Zestaw 4 - Funkcja liniowa, równania i - Korepetycje

Zestaw 4 - Funkcja liniowa, równania i nierówności liniowe
1. Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci, uwzględniając podane założenie.
(a) |x − 2| + 2|x + 4|, x ∈ (2, +∞)
(b) |x − 2| + 2|x + 4|, x ∈ (−4, 2)
(g) |x + 1| − |x + 3|, x ∈ (−1, +∞)
(h) |x − 2| − |x + 5|, x ∈ (−5, 2)
(c) |x − 2| + 2|x + 4|, x ∈ (−∞, −4)
(i) 3|x + 2| − 2|x − 4|, x ∈ (−∞, −2)
(d) |3 − x| + |x − 1|, x ∈ (−∞, 1)
(e) |3 − x| + |x − 1|, x ∈ (1, 3)
(f) |3 − x| + |x − 1|, x ∈ (3, +∞)
(j) 3|x − 3| − |6 − 2x|, x ¬ 3
(k) 4x − |3 + x| − |x + 1|, x ∈ (−∞, −3)
2. Napisz wzór funkcji liniowej wiedząc, że:
(a) miejscem zerowym funkcji jest liczba 2 oraz f (3) = 3;
(b) miejscem zerowym funkcji jest liczba 4 i wykres funkcji przecina oś OY w punkcie A(0, −12);
(c) miejscem zerowym funkcji jest liczba 0 i wartość funkcji dla argumentu −4 wynosi −28.
3. Napisz wzór funkcji, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji:
(a) y = 2x + 1 i przechodzi przez punkt A = (1, 5);
(b) y = −x + 3 i przechodzi przez punkt B = (0, 5);
(c) y = − 12 x + 4 i przechodzi przez punkt C = (4, 0);
4. Napisz wzór funkcji, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji:
(a) y = 2x + 3 i przechodzi przez punkt A = (2, 5);
(b) y = − 13 x +
√
2 i przechodzi przez punkt B = (−1, 1);
√
√
(c) y = − 3x + 1 i przechodzi przez punkt C = (6, 3 3);
5. Wyznacz te wartości parametru m, dla których miejscem zerowym funkcji jest podana obok
liczba.
(a) f (x) = (3m − 6)x − 4, miejsce zerowe 1 13 ;
(b) f (x) = 12 (m − 3)x + 2, miejsce zerowe 2;
(c) f (x) = (m2 − 1)x − m2 , miejsce zerowe 1;
5. Wyznacz te wartości parametru m, dla których funkcja liniowa o wzorze:
(a) f (x) = (3 − |m + 1|)x + 2 jest rosnąca;
(b) f (x) = (2 − |3 − m|)x − 1 jest malejąca;
(c) f (x) = (m2 − 4)x + 2 jest stała;
Małgorzata Nowak
1
Zestaw 4 - Funkcja liniowa, równania i nierówności liniowe
5. Narysuj wykresy funkcji i odczytaj z ich wykresów miejsca zerowe, przedziały w których
funkcja rośnie/maleje oraz przedziały, w których funkcja jest dodatnia/ujemna.
(a)
f (x) =



5


x
x < −4
dla
dla −4 ¬ x ¬ 4



−5 dla
x>4
(b)
f (x) =



x+4


dla



 x−6
dla
x¬1
−2x + 6 dla 1 < x < 5
x­5
(c)
f (x) =



x + 2 dla


x ∈ (−∞, −1)



