Funkcje powiązań, miary zależności i grube ogony, czyli

Wprowadzenie
Modelowanie
Przykªad
Funkcje powi¡za«, miary zale»no±ci i grube ogony, czyli kilka
sªów o zale»no±ci w statystyce i matematyce nansowej
Marcin Pitera
Uniwersytet Jagiello«ski
9 maja 2012
Marcin Pitera
Funkcje Copula
Wprowadzenie
Modelowanie
Przykªad
Kilka wst¦pnych sªów: Kowariancja i korelacja
Grube ogony
ρ Spearmana
Czym jest kopuªa?
Denicja kopuªy
Twierdzenie Sklara
Miary monotonicznej zgodno±ci
Kilka wst¦pnych sªów: Denicja kowariancji i korelacji
Kowariancja
Liczba okre±laj¡ca zale»no±¢ liniow¡ mi¦dzy zmiennymi losowymi X i Y.
cov
(X , Y ) = E [(X − µX )(Y − µY )]
Korelacja
Wspóªczynnik korelacji liniowej Pearsona - unormowana kowariancja.
ρX ,Y =
(X , Y )
σX σY
cov
Z Wikipedii:
Marcin Pitera
Funkcje Copula
Wprowadzenie
Modelowanie
Przykªad
Kilka wst¦pnych sªów: Kowariancja i korelacja
Grube ogony
ρ Spearmana
Czym jest kopuªa?
Denicja kopuªy
Twierdzenie Sklara
Miary monotonicznej zgodno±ci
Wady wspóªczynnika korelacji liniowej
Najcz¦±ciej cytowane wady
1. Wspóªczynnik ten nie jest niezmienniczy wzgl¦dem przeksztaªce«
monotonicznych. Przykªadowo, korelacja mi¦dzy X i Y jest ró»na od
korelacji mi¦dzy ln X i ln Y .
2. Cz¦sto ze wzgl¦du na rozkªad zmiennych, warto±¢ korelacji jest bardzo
ograniczona. Przykªadowo, je±li ln X ∼ N (0, 1) oraz ln Y ∼ N (0, 4), to
ρ
∈ (−0.09, 0.66).
3. Z caªkowitej dodatniej zale»no±ci (monotonicznej) jednej zmiennej od
drugiej nie wynika, i» ρ = 1. Podobnie w drug¡ stron¦ (z −1).
4. Zerowa warto±¢ korelacji wcale nie oznacza niezale»no±ci zmiennych
losowych (np. dla 2 wymiarowego rozkªadu t-studenta).
5. Cz¦sto nie da si¦ poprawnie zdeniowa¢ wspóªczynnika korelacji (gdy
wariancje zmiennych losowych s¡ niesko«czone).
6. Podatno±¢ na próbki odstaj¡ce.
7. Nie jest zbyt 'odporna'.
XY
XY
Marcin Pitera
Funkcje Copula
Wprowadzenie
Modelowanie
Przykªad
Kilka wst¦pnych sªów: Kowariancja i korelacja
Grube ogony
ρ Spearmana
Czym jest kopuªa?
Denicja kopuªy
Twierdzenie Sklara
Miary monotonicznej zgodno±ci
Co to s¡ grube ogony?
Kilka obrazków
Przykªad jednowymiarowy: pokaza¢ w R.
Wiele wymiarów
Je»eli mamy model wielowymiarowy, to ªatwiej 'zapomnie¢' o grubych ogonach.
Pokaza¢ w R.
Marcin Pitera
Funkcje Copula
Wprowadzenie
Modelowanie
Przykªad
Kilka wst¦pnych sªów: Kowariancja i korelacja
Grube ogony
ρ Spearmana
Czym jest kopuªa?
Denicja kopuªy
Twierdzenie Sklara
Miary monotonicznej zgodno±ci
ρ Spearmana
Rangowanie
Mamy np. 2 obserwacje z rozkªadu dwuwymiarowego
(1, 5), (2, 3), (4, 6).
. Zamiast rozwa»a¢ bezpo±rednio warto±ci warto±ci, spróbujmy je
uporz¡dkowa¢ i rozwa»a¢ miejsce danej warto±ci wzgl¦dem innych. Tzn: dla
'pierwszego' wymiaru dostajemy ( 13 , 32 , 33 ), dla drugiego ( 32 , 13 , 33 ). W tedy
otrzymujemy próbk¦
1 2 2 1 3 3
( , ), ( , ), ( , ).
3 3 3 3 3 3
Dla takiej próbki liczymy standardowe ρ Pearsona. Otrzyman¡ w ten sposób
warto±¢ nazywamy ρ Spearmana.
Uwaga
Jest to tzw. miara monotonicznej zgodno±ci. Opowiemy o tym dokªadniej w
dalszej cz¦±ci referatu.
