Prawo GAUSSA

Powierzchnia Gaussa
Właściwości :
- jest to powierzchnia hipotetyczna – matematyczna konstrukcja myślowa,
- jest dowolną powierzchnią zamkniętą – w praktyce powinna mieć kształt
związany z symetrią pola,
- powierzchnia Gaussa przechodzi przez punkt, w którym obliczamy natężenie
pola.
- w każdym punkcie powierzchni jest określone natężenie pola
elektrycznego
- wektory E mają taka samą wartość
- skierowane na zewnątrz
Aby obliczyć wypadkowy ładunek dodatni, objęty przez powierzchnię,
należy wiedzieć ile pola elektrycznego przenika przez powierzchnię
Strumień pola elektrycznego
Dokładną definicję strumienia pola elektrycznego,
przenikającego przez zamkniętą powierzchnię otrzymujemy
przez podejście do coraz mniejszych pól powierzchni kwadratów
Strumień elektryczny F przenikający przez
powierzchnię Gaussa jest proporcjonalny do całkowitej
liczby linii pola elektrycznego, przechodzącego przez tę powierzchnię
Prawo Gaussa
 0F  qwew
 
 0  E  dS  qwew
Ładunek qwew – wypadkowy ładunek
Słuszne gdy ładunek znajduje się w próżni lub w powietrzu
Prawo Gaussa a prawo Coulomba
Należy policzyć całkę po powierzchni S, E jest stałe
Całka jest równa sumie po polach powierzchni ds. elementów sfery i jest równa
polu powierzchni sfery
Zastosowanie prawa Gaussa –
symetria walcowa
Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego
w odległości r od pręta?
Wybieramy powierzchnię walca o promieniu r
i wysokości h, współosiowego z prętem.
Powierzchnia musi być zamknięta.
Pole powierzchni bocznej walca 2πrh
Zastosowanie prawa Gaussa –
symetria płaszczyznowa
1. Wybieramy powierzchnię Gaussa
2. Powierzchnia musi być zamknięta
Z symetrii wynika, że E musi być prostopadłe
do płyty i do denek
Ładunek jest dodatni !!!
Linie pola nie przecinają powierzchni bocznej,
więc strumień pola przez tę część jest równy zero
Pojemność elektryczna
Pojemność elektryczna
q  CU
Obliczanie natężenia pola
elektrycznego
q jest ładunkiem obejmowanym przez powierzchnię Gaussa, a całka jest wypadkowym
strumieniem elektrycznym przez tę powierzchnię. Założymy, że rozważana powierzchnia
Gaussa będzie taka, że jeśli przechodzi przez nią strumień elektryczny, to natężenie pola
Ma na niej jednakową wartość a wektory E i dS są do siebie równoległe
Obliczanie różnicy potencjałów
Różnica potencjałów między okładkami kondensatora jest związana z natężeniem pola
elektrycznego E
Całkę liczymy po dowolnym torze, który zaczyna się na jednej okładce a kończy na drugiej.
Tor wzdłuż linii pola elektrycznego, od okładki ujemnej do okładki dodatniej.
Iloczyn EdS = -Eds
Kondensator płaski
Okładki są tak duże i blisko siebie, że można
zaniedbać zakrzywienie linii pola przy
krawędziach okładek i traktować E jako stałe
Kondensator cylindryczny
Powierzchnia Gaussa:
powierzchnia walca zamkniętego denkami
o długości L i promieniu r
Pole zakrzywionej części pow. Gaussa
4prL
-
-
a b
b R
r r
-
+ ++
+ +
-
-
-
-
Należy policzyć całkę po powierzchni S, E jest stałe
Całka jest równa sumie po polach powierzchni ds. elementów sfery i jest równa
polu powierzchni sfery
Zastosowanie prawa Gaussa –
symetria sferyczna
S2
S1
q
Kondensator sferyczny
Kondensatory połączone
równolegle
-C1
+
C1,q1
+
-
V  V1  V2
C2
C2, q2
V
+ -
V
+
-
Q  Q1  Q2  C1  V1  C2  V1  C1  C2  V
Q
C
 C1  C2
V
N
C  C1  C2  C3 ...  C N   Ci
i 1
Jeśli różnica potencjałów U jest przyłożona do kilku kondensatorów połączonych
równolegle, to taka sama różnica potencjałów U występuje na każdym
kondensatorze. Całkowity ładunek q, zgromadzony w układzie jest sumą ładunków,
zgromadzonych na poszczególnych kondensatorach.
Kondensatory połączone równolegle można zastąpić równoważnym kondensatorem
o takim samym całkowitym ładunku q i takiej samej różnicy potencjałów U, jak dla
kondensatorów układu.
Kondensatory połączone
szeregowo
C1
+
C2
-
+
C1,Q1 C2, Q2
V
+ -
V1 
Q
;
C1
V2 
Q
C2
+ -
V
ΔV  ΔV1  ΔV2
Q
Q Q


Ceq C1 C 2

1
1
1


Ceq C1 C 2
N
1
1
1
1
1


 ... 

