Ćw. 1

Ćwiczenie nr 1 : Statystyczny charakter rozpadów
promieniotwórczych
Oskar Gawlik, Jacek Grela
26 stycznia 2009
1
1.1
1.1.1
Wstęp
Podstawy teoretyczne
Detektor Geigera-Müllera
Jest to jeden z podstawowych liczników gazowych, jego działanie polega na jonizacji gazu w objętości czynnej co
skutkuje powstaniem impulsu elektrycznego. Schemat urządzenia przedstawiono na Rys.1 poniżej:
Rys.1 Detektor gazowy.
Charakterystyczne dla licznika Geigera-Müllera jest powstanie lawinowych jonizacji wtórnych z jonów powstałych z
jonizacji pierwotnej (pokazanej schematycznie na Rys.1 ). Efekt ten uzyskuje się poprzez odpowiednio duże napięcie
między katodami - jony posiadają odpowiednio dużą energię do rozpoczęcia kolejnych jonizacji. Detektor tego
rodzaju uniemożliwia wykrycie energii cząstki oraz jej rodzaju.
1.1.2
Rozkłady Gaussa i Poissona, wagowa wartość oczekiwana
W ćwiczeniu jest potrzebne przypomnienie dwóch podstawowych rozkładów statystycznych - Gaussa i Poissona.
Rozkład Gaussa - zwany także normalnym lub dzwonowym, jest najczęściej spotykanym rozkładem występującym w przyrodzie. Funkcja gęstości wyraża się wzorem:
G(x; σ, µ) =
−(x − µ)2 1
√ exp
2σ 2
σ 2π
(1)
Gdzie:
σ – odchylenie standardowe,
µ – wartość oczekiwana.
Są to charakterystyczne parametry rozkładu wyznaczane według standardowych wzorów. Wykres jest symetryczny
względem prostej wyznaczonej przez wartość oczekiwaną. Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym, wszystkie
pozostałe rozkłady statystyczne pochodzą od krzywej dzwonowej (poprzez konkretne przejścia graniczne).
1
P(x)
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8
10
12
14
x
Rys.2 Funkcja gęstości (dyskretna) rozkładu Poissona przy λ = 4.
Rozkład Poissona - dyksretny rozkład używany często gdy badamy zachodzenie zjawiska w danym przedziale
wielkości (np. czasu) przy znanej gęstości występowania (jest to wartość oczekiwana λ) tego zjawiska (np. częstości)
w tym przedziale. Funkcja gęstości wyrażana jest wzorem:
λx e−λ
x!
Gdzie λ to wartość oczekiwana. Odchylenie standardowe określa się jako pierwiastek z λ:
√
σp = λ
P (x; λ) =
(2)
(3)
Przybliżenie normalne uzyskuje się poprzez opis zjawisk częstych (zwiększane λ).
Wagowa wartość oczekiwana - w ćwiczeniu, z racji występowania częstości (liczebności), będzie używany następujący,
mniej standardowy, wzór (dla obydwu rozkładów) na wartość średnią:
PN
xi Wi
µ = Pi=1
N
i=1 Wi
(4)
Gdzie: µ – wartość średnia (u Poissona oznaczana jako λ),
N – wielkość próby,
xi – wynik pomiaru,
Wi – waga pomiaru, tożsama z liczebnością (częstością) występującą w histogramie oraz w trakcie całego ćwiczenia.
2
1.1.3
Histogram i test χ2
Histogram to sposób przedstawienia danej wielkości (widoczny już na Rys.2 ) charakteryzujący się ustaleniem przedziałów (binów ) dzielących badaną cechę i przypisywania pomiarów do konkretnego binu. Dzięki tej operacji można
wykonać wykres liczebnościowy danego binu (ile wystąpiło wyników) i porównywać z odpowiednimi rozkładami
teoretycznymi.
Test χ2 to test statystyczny umożliwiający rozstrzyganie o tym, czy wyniki uzyskane w doświadczeniu są zgodne z tymi postulowanymi przez teorię. Całość testu przeprowadza się na tzw. poziomie istotności α co daje nam
rozeznanie na ile wyniki są pewne. Wedle wzoru:
χ2 =
n
X
(Oi − Ei )2
Ei
i=1
(5)
Gdzie:
n – liczba pomiarów (także liczebność binu),
Oi – wartości eksperymentalne wielkości,
Ei – hipotetyczne wartości wielkości (teoretyczne),
χ2 – zmienna decydująca o tym, czy test został pozytywnie zweryfikowany.