Marcin Pitera
Funkcje Copula
Wprowadzenie
Modelowanie
Przykªad
Kilka wst¦pnych sªów: Kowariancja i korelacja
Grube ogony
ρ Spearmana
Czym jest kopuªa?
Denicja kopuªy
Twierdzenie Sklara
Miary monotonicznej zgodno±ci
Czym jest kopuªa?
Uproszczenie
Ograniczymy si¦ do dwóch wymiarów. Teoria wielowymiarowa jest bardzo
podobna.
Dystrybuanty brzegowe
Zaªó»my, »e mamy dan¡ par¦ zmiennych losowych X , Y (okre±lon¡ na R).
Rozwa»my dwuwymiarow¡ dystrybuant¦ ª¡cz¡c¡ X i Y dan¡ wzorem:
I
H (x , y ) = P (X
≤ x, Y ≤ y)
Jednowymiarowe dystrybuanty
F (x ) = P (X ≤ x ) = H (x , ∞) oraz
G (x ) = P (Y ≤ y ) = H (∞, y )
nazywamy wtedy dystrybuantami brzegowymi.
I
I
Czym jest kopuªa?
Funkcj¡, która ª¡czy dystrybuant¦ wielowymiarow¡ z jej jednowymiarowymi
dystrybuantami brzegowymi. Funkcj¡ opisuj¡c¡ zale»no±¢ mi¦dzy zmiennymi.
Marcin Pitera
Funkcje Copula
Kilka wst¦pnych sªów: Kowariancja i korelacja
Grube ogony
ρ Spearmana
Czym jest kopuªa?
Denicja kopuªy
Twierdzenie Sklara
Miary monotonicznej zgodno±ci
Wprowadzenie
Modelowanie
Przykªad
Denicja 2-kopuªy
Denicja
2-kopuª¡ nazywamy funkcj¦ C : I 2 → I , która speªnia nastepuj¡ce warunki:
1. Dla ka»dego u , v ∈ I , C (u , 0) = C (0, v ) = 0, C (u , 1) = u oraz C (1, v ) = v
2. Dla u1 , u2 , v1 , v2 ∈ I takich, »e u1 ≤ u2 , v1 ≤ v2 C jest 2-rosn¡ca. Mamy
C (u2 , v2 ) − C (u2 , v1 ) − C (u1 , v2 ) + C (u1 , v1 ) ≥ 0
1
C(u,v)=
= 0 na
C(u,v)=
= u na
C(u,v)
0
C(u,v)=
= v na
1
-
-
Marcin Pitera
+
=
Funkcje Copula
Wprowadzenie
Modelowanie
Przykªad
Kilka wst¦pnych sªów: Kowariancja i korelacja
Grube ogony
ρ Spearmana
Czym jest kopuªa?
Denicja kopuªy
Twierdzenie Sklara
Miary monotonicznej zgodno±ci
Twierdzenie Sklara
Twierdzenie (Sklar 1959)
Niech H b¦dzie dystrybuant¡ dwuwymiarow¡ z funkcjami brzegowymi F oraz
G . Istnieje wtedy kopuªa C taka, »e:
∀x , y ∈ R :
H (x , y ) = C (F (x ), G (y ))
Ponadto:
1. Je»eli F i G s¡ ci¡gªe, to C jest jedyna. W przeciwnym przypadku C jest
jednoznacznie okre±lona na Ran(F ) × Ran(G ).
2. Podobnie je»eli C jest kopuª¡ oraz F i G s¡ dystrybuantami, to funkcja H
zdeniowana powy»ej jest dystrybuant¡ ª¡czn¡ o funkcjach brzegowych F i
G.
Odwrócenie dystrybuant
Zakªadaj¡c, »e dystrybuanty s¡ ±ci±le rosn¡ce albo rozwa»aj¡c funkcje
quasi-odwrotne dostajemy te» wzór:
∀x , y ∈ R :
C (x , y ) = H (F (−1) (x ), G (−1) (y ))
Marcin Pitera
Funkcje Copula
Kilka wst¦pnych sªów: Kowariancja i korelacja
Grube ogony
ρ Spearmana
Czym jest kopuªa?
Denicja kopuªy
Twierdzenie Sklara
Miary monotonicznej zgodno±ci
Wprowadzenie
Modelowanie
Przykªad
Miary monotonicznej zgodno±ci
Najbardziej znane
1. ρ Spearmana. Wspóªczynnik korelacji rang. Wzór w j¦zyku kopuª:
S
ρS = 12
ZZ
I
2
uvdC (u , v ) − 3 = 12
ZZ
I
2
C (u , v )dudv − 3
2. τ Kendalla - stanowi ró»nic¦ mi¦dzy prawdopodobie«stwem, »e
porównywane zmienne b¦d¡ ukªadaªy si¦ w tym samym porz¡dku dla
dwóch obserwacji, a prawdopodobie«stwem, »e uªo»¡ si¦ w przeciwnym
porz¡dku.