Ceq C1 C2
C N i 1 Ci
Jeśli różnica potencjałów U jest przyłożona do kilku kondensatorów połączonych
szeregowo, to kondensatory mają identyczne ładunki q. Suma różnic potencjałów na
wszystkich kondensatorach jest równa przyłożonej różnicy potencjałów U.
Pomiar małych deformacji przy użyciu kondensatora płaskiego
C1 
Kondensator
powietrzny
ε 0S
d
ΔC  C 2  C1 
ΔC 
Δd  d
próbka
C2 
ε 0S
d - d
ε 0S
ε S
 d  Δd  d 

 0  ε 0S
d
d  Δd
 dd  Δd 
ε 0S Δd
ε S Δd
 0 2
dd  Δd
d
czułość rośnie
~
1
d2
ΔC d 2
Δd 
ε 0S
Dla C ~ 10 2 pF , d ~ 0,5mm, 2r ~ 5cm
d ~ 10 7  10 8
20
Metoda
monitorowanie
poziomu
cieczy, szczególnie
produktów z tendencją
Pomiarumożliwiająca
poziomu cieczy
przy użyciu
kondensatora
cylindrycznego
do tworzenia osadów, w aplikacjach wysokotemperaturowych/ wysokociśnieniowych oraz
w procesach szybkozmiennych.
C  C1  C2
C1 
2π ε x
r
ln 2
r1
C2 
2π ε 0 L  x 
r
ln 2
r1
Zalety:
- bardzo krótki czas odpowiedzi pomiarowej
- wysoka dokładność pomiaru
- detekcja rozdziału faz cieczy niezależnie od obecności
emulsji i zawiesin
21
Energia zmagazynowana w polu
magnetycznym
Praca, potrzebna do przemieszczenia całkowitego ładunku q kondensatora
Praca jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej
Energia potencjalna naładowanego kondensatora jest zmagazynowana w polu
elektrycznym między okładkami kondensatora
Model pasmowy - metale
E
Ef
Conduction band
Valence band
(completely full)
Model pasmowy -półprzewodniki
Model pasmowy -półprzewodniki
Model pasmowy - izolatory
E
Conduction band
(completely empty)
Ef
Eenergy gap
Valence band
(completely full)
Kondensator z dielektrykiem
Kondensator z dielektrykiem
Pojemność wzrasta o czynnik r
Konieczność ograniczenia różnicy potencjałów, jaka może być przyłożona do okładek, do
pewnej wartości Umax, zwanej napięciem przebicia.
Jeśli tę wartość istotnie przekroczymy, to nastąpi przebicie materiału dielektrycznego i
między okładkami powstanie przewodząca ścieżka.
Każdy materiał dielektryczny ma charakterystyczną wytrzymałość na przebicie, która jest
maksymalną wartością natężenia pola elektrycznego, jakie dielektryk może wytrzymać bez
przebicia.
Atomy i cząsteczki w polu
elektrycznym
1. Dielektryki polarne. Cząsteczki pewnych dielektryków, np. wody, mają trwałe elektryczne
momenty dipolowe. W takich materiałach (zwanych dielektrykami polarnymi) dipole elektryczne
mają tendencję do ustawiania się wzdłuż zewnętrznego pola elektrycznego. Wskutek swego
przypadkowego ruchu termicznego cząsteczki ciągle się potrącają nawzajem, a więc
uporządkowanie nie jest całkowite, ale staje się coraz pełniejsze wraz
ze wzrostem wartości natężenia przyłożonego pola (lub zmniejszeniem temperatury, a stąd
liczby zderzeń). Uporządkowane dipole elektryczne wytwarzają pole elektryczne o natężeniu
skierowanym przeciwnie do przyłożonego pola i mniejszej wartości.
Atomy i cząsteczki w polu
elektrycznym
2. Dielektryki niepolarne. Bez względu na to, czy cząsteczki mają trwałe
elektryczne momenty dipolowe, czy też nie, po umieszczeniu w zewnętrznym
polu elektrycznym zyskują indukowane momenty dipolowe. Dzieje się tak,
ponieważ zewnętrzne pole ma tendencję do „rozciągania" cząsteczek i
przesuwa nieco środki ładnku dodatniego i ujemnego.
Dielektryki – obraz mikroskopowy
indukowane ładunki powierzchniowe na ścianach płyty wytwarzają pole
elektryczne o natężeniu E', skierowanym przeciwnie do natężenia
przyłożonego pola elektrycznego E0. Wypadkowe natężenie pola E
wewnątrz dielektryka (suma wektorowa natężeń E0 i E') ma kierunek
natężenia E’ ale ma mniejszą wartość.
Dielektryki i prawo Gaussa
Całkowity ładunek otoczony przez powierzchnię Gaussa wynosi q-q’
 