x − 2 dla
x ∈ (1, +∞)
−x
dla
x ∈ < −1, 1 >
6. Rozwiąż równania.
(a) 11(x − 1) = 4(x + 2)
(h) (x + 3)2 − (x − 5)2 = 16(x − 1)
(b) 22x + 5(3 − x) = 4(1 − x) − 7(2 − x)
(i)
(c) 3x + 4(3 − x) − (3x + 2) = 3
(j) x = 1 −
(d) 4(x + 7) − 7(2x − 3) = 8(x − 5)
(k) 3x + πx = −π − 3
(e) 9 − [8 − (7 − x)] = 2
√
√
(l) 3x − 3 = 2 2x + 2 2
3(1,2−x)
10
√
(f) 12 − 2(x − 1)2 = 4(x − 2) − (x − 3)(2x − 5)
(m) x +
(g) 2x2 +(x+5)2 −2(x+7)2 = 2(3x−72, 5)+(x−6)2
(n) (x +
−
√
5+7x
4
=x+
9x+0,2
20
−
4(13x−0,6)
5
2x
2 = π − 3x
√
2)(1 −
√
2) = −1
6. Rozwiąż nierówności.
5(x−1)
6
2(x+1)
3
(a) 6(2x + 1) − (4 + x) > 5(x − 2)
(f)
(b) 7(3 − 4x) − 2x > 3(2x − 5)
(g) (x − 4)2 + 6 < x2 + 2x + 2
(c) (x − 2)2 + 3x < (x + 2)2 + 2x − 3
(h) 2x −
(d) 3x − [7 − (5 − 4x)] − (x − 8) > 0
√
(i) 2 5x < 2x + 1
(e) (x − 1)2 + 7 > (x + 4)2
(j) 3x + 3 6 πx + π
Małgorzata Nowak
−1>
3x+1
3
>2+
5−4x
2
2
Zestaw 4 - Funkcja liniowa, równania i nierówności liniowe
7. Zadania różne. Rozwiąż.
(a) Odległość z miasta A do B samochód osobowy przejechał z prędkością 70km/h, zaś z powrotem trasę
tę pokonał z prędkością 50km/h. Jaka była średnia prędkość samochodu?
(b) Samochód przejechał trasę z A do B w ciągu 1 godziny. Pół godziny jechał z prędkością 68km/h,
pozostałe zaś 30 minut z prędkością 42km/h. Jaka była średnia prędkość samochodu na trasie z A do
B?
(c) Pompa w ciągu 8 godzin wypompowuje 54 800 litrów wody. Oblicz ile litrów wypompuje ta pompa
w ciągu godziny. Następnie policz ile litrów wody wypompuje w ciągu 12,5 godziny. Napisz wzór
wyrażający liczbę litrów wypompowanej wody w ciągu x godzin.
(d) Samochód jedzie ze stałą prędkością 64km/h. Ile kilometrów przejedzie w ciągu 25 minut? W jakim
czasie przebędzie drogę 153,6km? Napisz wzór wyrażający długość drogi w kilometrach, jaką przebył
samochód, jadąc z tą samą stałą prędkością w czasie t godzin.
(e) Zmieszano 2 kg stopu o zawartości 25% miedzi 3 kg stopu o zawartości 40% miedzi. Ile procent miedzi
zawiera otrzymany stop?
(f) Kawałek stopu miedzi z ołowiem waży 12 kg i zawiera 45% miedzi. Ile kilogramów czystego ołowiu
należy stopić z tym stopem, aby nowy stop zawierał 30% miedzi?
(g) Zmieszano 3 litry 7% roztworu soli z 6 litrami 4% roztworu soli. Jakie jest stężenie soli w mieszaninie?
(h) Kolumna demonstrantów porusza się po ulicy z prędkością 3km/h. Motocyklista jadący z prędkością
15km/h potrzebował 2 minut do tego, aby przejechać od początku do końca kolumny. Oblicz długość
kolumny demonstrantów.
(i) Przed dwoma laty ojciec był 8 razy starszy od syna, a za 14 lat będzie od niego 2,4 razy starszy. Ile
lat ma obecnie ojciec, a ile syn?
(j) W nieparzystej liczbie trzycyfrowej podzielnej prze 5 suma cyfr setek i dziesiątek wynosi 9. Wyznacz
tę liczbę, jeśli wiadomo, że po zamianie miejscami cyfry dziesiątek i jedności otrzymamy liczbę o 18
mniejszą od początkowej.
(k) Motocyklista poruszający się ze stałą prędkością przejechał drogę z miasta A do miasta B w ustalonym
czasie. Jeśli jechałby z prędkością o 6km/h większą, to czas przejazdu byłby o 1 godzinę krótszy. Gdyby
zaś jego prędkość była o 5km/h mniejsza, to czas przejazdu byłby o 1 godzinę i 12 minut dłuższy. Z
jaką prędkością jechał motocyklista i w jakim czasie przebył drogę z A do B? Jak daleko jest z A do
B?
Małgorzata Nowak
3