τ = P[(x1 − x2 )(y1 − y2 ) > 0] − P[(x1 − x2 )(y1 − y2 ) < 0]
W j¦zyku kopuª:
τ = Q (C , C ) = 4
ZZ
I
Marcin Pitera
2
C (u , v )dC (u , v ) − 1
Funkcje Copula
Wprowadzenie
Modelowanie
Przykªad
Kilka wst¦pnych sªów: Kowariancja i korelacja
Grube ogony
ρ Spearmana
Czym jest kopuªa?
Denicja kopuªy
Twierdzenie Sklara
Miary monotonicznej zgodno±ci
Inne
Zachowanie w ogonach - tail index
I
tail index:
λL = lim
0+
v→
I
P [F (X ) ≤ v |G (Y ) ≤ v ] = lim+ C (v , v )
v
→0
v
upper tail index:
λU = lim
v→
1−
P [F (X ) > v |G (Y ) > v ] = lim− 1 − 2v + C (v , v )
1−v
→1
v
PQD - Positive quadratic dependance
P [X
≤ x , Y ≤ y ] ≥ P [X ≤ x ]P [Y ≤ y ] ⇔ C (u , v ) ≥ uv
Marcin Pitera
Funkcje Copula
Wprowadzenie
Modelowanie
Przykªad
Wst¦p
Rodziny kopuª
Estymacja
Zalety u»ycia funkcji Copula
Kilka udogodnie«
1. Twierdzenie sklara ⇒ H (x , y ) = C (F (x ), G (y )) ⇒ Pozwala nam to na
osobne modelowanie rozkªadów brzegowych i funkcji copula.
2. Monotoniczne przeksztaªcenia ⇒ Cα( )β( ) = C ⇒ monotoniczne
przeksztaªcenia nie zmieniaj¡ kopuªy.
3. Znamy du»o rodzin kopuª ⇒ Tworzenie wielowymiarowych rozkªadów
innych ni» normalne/eliptyczne [np. kopuªy archimedesowe (Gumbel,
Clayton, Frank), vine copula, sko±na kopuªa t-studenta].
X
Marcin Pitera
Y
Funkcje Copula
XY
Wprowadzenie
Modelowanie
Przykªad
Wst¦p
Rodziny kopuª
Estymacja
Kilka znanych rodzin kopuª
Kopuªy zwi¡zane z rozkªadami eliptycznymi
1. Kopuªa Gaussa
2. Kopuªa t-studenta
3. Sko±na kopuªa t-studenta (praca, str 26)
Zalety
I
I
I
Cz¦sto znane procedury estymacji. Szczególnie dla kopuªy Gaussa. - np.
przez macierz kowariancji, czy macierz z τ Kendalla. (potem b¦d¡
algorytmy)
Dosy¢ dobrze opisuj¡ zale»no±¢ przy bardzo du»ej liczbie wymiarów. I
numerycznie umo»liwiaj¡ jej opis. (CDO, czy bankructwa)
pakiet 'copula' w R oraz inne programy (szczególnie nansowe)
Marcin Pitera
Funkcje Copula
Wprowadzenie
Modelowanie
Przykªad
Wst¦p
Rodziny kopuª
Estymacja
Kopuªy zwi¡zane z rozkªadami eliptycznymi
Kopuªa Gaussa
C Ga (u) := Φ
R
Φ−1 (u1 ), Φ−1 (u2 ), . . . , Φ−1 (un )
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
0.4
0.6
0.6
0.8
0.8
1.0
1.0
R
0.0
0.2
0.4
0.6
Rysunek: G¦sto±¢ i próbka z 2-kopuªy Gaussa,
Marcin Pitera
Funkcje Copula
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
ρ = 0.5 i ρ = 0.3
0.6
0.8
1.0
Wprowadzenie
Modelowanie
Przykªad
Wst¦p
Rodziny kopuª
Estymacja
Kopuªy zwi¡zane z rozkªadami eliptycznymi
Kopuªa t-studenta
R ,v
(tv−1 (u1 ), . . . , tv−1 (un ))
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
0.4
0.6
0.6
0.8
0.8
1.0
R v
1.0
C Stud
(u) := t
,
0.0
0.2
Rysunek: G¦sto±¢ i próbka z 2-kopuªy t-Studenta,
Marcin Pitera
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(ρ = 0.5, v = 3) i (ρ = 0.1, v = 5)
Funkcje Copula
Wprowadzenie
Modelowanie
Przykªad
Wst¦p
Rodziny kopuª
Estymacja
Kopuªy zwi¡zane z rozkªadami eliptycznymi
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
0.4
0.6
0.6
0.8
0.8
1.0
1.0
Sko±na kopuªa t-studenta
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Rysunek: Próbka 1000 elementowa dla sko±nej 2-kopuªy t-studenta,
(v = 3, µ = (0.5, 0), ρ = 0.5, γ = (0.9, 0)) oraz
(v = 4, µ = (0, 0), ρ = 0.5, γ = (−0.7, 0.7))
Marcin Pitera
Funkcje Copula
Wprowadzenie
Modelowanie
Przykªad
Wst¦p
Rodziny kopuª
Estymacja
Kilka znanych rodzin kopuª
Kopuªy Archimedesowe
C (u , v ) = ϕ[−1] (ϕ(u ) + ϕ(v ))
ϕ : I → [0, ∞], ci¡gªa, ±ci±le malej¡ca, ϕ(1) = 0, ϕ jest wypukªa.