 0  E  dS   0 ES  q  q'
E
q  q'
 0S
E
q  q' 
Ładunek swobodny
Ładunek indukowany
q
r
E0
r

q
 r 0 S
Dielektryki i prawo Gaussa
1. Całka strumienia zawiera obecnie rE, a nie E. (Wektor 0rE jest nieraz nazywany indukcją
elektryczną D).
2. Ładunek q otoczony przez powierzchnię Gaussa jest teraz tylko ładunkiem
swobodnym.
3. stała 0 została zastąpiona przez r0
Ładunki w ruchu
Chociaż prąd elektryczny jest strumieniem poruszających się ładunków, to nie wszystkie
poruszające się ładunki tworzą prąd elektryczny. Jeśli przez powierzchnię ma przepływać
prąd elektryczny, to musi być wypadkowy przepływ, ładunku przez tę powierzchnię.
Podane niżej dwa przykłady wyjaśniają, co mamy tu na myśli.
Elektrony swobodne (elektrony przewodnictwa) w izolowanym kawałku przewodnika
miedzianego poruszają się chaotycznie . Jeśli poprowadzimy umowną płaszczyznę przez
taki przewodnik, to elektrony przewodnictwa przechodzą przez nią w obydwu kierunkach
i stąd w przewodniku nie występuje wypadkowy przepływ ładunku i nie ma prądu
elektrycznego.
Jeśli jednak podłączymy końce przewodnika do źródła, to zakłócimy nieco przepływ w
jednym kierunku i w wyniku tego nastąpi wypadkowy przepływ ładunku, czyli przepływ
prądu elektrycznego w przewodniku.
Przepływ wody przez wąż ogrodowy jest ukierunkowanym przepływem ładunku
dodatniego (protonów w cząsteczkach wody), z szybkością rzędu kilku milionów
kulombów na sekundę. Nie ma jednak wypadkowego przepływu ładunku, ponieważ
istnieje jednoczesny przepływ ujemnego o tej samej wielkości, w tym samym kierunku.
Natężenie prądu elektrycznego
dq
I
dt
t
q   dq   Idt
0
1 amper = 1A = 1 kulomb na sekundę = 1C/s
I 0  I1  I 2
Kierunek prądu elektrycznego
Strzałka prądu jest narysowana w kierunku, w którym
poruszałyby się dodatnio naładowane nośniki, nawet jeśli
rzeczywiste nośniki ładunku są ujemne i poruszają się
w przeciwnym kierunku.
Gęstość prądu elektrycznego
Gęstość prądu elektrycznego
 
I   J  ds
Gęstość prądu elektrycznego J, ma taki sam kierunek jak prędkość poruszających
się ładunków, jeśli są dodatnie, i przeciwny kierunek, jeśli są ujemne.
Jeśli gęstość prądu J jest stała i równoległa do ds, wtedy:
I   J  ds  J  ds  Js
Jednostką gęstości prądu elektrycznego
w układzie SI jest amper na metr
kwadratowy (A/m2).
37
Prędkość unoszenia
Gdy przez przewodnik płynie prąd, elektrony w rzeczywistości poruszają się
Prędkość unoszenia
przypadkowo,
ale z prędkością unoszenia (dryfu) vd w kierunku przeciwnym do
natężenia przyłożonego pola elektrycznego, które wywołuje przepływ prądu.
Całkowity ładunek nośników, z
których każdy ma ładunek e, w
przewodniku o długości L wynosi
q  (nSL)e
gdzie n jest liczbą nośników na jednostkę objętości.
Natężenie prądu jest równe:
q nSLe
I 
 nSevd
t L / vd

I
J
vd 

nSe ne
38
Opór elektryczny
Opór elektryczny
Opór elektryczny (rezystancja) między dwoma dowolnymi punktami przewodnika
określamy przez przyłożenie różnicy potencjałów U między tymi punktami i pomiar
natężenia / powstałego prądu. Opór elektryczny R jest określony wzorem:
U
R
I
Jednostką oporu elektrycznego w układzie SI, jest om równy wolt na amper.
1 om = 1 Ω = 1 wolt na amper = 1V/A.
Opór elektryczny właściwy (rezystywność) ρ materiału:
E

J
E V / m V
 J   A / m 2  A m    m
39
Opór elektryczny
Opór elektryczny jest właściwością ciała.
Opór elektryczny właściwy jest właściwością materiału.
U
E
L
U
R
I
I
J
S
E

