego
Kod źródłowy programu jest dostępny na
https://opensvn.csie.org/marian/pasma, lub
http://nplot.republika.pl/inne/zabawki.html (również binaria dla Windows—).