Przykªadowe rodziny
1. Kopuªa Franka
2. Kopuªa Gumbela
3. Kopuªa Claytona
Zalety
I
I
I
I
Šatwa estymacja z u»yciem τ Kendalla.
Du»o procedur estymacji. (równie» nieparametrycznych)
Dobre dopasowanie do danych maªowymiarowych.
Du»o uogólnie« (np.Vine Copula)
Marcin Pitera
Funkcje Copula
Wprowadzenie
Modelowanie
Przykªad
Wst¦p
Rodziny kopuª
Estymacja
Kopuªy Archimedesowe
Kopuªa Franka
Cα (u1 , . . . , u
n
)=−
1
"
ln 1 +
Qn
α
−α
Generator: ϕα (u ) = − ln ee −α −−11 α > 0
i=
1(
e −α
ui
− 1)
#
(e −α − 1)n−1
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
0.4
0.6
0.6
0.8
0.8
1.0
1.0
u
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Rysunek: G¦sto±¢ i próbka z 2-kopuªy Franka,
Marcin Pitera
Funkcje Copula
1.0
0.0
0.2
0.4
α = 4 i α = 15
0.6
0.8
1.0
Wprowadzenie
Modelowanie
Przykªad
Wst¦p
Rodziny kopuª
Estymacja
Kopuªy Archimedesowe
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
0.4
0.6
0.6
0.8
0.8
1.0
1.0
Kopuªy Gumbela i Claytona
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Rysunek: Próbka 1000 elementowa dla jednoparametrowych 2-kopuª z rodziny
Gumbela i Claytona (α = 2.5)
Marcin Pitera
Funkcje Copula
Wprowadzenie
Modelowanie
Przykªad
Wst¦p
Rodziny kopuª
Estymacja
Kilka znanych rodzin kopuª
Inne Rodziny
1. Extreme-value Copulas (modelowanie rzadko wyst¦puj¡cych procesów)
2. Kopuªy zwi¡zane z funkcjami prze»ycia (Survival copulas)
3. Lévy copulas, Markov copulas, semimartingale copula (w nansach dynamiczne podej±cie).
Marcin Pitera
Funkcje Copula
Wprowadzenie
Modelowanie
Przykªad
Wst¦p
Rodziny kopuª
Estymacja
Estymacja - przegl¡d metod
Podstawowy podziaª - MLE
1. MLE (Exact Maximum Likelihood Estimation)
2. IFM (Infrence Functions for Margins)
3. CML (Canonical Maximum Likelihood)
Podstawowy podziaª - Inne
1. KA - τ Kendalla
Clayton:
τ = 1−
2
2+θ
(τ ∈ [0, 1]\{0})
Gumbel:
2. KA - Estymacja generatora (przez 'poziomice' kopuªy)
3. Du»o innych..
Marcin Pitera
Funkcje Copula
τ = 1−θ−1
(τ ∈ [0, 1])
Wprowadzenie
Modelowanie
Przykªad
Przykªad
3-wymiarowy model stóp zwrotu
1. Mamy trzy akcje - PKO, PEKAO, ORBIS. Ich notowania w okre±lonym
czasie
2. Chcemy stworzy¢ 3-wymiarowy model logarytmicznych stóp zwrotu,
zakªadaj¡c kopuª¦ normaln¡ i brzegi t-studenta. U»yjemy modelu
GARCH(1,1)-Copula.
GARCH(1,1):
y |ψ −1 ∼ N (0, h )
t
h
t
t
t
= α0 + α1 yt2−1 + β1 ht −1
Marcin Pitera
Funkcje Copula
Wprowadzenie
Modelowanie
Przykªad
Przykªad
‘rodowisko R
Marcin Pitera
Funkcje Copula