Weryfikacja testu jest zależna od n − 1 (tzw. stopnie swobody) oraz poziomu istotności α.
2
Przeprowadzenie eksperymentu
2.1
Cel
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze stochastycznym charakterem przemian promieniotwórczych oraz sposobami
opracowywania takich zjawisk.
2.2
Pomiar
Wykonano dwa pomiary bez źródła promieniowania (160 punktów pomiarowych po 1 sekunda każdy) oraz jeden
ze źródłem 137 Cs - w tym przypadku uzyskano 200 pomiarów po 10 sekund każdy. Do detekcji użyto licznika
Geigera-Müllera na który podano napięcie U0 = 1400 [V ].
2.2.1
Pierwszy eksperyment: średnio jeden impuls
Celem pierwszego eksperymentu było uzyskanie średnio 1 impulsu w jednej sekundzie. Taką serię pomiarową zapisano
przy wyciągniętym źródle promieniowania i zamkniętym domku pomiarowym. Jak wspomniano wcześniej, próba
wyniosła 160 punktów. Wyniki częstościowe zestawiono w Tab.1 :
Tab.1 Tabela z pomiarem pierwszym.
Impulsy I
0
1
2
3
4
5
6
Liczebność L
17
42
32
39
15
10
5
Gdzie:
Impulsy – liczba zliczonych impulsów, odczytana z przelicznika, będziemy używać na jej oznaczenie litery I,
Liczebność – inaczej częstość impulsów1 , zamiennie będziemy używać litery L.
1 ile
uzyskano pomiarów o danej liczbie impulsów - patrz wprowadzenie teoretyczne
3
Na podstawie wyników z Tab.1 wyliczono wartość średnią I wraz z odchyleniem (wzory (3) i (4), wagi Wi to
odpowiednie liczebności L) :
µ1 = 2.3 ± 1.5
liczebnosc L
Założono przy tym, że zdarzenie jest opisywane przez rozkład Poissona (co jest prawdziwe tylko dla małej liczby
I!). Na podstawie Tab.1 wykonano histogram pomiarowy oraz wyznaczono (ze znajomości średniej µ1 ) histogram
teoretyczny. Całość przedstawiono poniżej:
45
Teoria
Pomiar 1
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
impulsy I
Wyk.1 Histogram pomiaru pierwszego wraz z teoretycznym histogramem dla µ1 = 2.3.
Gdzie oznaczenia konsekwentnie są niezmienne.
2.2.2
Drugi eksperyment: średnio cztery impulsy
W drugim pomiarze lekko uchylono drzwiczki do domku tak, aby uzyskać większą średnią (około 4 impulsów)
w pomiarze. Próba, podobnie jak wcześniej, wyniosła 160 punktów. Czas nie uległ zmianie i nadal trzymamy
się założenia o rozkładzie Poissona. W tym przypadku procedura obliczeniowa była identyczna jak w pomiarze
pierwszym, dlatego poniżej ograniczono się do zestawienia danych, przytoczenia średniej µ2 i pokazaniu histogramu.
Jeśli inaczej nie jest napisane, oznaczenia nie ulegają zmianie.
Tab.2 Tabela z pomiarem drugim.
Impulsy I
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Liczebność L
2
6
15
32
30
30
19
14
5
5
1
1
Średnia wyniosła:
µ2 = 4.5 ± 2.1
4
liczebnosc L
Histogram teoretyczny oraz doświadczalny:
35
Teoria
Pomiar 2
30
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
impulsy I
Wyk.2 Histogram pomiaru drugiego wraz z teoretycznym histogramem dla µ2 = 4.5.
2.2.3
Trzeci eksperyment: źródło
137
Cs
W tym wariancie umieszczamy źródło cezu w domku pomiarowym, zwiększamy czas pojedynczego pomiaru do 10
sekund i wielkość próby do 200. Uzyskujemy dosyć duże (oscylujące wokół 1000) liczby impulsów. Są to warunki odpowiednie do zastosowania rozkładu Gaussa. Aby ocenić poprawność naszego założenia użyjemy testu chi-kwadrat2 .
Czyste dane nie zostaną tutaj wprowadzone z powodu objętości. Wyliczamy z nich jedynie średnią z odchyleniem,
później operujemy na danych liczebnościowych:
µ3 = 971 ± 29
Zamiast tego w Tab.3 umieszczono liczebności L pomiarów w danym binie:
Tab.3 Tabela z pomiarem trzecim - wykonano interpretację przedziałową dla histogramu.