J
L
R
S
40
Prawo Ohma
Opór elektryczny
Prawo Ohma:
Natężenie prądu, płynącego przez przewodnik jest zawsze wprost proporcjonalne
do różnicy potencjałów, przyłożonej do przewodnika.
Element obwodu spełnia prawo Ohma, gdy jego opór nie zależy od wartości
i polaryzacji przyłożonej różnicy potencjałów.
41
Prawo Ohma
Prawo Ohma
Ruch elektronów przewodnictwa w polu
elektrycznym o natężeniu E jest więc
złożeniem ruchu, wynikającego z
przypadkowych zderzeń i ruchu
wywołanego polem E. Gdy rozważymy
wszystkie elektrony swobodne, ich
przemieszczenia przypadkowe uśredniają
się do zera i nie dają wkładu do prędkości
unoszenia. Prędkość unoszenia jest
wynikiem oddziaływania pola
elektrycznego na elektrony.
Szare linie ilustrują ruch elektronu od punktu
A do punktu B z sześcioma zderzeniami po
drodze. Zielone linie pokazują, jak mógłby
wyglądać tor w obecności przyłożonego pola
elektrycznego o natężeniu E.
42
Siła elektromotoryczna
Aby wytworzyć stały przepływ ładunku, potrzebujemy „pompy ładunku" urządzenia, które wykonując pracę nad nośnikami ładunku, utrzymuje różnicę
potencjałów między parą swych zacisków. Urządzenie takie nazywamy źródłem
siły elektromotorycznej (źródłem SEM); powiedzenie, że źródło dostarcza siły
elektromotorycznej L, oznacza, że wykonuje ono pracę nad nośnikami ładunku.
dW
ε
dq
Siła elektromotoryczna źródła SEM jest pracą, przypadającą na jednostkę ładunku,
jaką wykonuje źródło, przenosząc ładunek z bieguna o mniejszym potencjale, do
bieguna o większym potencjale.
Jednostką siły elektromotorycznej w układzie SI jest dżul na kulomb [J/C].
43
Obliczanie natężenia prądu w
obwodzie o jednym oczku
Obwód składa się z doskonałej baterii B o SEM L, opornika
o oporze R i dwóch łączących je przewodów.
W przedziale czasu dt w oporniku energia I2R zamienia się
a energię termiczną.
W tym samym czasie ładunek o wartości dq = Idt przepłynie
przez baterię B i praca, wykonana przez baterię nad tym
ładunkiem wynosi
dW  dq    Idt
Z zasady zachowania energii wynika, że praca wykonana przez baterię musi być równa
energii termicznej wytworzonej w oporniku
  Idt  I 2 Rdt
  IR
II prawo Kirchhoffa
Algebraiczna suma zmian potencjału napotykanych przy pełnym obejściu
dowolnego oczka musi być równa zeru.
U   E   IR  0
Reguła oporu: Gdy przemieszczamy się wzdłuż opornika w kierunku przepływu
prądu, zmiana potencjału wynosi -IR, przy ruchu w przeciwną stronę wynosi +IR.
Reguła SEM: W doskonałym źródle SEM zmiana potencjału wynosi +ε, gdy poruszamy się zgodnie z kierunkiem strzałki SEM, a przy ruchu w przeciwną stronę
wynosi -ε.
45
Obliczanie natężenia prądu w
obwodzie o jednym oczku
Obwód składa się z doskonałej baterii B o SEM L, opornika
o oporze R i dwóch łączących je przewodów.
Idąc wzdłuż przewodu do górnego końca opornika, nie napotykamy żadnej zmiany potencjału,
ponieważ przewód ma znikomo mały opór; ma on zatem ten sam potencjał, co dodatni biegun baterii
i górny koniec opornika Gdy przejdziemy przez opornik, potencjał ulegnie zmianie zgodnie Co więcej,
potencjał musi zmaleć, ponieważ poruszamy się od końca opornika o większym potencjale. Zmiana
potencjału wynosi więc —IR.
Va    IR  Va
  IR
I prawo Kirchhoffa
Suma natężeń prądów wpływających do dowolnego węzła musi być równa sumie
natężeń prądów wypływających z tego węzła.
I  0
Reguła oporu: Gdy przemieszczamy się
wzdłuż opornika w kierunku przepływu
prądu, zmiana potencjału wynosi -IR,
przy ruchu w przeciwną stronę wynosi
+IR.
47
Ile wynoszą natężenia prądów w
trzech gałęziach?
W obwodzie są dwa węzły, b i d,i trzy gałęzie, łączące te węzły.
Gałęziami są: lewa gałąź (bad), prawa gałąź (bed)
i środkowa gałąź (bd).
I1  I 3  I 2

1

1
 I1R1  I 3 R3  0
 I1R1  I 2 R2  2 0
 I 3 R3  I 2 R2   2  0