Zakres impulsów I
884-900
900-916
916-932
932-948
948-964
964-980
980-996
996-1012
1012-1028
1028-1044
Liczebność w binie L
4
3
9
24
36
48
37
22
13
4
Gdzie wszystkie wcześniejsze oznaczenia są analogiczne.
Szerokość binu oszacowano3 z odchylenia standardowego, rozmiaru próby oraz wartości maksymalnej i minimalnej.
Ustalono ostatecznie, że szerokość ta wyniesie ∆B = 16 zliczeń i uzyskamy przez to 10 przedziałów histogramowania.
2 wprowadzenie
3 starano
w sekcji teoretycznej
się, aby przedziały dobrać w sposób, który da jakieś wyobrażenie o rozkładzie przy jednoczesnym braku ”zębów” i nieznikaniu
wykresu.
5
Do histogramu i testu χ2 potrzebne są wartości teoretyczne które wyznacza się ze wzoru:
Lt = G(σ, µ; Is ) N ∆B
(6)
Gdzie:
G(σ, µ; Is ) – funkcja gęstości rozkładu Gaussa, wspominana we wstępie teoretycznym wraz z odchyleniem standardowym σ oraz wartością oczekiwaną µ,
Is – wartość środkowa z danego przedziału impulsów I (np. dla zakresu 884-900 jest to 892),
∆B – szerokość binu szacowana wcześniej,
N – całkowita liczba pomiarów (u nas 200).
liczebnosc L
Histogram ostatecznie prezentuje się następująco:
50
Teoria
Pomiar 3
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
884
900
916
932
948
964
980
996
1012
1028
1044
impulsy I
Wyk.2 Histogram pomiaru trzeciego wraz z teoretycznym histogramem Gaussa.
Ostatnią rzeczą pozostałą do obliczenia jest test χ2 , wykonanego według wzoru (5). Przy n = 10 (stopnie
swobody = 9) zmienna przyjęła wartość:
χ2 = 9.77
Według wartości tabelarycznych4 dane spełniają kryterium dla poziomu istotności α3 = 0.30 (9.77 < 10.656).
Dokładniejsze dane uzyskane w programie OpenOffice Calc wskazują na poziom istotności α3 = 0.37.
4 użyto
Tabeli 7.3, str. 138, z książki B. Dziunikowskiego i S. Kality ”Ćwiczenia laboratoryjne z jądrowych metod pomiarowych”
6
3
Wnioski
1. Z przeprowadzonych trzech pomiarów widać, że rządzą nimi dwa różne rozkłady, w zależności od tego jak
częste jest zjawisko i jak długo przeprowadzamy pomiar. Rozkłady Poissona są idealnym przybliżeniem dla
pierwszych dwóch pomiarów, w ostatnim zaś to rozkład Gaussa staje się dobrym opisem zjawiska.
2. Testy zgodności pierwszego i drugiego pomiaru okazały się dosyć ciekawe. Otóż, pierwszy pomiar przyniósł
istotność podobną do pomiaru trzeciego - α1 = 0.36. Natomiast pomiar drugi uzyskał fenomenalny poziom
istotności α2 = 0.97. Niestety, nie udało się odnaleźć źródła takiej dobrej zgodności. Nie wydaje się również,
aby był to błąd przypadkowy.
3. Test na poziomie istotności α3 = 0.37(0.30) (zob. sekcję doświadczenia po więcej szczegółów) wskazuje, że
mimo prawdopodobnego rozkładu Gaussa, istnieją czynniki zakłócające pomiar (oprócz zwyczajnych fluktuacji
statystycznych). Na poziomie tego doświadczenia nie jesteśmy w stanie stwierdzić co jest źródłem błędów.
4. Teoretycznie, można zastanowić się nad tym, jak zmienią się wyniki testu gdy dokonamy, wydaje się, racjonalnego zaokrąglenia wartości teoretycznych (wyznaczonych z funkcji Gaussa) do wielkości całkowitych - nie
ma wszak liczności niecałkowitych. Po dokonaniu takiego zabiegu, test jednak zwraca wartość mniej istotną α3 x = 0.28. Można spekulować nad większą przydatnością tak przeprowadzonego badania.
5. Nie wydaje się także, aby wynik testu można było ”wyśrubować” za pomocą dobrania odpowiedniej ilości
binów. Mimo 20 binów, podobną istotność uzyskał niezależnie inny zespół przeprowadzający doświadczenie5 .
5 źródło:
Internet
7